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江门一中2013年高一暑假数学练习(三)


江门一中 2013 年高一暑假数学练习(三)
一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. ) 1.设向量 a ? (cos 23?, cos 67?) , b ? (cos 53?, cos 37?) , a ? b ? (A) 3
2

7.函数 f ( x) ? tan?x(? ? 0) 的图象的相邻两支截直线 y ? (A)0 ) (B)-1 (C)1

?
8

所得线段长为 (D)

?

? 8

则f ( ) 的值是 8 8

?

( (D)- 1
2

8.已知 a ? (1,2 ? sin x) , b ? (2, cos x) , c ? (?1,2) , (a ? c) // b ,则锐角 x 等于( (A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°



(B)

1 2

(C)- 3
2

2.若 ? 1 ? ? ? ? ? 1,则下列各式中恒成立的是 (A) ? 1 ? ? ? ? ? 1 (C) ? 2 ? ? ? ? ? 0 (B) ? 2 ? ? ? ? ? ?1 (D) ? 1 ? ? ? ? ? 0 (





? ? 9、若函数 y ? 2 sin(x ? ? ) 的图象按向量 ( ,2) 平移后,它的一条对称轴是 x ? ,则 ? 的一 6 4
个可能的值是 (A) ( )
5? ? ? ? (B) (C) (D) 12 3 6 12 10. 如图, 设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
AP 点 P 所旋转过的弧 ? 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图像大致是

1 3? 4 3? 3.已知 sin ? ? ? , a ? (? , ), cos ? ? , ? ? ( ,2? ), 则? ? ?是 4 2 5 2



(A)第一象限角

(B)第二象限角

(C)第三象限角

(D)第四象限角 )

4.若 | a |?| b |? 1 , a ? b 且 2a ? 3b 与 k a ? 4b 也互相垂直,则实数 k 的值为( (A) ? 6 (B)6
1 ? 3 的解集是 x
1 1 (B) {x | ? x ? } 3 a 1 1 (D) {x | ? ? x ? 0或x ? } a 3

(C) ? 3

(D)3 ( ) 二.填空题 11.已知: x ?
5 1 ,则函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值为 4 4x ? 5

5.若 a ? 0, 则不等式 ? a ?
1 (A) {x | 0 ? x ? } a 1 1 (C) {x | x ? ? 或x ? } a 3



12. 电流强度 I(安) 随时间 t(秒) 变化的函数 I ? A sin(?t ? ( ) ( A ? 0 , ? ? 0 )的图象如图所示,则当 t ? 流强度是
2

?
6

)

I
10
4 300

6.已知 f ( x) ? sin(x ? ), g ( x) ? cos(x ? ) ,则下列结论中正确的是 2 2 (A)函数 y ? f(x) g (x) 的周期为 2? ? (B)函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 1

?

?

1 秒时,电 50

安。

t

O
13.已知不等式 (m ? 4m ? 5) x ? 4(m ? 1) x ? 3 ? 0 时一切实数 x
2

1 300

? 10

? 单位后得 g (x) 的图像 2 ? (D)将 f (x) 的图像向右平移 单位后得 g (x) 的图像 2
(C)将 f (x) 的图像向左平移

恒成立,则实数 m 的取值范围



14.若对 n 个向量 a1 , a 2 ,??, a n 存在 n 个不全为零的实数 k 1 , k 2 ,??, k n ,使得
k1 a1 ? k 2 a 2 ? ? ? k n a n ? 0 成立,则称向量 a1 , a 2 ,??, a n 为“线性相关” ,依此规

定,能说明 a1 ? (1,0) , a 2 ? (1,?1) , a3 ? (2,2) “线性相关”的实数 k 1 , k 2 , k 3 依次可 以取 (写出一组数值即可, 不必考虑所有情况)

x x x 17.已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos2 ; 3 3 3

(1)求 f (x) 的对称轴和对称中心; (2)如果 ?ABC 的三边 a 、b 、c 满足 b 2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的范围及此 时函数 f (x) 的值域。

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.已知 ?ABC 中, 2 tan A ? 1 , 3 tan B ? 1 ,且最长边的长度为 1, 求(1)角 C 的大小; (2)最短边的长.

