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2006年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学试题及解答(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 到 8 页。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么球是表面积公式
P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) S ? 4? R
2

如果事件 A、B 相互独立,那么其中 R 表示球的半径 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V ?
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

4 3

?R

3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合 A = ? x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ? , B ? ? x | 2 x ? 1 ? 3? , 则集合 A ? B = (A) ? x | 2 ? x ? 3? (B) ? x | 2 ? x ? 3? 2.函数 y ? ln( x ? 1)( x ? 1) 的反函数是 (A) f (C) f
?1

(C) ? x | 2 ? x ? 3?
( x ) ? 10 ? 1( x ? R )
x

(D) ? x | ? 1 ? x ? 3?

( x ) ? e ? 1( x ? R )
x

(B) f (D) f

?1

?1

( x ) ? e ? 1( x ? 1)
x

?1

( x ) ? e ? 1( x ? 1)
x

3.曲线 y ? 4 x ? x 3 在点(-1,-3)处的切线方程是 (A) y ? 7 x ? 4 (B) y ? 7 x ? 2 (C) y ? x ? 4
???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ?

(D) y ? x ? 2
???? ? ???? ?

4.如图,已知正六边形 P1 P2 P3 P4 P5 P6 ,下列向量的数量积中最大的是

(A) P1 P2 ? P1 P3 (B) P1 P2 ? P1 P4 (C) P1 P2 ? P1 P5 (D) P1 P2 ? P1 P6 5.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学 生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生 (A)30 人,30 人,30 人 (B)30 人,45 人,15 人 (C)20 人,30 人,10 人 (D)30 人,50 人,10 人 6.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ( x ?
?
6 )

(B) y ? sin ( 2 x ?
)

?
6

)
)

(C) y ? co s( 4 x ?

?
3

(D) y ? co s( 2 x ?

?
6

则 且 7.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 0 , m、 n为 异 面 直 线 , m ? ? , n ? ? , m、 n 所 成 的 角 为

(A) 30 0 (B) 60 0 (C) 90 0 (D) 1 2 0 0 8 已知两定点 A ( ? 2, 0), B (1, 0), 如果动点 P 满足条件 P A ? 2 P B , 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 (A) 9 ? (B) 8 ? (C) 4 ? (D) ? 9.如图,正四棱锥 P-ABCD 底面的四个顶点 A、B、C、D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如

果V P ? ABCD ?

16 3

,则求 O 的表面积为

(A) 4 ? (B) 8 ? (C) 1 2 ? (D) 1 6 ? 10.直线y=x-3 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别 为 P、Q ,则梯形 APQB 的面积为 (A)36 (B)48 (C)56 (D)64. 11.设 a、 b、 c 分别为 ? A B C 的三内角 A、 B、 C 所对的边,则 a 2 ? b ( b ? c ) 是 A =2 B 的 (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 12.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率 为 (A)
41 60

(B)

38 54

(C)

35 54

(D)

19 54

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 13. (1 ? 2 x )1 0 展开式中 x 3 的系数为___________(用数字作答) 。
? x ? 1, ? 1 ? 14.设 x、y 满足约束条件: ? y ? x , 则 z ? 2 x ? y 的最小值为_______________________。 2 ? ? 2 x ? y ? 10. ?

15.如图把椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的长轴 AB 分成 8 分,过每个分点作x轴的垂线

25

16

交椭圆的上半部分于 P1 , P2 ,…… P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则
P1 F ? P2 F ? ...... ? P7 F ? ____________.

16. m、 n 是空间两条不同直线, ? 、 ? 是空间两条不同平面,下面有四个命 题: ; ① m ? ? ,n ? ? ,? ? ? ? m ? n   ; ② m ? n,? ? ? , m ? ? ? n ? ?   ; ③ m ? n,? ? ? , m ? ? ? n ? ?   ; ③ m ? ? , m ? n,? ? ? ? n ? ?   其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号) 。

三.解答题共 6 个小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 前 n 项和记为 S n , a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 S n ? 1, ( n ? 1) , (Ⅰ)求 ? a n ? 的的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ? b n ? 的各项为正,其前 n 项和为 T n , 且 T3 ? 1 5, 又 a1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 成等比数列,求 T n . 18. (本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 是 ? A B C 三内角,向量 m ? ( ? 1, 3 ), n ? (cos A , sin A ), 且 m ? n ? 1. (Ⅰ)求角 A (Ⅱ)若
1 ? sin 2 B co s B ? sin B
2 2

