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高一数学教案:函数复习小结(二).doc




题:函数复习小结(二)

教学目的: 1.熟悉并掌握函数的对称语言. 2.进一步熟悉二次函数性质及其应用. 3.把握数形结合的特征和方法. 4.能够应用函数思想解题. 5.了解与函数有关的数学模型. 教学重点:数形结合的特征与方法 教学难点:函数思想的应用 授课类型:复习课 课时安排:1 课时
王新敞
奎屯 新疆<

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教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:

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一、引入: 通过上一节学习,大家了解了本章内容的整体结构,明确了本章的重难点知识,并熟悉 了有关函数的基本概念和基本方法, 这一节, 我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征 与方法,并进一步认清函数的思想实质,进而掌握其应用. 二、例题分析: 例 1 若函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 x 都有 f(2+x)=f(2-x),那么(
2



A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 分析:此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解:由 f(2+x)=f(2-x)可知:函数 f(x)的对称轴为 x=2,由二次函数 f(x)开口方向向,可 得 f(2)最小,又 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0) 在 x<2 时,y=f(x)为减函数 ∵0<1<2,∴f(0)>f(1)>f(2) 即 f(2)<f(1)<f(4) 答案:A 通过此题可将对称语言推广如下: (1)若对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,则 x=a 是函数 f(x)的对称轴
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(2)若对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(b-x)成立,则 x=
2

a?b 是 f(x)的对称轴. 2

例 2 求 f(x)=x -2ax+2 在[2,4]上的最大值和最小值. 解:先求最小值. 因为 f(x)的对称轴是 x=a,可分以下三种情况: (1)当 a<2 时,f(x)在[2,4]上为增函数,所以 f(x)min=f(2)=6-4a; (2)当 2≤a<4 时,f(a)为最小值,f(x)min=2-a ; (3)当 a>4 时,f(x)在[2,4]上为减函数,所以 f(x)min=f(4)=18-8a
2

?6 ? 4a, ? 2 综上所述:f(x)min= ?2 ? a , ?18 ? 8a, ?

(a ? 2) (2 ? a ? 4) (a ? 2)
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最大值为 f(2)与 f(4)中较大者:f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a (1)当 a≥3 时,f(2)≥f(4),则 f(x)max=f(2)=6-4a; (2)当 a<3 时,f(2)<f(4),则 f(x)max=f(4)=18-8a.
3

9

2

2

8

-10

-5

0 2 4a
5 -2 -4 -6

10

15

20

25

7

1

6
-4 -2

5
-1

0
-2

2

2

a

4

4

6

8
-8

-10

4
-12

3

-14

-3

2

-16

-18

-4

1
-20

-6

-4

-2

0

a
-1

2

2

4
4

-5

6

8

-22

故 f(x)max= ?

?6 ? 4a, ?8 ? 8a,

(a ? 3) (a ? 3)

评述:本题属于二次函数在给定区间上的最值问题,由于二次函数的系数含有参数,对称轴 是变动的,属于“轴动区间定” ,由于图象开口向上,所以求最小值要根据对称轴 x=a 与区 间[2,4]的位置关系,分三种情况讨论;最大值在端点取得时,只须比较 f(2)与 f(4)的 大小,按两种情况讨论即可,实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况. 例 3 已知 f(x)=|lgx|,且 0<a<b<c, f(b)<f(a)<f(c),则下列一定成立的是 ( ) A.a<1,b<1,且 c>1 B.0<a<1,b>1 且 c>1 C.b>1,c>1 D. c>1 且

1 1 <a<1,a<b< c a
1.2

分析:画出 y=|lgx|的图象如图:f(x)在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)上为增函 数. 观察图象,因为 f(a)<f(b)<f(c),所以 c>1
1 0.8