16.平面直角坐标系有点 P(1, cos x ) ,Q(cos x,1) , x ?[ ? 角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ;(2)求 ? 的最值。

? ?

, ];(1)求向量 OP 和 OQ 的夹 4 4

18. A(a, b) 是第一象限内的一个定点, A 作直线 L 分别交 x 轴,y 轴正半轴于 M 、N , 设 过 求使 ?MON ( O 为原点)的面积取最小值时, M , N 的坐标。

江门一中 2013 年高一暑假数学练习(三)答案
一.选择题: 1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.A 10 . 设 P 运 动 线 速 度 为 a , 利 用 圆 周 角 、 圆 心 角 、 弧 度 数 之 间 的 关 系 , 求 得 函 数 关 系 式

? 2 ? cos x ?

1 3 2 2 2 2 2 , ? ? f ( x) ? 1 即 ? cos? ? 1 cos x 2 3 3
2 2 ; ? min ? 0 3

? max ? ar cos

d ? 2r sin

at l , l ? at , 即 d ? 2r sin , 故选 C。 2r 2r
13. 1 ? m ? 19 14. k1 : k 2 : k 3 ? ?4 : 2 : 1

二.填空题: 11.1 12.50

17.解: (1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin(2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 令

三.解答题: 15.解: (1)? tan A ?

3 ? 3 2 ? 3 ? x ? ? k? ? x ? k? ? ,?对称中心为 ( k? ? , ) ( k ? Z ) 2 2 2 3 3 2 2

1 1 tan A ? tan B 3 , tan B ? ? tan C ? ? tan(A ? B) ? ? ? ?1 ?C ? ? 2 3 4 1 ? tan A tan B 1 1 ? (2)? tan A ? , tan B ? , 0 ? A, B ? ? B ? A ? B 所对的边最短 2 3 2
由 tan B ?



2 ? ? 3 ? 3 ? x ? ? k? ? ? x ? k? ? ,?对称轴为 x ? k? ? ( k ? Z ) 2 4 3 3 2 2 4
2

(2)由已知 b ? ac , cos x ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

5 1 1 得 sin B ? 由正弦定理得: b ? 5 3 10
OP ? OQ ? 1 ? cos2 x

1 ? ? cos x ? 1 2
? sin

0? x?

?
3

?
3

?

2 x ? 5? ? ? 3 3 9
2x ? 3 3 ? )? ? 1? 3 3 2 2

16.解:(1)? OP ? OQ ? 2 cos x

?
3

? sin(

2 cos x ? cos? ? ? ? f ( x) 2 OP ? OQ 1 ? cos x
(2) cos? ? f ( x) ?

OP ? OQ

2x ? ? ) ?1 3 3
3 ] 2

? 3 ? sin(

即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ?

2 cos x ? 1 ? cos2 x

2 cos x ? 1 cos x
18.解:设 N (0, y ) , M (x,0)

? N , A , M 共线,? NA ? ? MA

且 x ? ??

? ? ?? , ? ? 4 4?

? 2 ? ? cos x ? ? ,1? ? 2 ?

?a ? ? ( a ? x ) ( a , b ? y ) ? ? ( a ? x, b ) ? ? ? xy ? bx ? ay ? b ? y ? ?b
? ? xy ? bx ? ay ? 2 ab xy ? xy ? 2 ab ? xy ? 4ab , (当且仅当 bx ? ay ? ? x ? 2a
时取等号)

令 g ( x) ? x ?

2 1 ,1] ,且 x1 ? x2 ,设 x1 , x 2 ? [ 2 x
x x ?1 1 1 ? x2 ? ? ( x1 ? x 2 )( 1 2 ) ? 0 x1 x2 x1 x 2

? y ? 2b

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? x1 ?

?S ?

1 xy ? 2ab (当且仅当 x ? 2a , y ? 2b 时取等号) 2

即 ?MON 的面积取最小值时, M (2a,0) , N (0,2b) 的坐标。

? g ( x) ? x ?

2 1 ,1] 上是减函数。 在[ 2 x


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