? ? 3, 求 t a n C 。

19. (本小题满分 12 分) 某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ,两部分考核都“合 格”则该课程考核“合格” 。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9、0.8、0.7;在实验考 核中合格的概率分别为 0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相互之间没有影响。 (Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数) 。

20. (本小题满分 12 分) 如 图 , 长 方 体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 、 P 分 别 是 BC 、 A 1 D 1 的 中 点 ,M 、 N 分 别 是 AE 、 C D 1 的 中 点, A D = A 1 A 1 ? a , A b = 2 a , (Ⅰ)求证: M N // 平 面 A D D 1 A1 ; ; (Ⅱ)求二面角 P ? A E ? D 的大小;

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) ? x 3 + 3 ax ? 1, g(x) ? f ?( x ) ? ax ? 5, 其中 f ?(x ) 是的 f(x)的导函数。 (Ⅰ)对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g(x) ? 0, 求实数x的取值范围; (Ⅱ)设 a ? ? m 2 ,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图像与直线y=3 只有一个公共点。

22. (本小题满分 12 分) 线 E 交于 A、B 两点。 (Ⅰ)求k的取值范围;
??? ?

已知两定点 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ), 满足条件 P F 2 ? P F 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E, 直线y=kx-1 与曲

??? ?

??? ?

(Ⅱ)如果 A B ? 6 3 , 且曲线 E 上存在点 C,使 O A ? O B ? m O C , 求 m的 值 和 ? A B C 的 面 积 S 。

??? ?

??? ?

????

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)文科数学及参考答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分; 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A B D B C D B 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分;把答案填在题中的横线上。 (13) ? 960 ; (14) ? 6 ; (15) 35 ; (16)○○ 1 4 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本大题满分 12 分)

11 A

12 C

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)由 a n ? 1 ? 2 S n ? 1 可得 a n ? 2 S n ?1 ? 1 ? n ? 2 ? ,两式相减得 a n ? 1 ? a n ? 2 a n , a n ? 1 ? 3 a n ? n ? 2 ? 又 a 2 ? 2 S 1 ? 1 ? 3 ∴ a 2 ? 3 a1 故 ? a n ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ a n ? 3 n ?1 (Ⅱ)设 ? b n ? 的公比为 d 由 T3 ? 1 5 得,可得 b1 ? b 2 ? b3 ? 15 ,可得 b 2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a 2 ? 3, a 3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1 ? ? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d 1 ? 2, d 2 ? 1 0 ∵等差数列 ? b n ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3 n ?
n ? n ? 1? 2 ? 2 ? n ? 2n
2

2

(18) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式,考 察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ? ? 1, 3 ? ? ? co s A , sin A ? ? 1 即 3 sin A ? cos A ? 1
? 3 1? 2 ? sin A ? ? co s A ? ? ? 1 ? 2 2? ? ?
?? ?

? ? 1 ? sin ? A ? ? ? 6 ? 2 ?

∵0 ? A ? ? ,? ∴A? ∴A ?
?
6 ?

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

?
6

?
3
1 ? 2 sin B co s B co s B ? sin B
2 2
2 2

(Ⅱ)由题知
2

? ? 3 ,整理得

sin B ? sin B cos B ? 2 cos B ? 0

∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ? 1 而 tan B ? ? 1 使 cos 2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去 ∴ tan B ? 2 (19) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法,考察应用概率知识解决实际问 题的能力。满分 12 分。 解:记“甲理论考核合格”为事件 A1 , “乙理论考核合格”为事件 A2 , “丙理论考核合格”为事件 A3 , 记 Ai 为 Ai 的对立事件,i ? 1, 2, 3 ;记“甲实验考核合格”为事件 B1 , “乙实验考核合格”为事件 B 2 , “丙 实验考核合格”为事件 B 3 , (Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ,记 C 为 C 的对立事件

解法 1: P ? C ? ? P ? A1 A2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ?
? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P ? A1 A 2 A3 ?

?

?

?

?

