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高中数学必修一知识点总结


高中数学必修一知识点总结
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辽宁高考数学命题教研组:13591657580 (姚老师)

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第一章
一、集合的概念:

集合

我们看到的、听到的、闻到的、触摸到、想到的各种各样的事物或一些 抽象的符号,都可以看作对象。 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是 由这些对象的全体构成的集合(或集) 。构成集合的每个对象叫做这个集合 的元素(或成员) 。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作:Φ 通常用大写字母 A,B,C,…表示集合;用小写字母 a,b,c,…表示元素。 (1)集合中元素与集合的关系:属于∈;不属于?。 若 a 是集合 A 的元素,记作 a∈A;若 b 不是集合 A 的元素,记作 b?A. (2)集合中元素的三个特性:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的 元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性: 一个给定集合中的元素, 指属于这个集合的互不相同的个体 (对 象) ,因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列 顺序无关; (3)根据含有元素个数可将集合分为有限集和无限集 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 整数集,记作 Z; 实数集,记作 R
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正整数集,记作 N*或 N+; 有理数集,记作 Q;

二、集合的表示方法: 表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 1.列举法:把集合中的元素都列举出来,写在大括号内; 适用:①有限集,元素不太多;②元素较多,但排列又呈现一定规律。 2.描述法: 一般地,在集合 I 中,属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x), 而不属于集合 A 的元素都不具有性质 p(x),则性质 p(x)叫做集合 A 的一个特 征性质。 集合 A 可以用它的特征性质 p(x)描述为{x∈I|p(x)},这种表示集合的方法 叫做特征性质描述法,简称描述法。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集 合元素的一般符号及取值(或 变化)范围, 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示 法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 3.图示法:一般用韦恩图表示。

三、集合间的关系 1.包含关系: 一般地, 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 那么集合 A 叫做集 合 B 的子集,记作:A?B 或 B?A,读作: “A 包含于 B”或“B 包含 A” 。 如果集合 P 中存在着不是集合 Q 的元素, 那么集合 P 不包含于 Q, 或Q 不包含 P,分别记作: 规定:空集是任意一个集合的子集。
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如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那 么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作:A B” ,或“B 真包含 A” 性质:(1)任意一个集合 A 都是它本身的子集,即 A?A; (2)空集是任意一个集合的子集,即Ф?A; (3)若 A?B,B?C,则 A?C;若 A B或B A 读作: “A 真包含于

B,B

C,则 A

C;

(4)若集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 注:子集与真子集的区别与联系:集合 A 的真子集一定是其子集,而集 合 A 的子集不一定是其真子集;若集合 A 有 n 个元素,则其子集个数为 2n, 真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n-2.

2.集合相等: 一般地,集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素,反过来,集合 B 的每一个 元素也都是集合 A 的元素,那么我们就说集合 A 等于集合 B,记作:A=B 注解:构成两个集合的元素完全一样。若 A?B 且 B?A,则称 A 等于 B,记 作 A=B;若 A?B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B;

3.集合关系与特征性质间的关系。 一般地,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果 A?B,则 x∈A?x∈B, 于是 x 具有性质 p(x)?x 具有性质 q(x), 即 p(x)?q(x)则 A 一定是 B 的子集。 如果 p(x)?q(x)则 A=B;反之如果 A=B 则 p(x)?q(x)。

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四、集合的基本运算 集合的基本运算包括交集、 并集和补集.在解题时要注意 Venn 图及补集思 想的应用。 1.交集 一般地,对于两个给定的集合 A,B 由属于 A 又属于 B 的所有元素构成 的集合,叫做 A 与 B 的交集。记作 A∩B,读作“A 交 B”

l∩⊙O={A,B};

A∩B 可用图中阴影部分表示

意义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B} 运算性质: ①A∩B=B∩A; ②A∩A=A; ③A∩Φ=Φ ;

④如果 A?B,则 A∩B=A;

⑤A∩B?A,A∩B?B;

2.并集 一般地,对于两个给定的集合 A,B 由两个集合所有的元素构成的集合, 叫做 A 与 B 的并集。记作 A∪B。读作“A 并 B” 。

意义:A∪B={x|x∈A 或 x∈B} 运算性质: ①A∪B=B∪A; ④A∪B=B?A?B.
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②A∪A=A;

③A∪Φ=A;

⑤A∪B?A,A∪B?B;
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3.补集: 在研究集合与集合间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合 的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用 U 表示。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素构 成的集合,叫做 A 在 U 中的补集,记作:CUA

意义:A∪B={x|x∈U 或 x?A} 注意: 全集是一个相对概念, 一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集, 是我们为研究集合关系临时选定的一个集合. 集合 A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一 起,就是全集.

交集、并集、补集的关系: ①A∩CUA=Φ;A∪CUA=A ;

②CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB);CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB).