1 1 <a<1,a<b< .答案:D c a

0.6

0.4

0.2

评述:通过此题体会数形结合思想,体会函数 图象在函数单调性问题中的应用. 例 4 函数 f(x)=x -bx+c,满足对于任何 x∈R
2

-0.2

0

1 c

0.5

-0.4

a

1

1

b

1.5

1 a

2

c

2.5

-0.6

都有 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是( A.f(b )≤f(c ) C.f(b )<f(c )
x x x x

x

x



B.f(b )≥f(c ) D.f(b )>f(c )
x x

x

x

分析:由对称语言 f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴,从而确定 b 值,再由 f(0)=3, 可确定 c 值,然后结合 b ,c 的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.
x x

解:∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴 x=∴b=2,又 f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)=x -2x+3
2
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?b =1 2

(1)当 x>0 时,1<2 <3 ,且 f(x)在[1,+∞ ) 上是增函数 所以 f(2 )<f(3 ),即 f(b )<f(c )
x x x x x x

x

x

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(2)当 x<0 时,1>2 >3 ,且 f(x)在(-∞,1)上是减函数,所以 f(2 )<f(3 ),即 f(b )<f(c )
x x

x

x

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(3)当 x=0 时,2 =3 =1 则 f(2 )=f(3 ),即 f(b )=f(c ) 综上所述,f(b )≤f(c ). 答案:A 三、课堂练习: 已知 f(x)=x -4x-4,x∈[t,t+1](t∈R),求 f(x)的最小值φ (t)的解析式. 解:f(x)=(x-2) -8 (1)当 2∈[t,t+1]时,即 1<t<2 时,φ (t)=f(2)=-8. (2)当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,故φ (t)=f(t)=t -4t-4. (3)当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数. 故φ (t)=f(t+1)=t -2t-7
2
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x

x

x

x

x

x

x

x

2

2

2

?t 2 ? 2t ? 7, ? 综上所述:φ(t)= ?? 8, ?t 2 ? 4t ? 4, ?

(t ? 1) (1 ? t ? 2) (t ? 2)
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四、课时小结: 本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法,把握数形结合的特征与方法,逐步掌 握函数思想在实际问题中的应用. 五、课后作业: 1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是 T 和 Q(万元) ,这两项 生产与投入的奖金 a(万元)的关系是 P=

a 10 ,Q ? a ,该集团今年计划对这两项生产共投 3 3

入奖金 60 万元,为获得最大利润,对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元?最大 利润为多少万元?

解:设投入养殖业为 x 万元,则投入养殖加工生产业为 60-x 万元 由题意:P+Q=

x 10 ? 60 ? x (0≤x≤60) 3 3
2

设 t= 60 ? x ,则 0≤t≤ 60 ,x=60-t P+Q=

10 1 1 2 85 2 (60-t )+ t=- (t-5) + 3 3 3 3

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∴当 t=5 时,即 x=35 时, (P+Q)max=

85 . 3 85 万元. 3

∴对养殖业投入 35 万元,对养殖加工生产业投入 25 万元,可获最大利润

2.已知 f ( x) ? 2 ? log3 x(1 ? x ? 9) ,求函数 y ? f ( x 2 ) ? [ f ( x)]2 的最大值和最小值, 并求取最大值和最小值的相应的 x 的值
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答案: x ? 3 时, y 取最大值 13; x ? 1 时, y 取最小值 6

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3.设集合 A ? [?1,1] , B ? [?

2 2 , ] ,函数 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? 1 2 2

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(1)设不等式 f ( x) ? 0 的解集为 C,当 C ? A ? B 时,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意实数 x ,均有 f ( x) ? f (1) 恒成立,求 x ? B 时, f ( x) 的值域; (3)当 m ? A, x ? B 时,证明 | f ( x ) |? 答案: (1) ? 1 ? m ? 1 (3)因为对称轴 x ? ?

9 8

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(2) [?2 2 ,2 2 ]

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m 1 1 2 2 ? [? , ] ? [? , ], 4 4 4 2 2

故只需证明 | f (?

m 9 2 9 2 9 ) |? , | f ( ) |? , | f ( ) |? 即可 4 8 2 8 2 8
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十二、板书设计(略) 十三、课后记:


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