?

?

? 0.9 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.1 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.902

解法 2: P ? C ? ? 1 ? P ? C ?
? 1 ? P A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A 2 A3

?

?

? 1 ? ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? P A1 A 2 A3 ? ? ?
? 1 ? ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.2 ? 0.7 ?
? 1 ? 0.098 ? 0.902

?

?

?

?

?

?

?

?

所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0 .9 0 2 (Ⅱ)记“三人该课程考核都合格”为事件 D
P ? D ? ? P ? ? A1 ? B1 ? ? ? A 2 ? B 2 ? ? ? A3 ? B 3 ? ? ? ?
? P ? A1 ? B1 ? ? P ? A2 ? B 2 ? ? P ? A3 ? B 3 ? ? P ? A1 ? ? P ? B1 ? ? P ? A2 ? ? P ? B 2 ? ? P ? A3 ? ? P ? B 3 ?

? 0.9 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.9
? 0.254016 ? 0.254

所以,这三人该课程考核都合格的概率为 0 .2 5 4 (20) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识,以及空间想象能力和推理 能力。满分 12 分 解法一: (Ⅰ)证明:取 C D 的中点 K ,连结 M K , N K ∵ M , N , K 分别为 A K , C D1 , C D 的中点 ∵ M K // A D , N K // D D1 ∴ M K // 面 A D D1 A1 , N K // 面 A D D1 A1 ∴面 M N K // 面 A D D1 A1 ∴ M N // 面 A D D1 A1 (Ⅱ)设 F 为 A D 的中点 ∵ P 为 A1 D 1 的中点∴ P F // D D1 ∴ PF ? 面 ABCD 作 FH ? AE ,交 A E 于 H ,连结 P H ,则由三垂线定理得 AE ? PH 从而 ? PH F 为二面角 P ? AE ? D 的平面角。 在 R t ? A E F 中, A F ?
a FH ? AF ? EF AE ? 2 17 2 a

a 2

, EF ? 2a, AE ?

17 2

a ,从而

? 2a ?

2a 17

在 R t ? P F H 中, tan ? P F H ?

PF FH

?

D D1 FH

?

17 2

故:二面角 P ? AE ? D 的大小为 a rc ta n

17 2

方法二:以 D 为原点, D A , D C , D D 1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立直角坐标系,则
A ? a , 0, 0 ? , B ? a , 2 a , 0 ? , C ? 0, 2 a , 0 ? , A1 ? a , 0, a ? , D 1 ? 0, 0, a ?

∵ E , P , M , N 分别是 B C , A1 D1 , A E , C D1 的中点
a? ? ?a ? ? 3a ? ? , 2 a , 0 ? , P ? , 0, a ? , M ? , a , 0 ? , N ? 0, a , ? , 2? ?2 ? ?2 ? ? 4 ? ? ???? ? 3 ? a? (Ⅰ) M N ? ? ? a , 0, ? 2? ? 4 ? ? 取 n ? ? 0,1, 0 ? ,显然 n ? 面 A D D1 A1 ???? ? ? ???? ? ? M N ? n ? 0 ,∴ M N ? n

∴E?

?a

又 M N ? 面 A D D1 A1 ∴ M N // 面 A D D1 A1 ∴过 P 作 PH ? AE ,交 A E 于 H ,取 A D 的中点 F ,则 F ? 设 H ? x , y , 0 ? ,则 H P ? ? 又 AE ? ? ?
? ??? ? ? a ? , 2a,0 ? 2 ? ???? ? ???? ? a ? ? x, ? y, a ? , H F ? ? ? x, ? y, 0 ? ?2 ? ?2 ? ?a

?a

? , 0, 0 ? ?2 ?

? a2 a ??? ??? ? ? ? x ? 2ay ? 0 ?? 由 A P ? A E ? 0 ,及 H 在直线 A E 上,可得: ? 4 2 ? 4 x ? y ? 4a ?

解得 x ?
????

33 34
?

a, y ?
8a ,?

2 17
2a

a

2a ? ???? ? 8 a ? ,a ?, HP ? ? ? ,? ,0 ? 17 17 ? 17 ? ? 17 ? ???? ??? ? ???? ??? ? ∴ H F ? AE ? 0 即 HF ? AE ???? ???? ∴ H P 与 H F 所夹的角等于二面角 P ? AE ? D 的大小 ???? ???? ???? ???? HP ? HF 2 co s H P , H F ? ???? ???? ? 21 HP ? HF

∴ HP ? ? ?

故:二面角 P ? AE ? D 的大小为 arcco s

2 21 21

(21) (本大题满分 12 分) 本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识,以及推理能力、运输能力和综合应 用数学知识的能力。满分 12 分。 解: (Ⅰ)由题意 g ? x ? ? 3 x 2 ? a x ? 3 a ? 5 令? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3 x 2 ? 5 , ?1 ? a ? 1 对 ? 1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0 ∴?
? ? ?1 ? ? 0 ? ?? ? ? 1 ? ? 0 ? ?3 x 2 ? x ? 2 ? 0 ?3x ? x ? 8 ? 0
2

即?

解得 ?

2 3
? ?

? x ?1
2 3 ? ,1 ? 时,对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ?

故x???

(Ⅱ) f ' ? x ? ? 3 x 2 ? 3 m 2 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x 3 ? 1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:
x

? ?? , m ?
?

? m
0

??

m , m

?

m
0

?m

, ?? ?
?

f

'

?x? ?x?

?
?

f

?

极大
m ? 1 ? ?1

极小

?

∴ f ? x ?极 小 ? f

? x ? ? ?2m

2

又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 ? m , ? ? ? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点。 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? ? m 由题意得 f ? ? m ? ? 3 即 2m 2 m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3 解得 m ? ? ? 3 2 , 0 ? ? ? 0, 3 2 ? 综上, m 的取值范围是 ? ? 3 2 , 3 2 ? (22) (本大题满分 14 分) 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本 思想、方法和综合解决问题的能力。满分 14 分。 解: (Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? ? 2 , 0 ? , F2 ? 2 , 0 ? 为焦点的双曲线的左支, 且c ?
2 , a ? 1 ,易知 b ? 1
3

?

故曲线 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ? x ? 0 ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,由题意建立方程组 ? 消去 y ,得 ? 1 ? k 2 ? x 2 ? 2 kx ? 2 ? 0 又已知直线与双曲线左支交于两点 A , B ,有
2 ? 1? k ? 0 ? 2 2 ? ? ? ? 2 k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ?2k 解得 ? 2 ? k ? ? 1 ? x1 ? x 2 ? ?0 2 ? 1? k ? ?2 ? x1 x 2 ? ?0 2 ? 1? k ?

? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

∵ A B ? 1 ? k 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? ? x 1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2
? 1? k
2

?
2

?2 ? ?2k ? ? 4? ? 2 ? 2 1? k ? 1? k ?
2

2

? 2

?1 ? k ? ? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2

依题意得 2

?1 ? k ? ? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2 2 2

?6 3

整理后得 28 k 4 ? 55 k 2 ? 25 ? 0 ∴k2 ?
5 7

或k2 ?

5 4
5 2

但 ? 2 ? k ? ?1 ∴ k ? ? 故直线 A B 的方程为
5

x ? y ?1? 0 2 ??? ??? ? ? ???? 设 C ? x 0 , y 0 ? ,由已知 O A ? O B ? m O C ,得 ? x1 , y1 ? ? ? x 2 , y 2 ? ? ? m x 0 , m y 0 ?

∴ ? m x0 , m y0 ? ? ?
?

? x1 ? x 2 m

,

y1 ? y 2 ? ? ,?m ? 0? m ?

又 x1 ? x 2 ? ∴点 C ? ?
?

2 k ?1
2

? ? 4 5 , y 1 ? y 2 ? k ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?

2k
2

2

k ?1

?2?

2 k ?1
2

?8

? ?4 5 m

,

8 ? ? m ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 ∴ m ? 4 ,点 C 的坐标为 ? ? 5 , 2 ?
5
C 到 A B 的距离为

80 m
2

?

64 m
2

? 1 得 m ? ?4 ,

但当 m ? ? 4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意

? ? 5 ? 2 ?1 ? ? 5 ? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

2

?

?

1 3

∴ ? A B C 的面积 S ?

1 2

?6 3?

1 3

?

3



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