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第二章 函数
第一部分、函数的基本概念 1.映射:设 A、B 是两个非空的集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 的任 何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集 合 A 到集合 B 的映射,记作 f: A→B.(包括集合 A,B 及 A 到 B 的对应法则) 注:(1)对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的象 (单射)

(2)集合 B 中的每一个元素都是集合 A 中的每一个元素的象(满射) (满射即集合 B 中的每一个元素都有原象。) 对映射概念的认识 (1)f: A→B 与 f: B→A 是不同的,即 A 与 B 上有序的.或者说: 映射是有方向的. (2)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一输出值.输出值的集合 是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值. 即:(i)不允许集合 A 中有空余元素;(ii)允许集合 B 中有剩留元素; (iii)允许多对一,不允许一对多. 2.函数:设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集 合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f( x)和它对 应。称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f( x),x∈A (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f( x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义 域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值{f( x)|x∈A}的集合 B 叫做函 数的值域. 注意:(i)函数符号 y=f( x)与 f( x)的含义是一样的; 都表示 y 是 x 的函数,其中
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x 是自变量,f( x)是函数值,连接的纽带是法则 f。f 是单值对应。
(ii)定义中的集合 A,B 都是非空的数集,而不能是其他集合; (2)一个函数的构成要素:定义域、值域和对应关系 (3)相等函数:两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。 注:两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。 如函数 y=x 和 y=x+1,其定义 域与值域完全相同,但不是相等函数;

y=sinx 与 y=cosx, 其定义域为 R, 值域都为[-1,1], 显然不是相等函数。
因此判断两个函数是否相等,关键是看定义域和对应关系 (4)函数的表示方法:表示函数的常用解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几 个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函 数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。 (6)复合函数:设 y=f(u),,u=g(x),当 x 在 u=g(x )的定义域中变化时,u=g(x)的值 在 y=f(u)的定义域 Df 内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形 成的一种函数关系 ,记为: y=f(u)=f [g(x)]称为复合函数(composite function),其中 x 称为自变量 ,u 为中间变量, y 为因变量 (即函数)。 如:设 f(x)=2x?3,g(x)=x2+2 则称 f[g(x)](或 g[f(x)])为复合函数。

f[g(x)]=2(x2+2)?3=2x2+1; g[f(x)]=(2x?3)2+2=4x2?12x+11

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第二部分、函数的基本性质 一、函数定义域的求法: ?分式中的分母不为零; ?偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ?指数式的底数大于零且不等于一; ?对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ?正切函数 y = tan x, ( x ∈ R, 且x ≠ kπ + , k ∈ Z )
π , k ∈ Z) ?余切函数 y = cot x,(x ∈R,且 x≠ k ?反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
? 函数 y=arcsinx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 ? ? , ?, ? ? 2 2? 函数 y=arccosx 的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,

π 2

π π

π π? 函数 y=arctanx 的定义域是 R ,值域是 ? ?? , ?, ? 2 2? 函数 y=arccotx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) .

二、函数值域求法: 1.直接观察法:对于一些比较简单的函数, 如正比例,反比例,一次函数,指数函 数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。 2.配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); 2 +bf (x) +c 的函数) 3.换元法(无理函数,部分三角函数;形如 y = af (x) 4.分离常数法 5.变量反表示法(利用变量及已学过函数的有界性,来确定函数的值域。) a1x2 + b1x ? c1 0) 分式函数) ( a1, a2 不同 时为 6.判别式法( 形如y = 2 a2 x + b2 x + c2 7.函数的单调性法: a.形如 y = ax + b + cx + d , 若 ac>0 用单调性法,ac<0 用换元法; b.形如 y = x + k (k > 0) ,若 x与 k 不能相等,用单调性法, x与 k 能相等,用不
x 等式法(特别关注 y = x + k (k > 0) 的图象及性质) x
x

x

8.导数法(高次函数) 9.不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 y = x + k (k > 0) 型函数,当 x与 k 不
x

x

能相等时必须用函数单调性) .数形结合法 10 10.

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三、函数单调性 1.定义:(1)单调函数的定义 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果定义域 I 内某个区间 D 上任 意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, ①若 f(x1)<f(x2),则 f(x)在 D 上是增函数. ②若 f(x1)>f(x2),则 f(x)在 D 上是减函数. (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 补注: (I)对于函数单调性定义的理解,要注意以下三点: (1)函数的单调性是对某一个区间而言的,例如,函数 f(x)在区间(-1,0)上是减 函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数.如函数 1 f(x)= . x (2)单调性是函数在某一区间上的性质,因此定义中的 x1,x2 在这一区间上具 有任意性,不能用特殊值代替. (3)由于定义都是充要性命题,因此由 f(x)是增(减)函数,且 f(x1)<f(x2)?x1<x2(或 x1>x2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可 以互推,如:y=f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,你会解不等式 f(1-x)<f(1-

x2)吗?
(II)在研究函数的单调性时,应先确定函数的定义域 如求函数 y=lg(x2-2x-3)的增区间时,易认为[1,+∞)是它的增区间, 而实际上它的增区间为(3,+∞).
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(III)给出抽象函数关系式,讨论其性质的题目,基本方法是赋值用定义讨论. 如判断单调性,须创造条件,判断 f(x1)-f(x2)的符号或

f(x1) 与 1 的大小. f(x2)

(Iv)熟练掌握增、减函数的定义,注意定义的如下两种等价形式: 设 x1,x2∈[a,b] ,那么:
f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ? < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 ? x2
( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

2.判断函数单调性的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (1)定义法:证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)。 ○ (2)复合函数的单调性法:同增异减,两两复合——即两个简单函数的单 调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调 性相反,则这两个函数的复合函数为减函数。 1 如果函数 y=f(u)和 u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数(或都是增 如:○ 函数),则复合函数 y=f[g(x)]是增函数;(y=g[f(x)]也是增函数) 2 如果函数 y=f(u)和 u=g(x)在其对应的定义域上一个是增函数, 一个是 ○ 减函数,则复合函数 y=f[g(x)]是减函数;(y=g[f(x)]也是减函数) (3)导数法:如果非常数函数 y=f(x)在某个区间内可导,那么 若 f'(x) ≥ 0 ? f(x)为增函数;若 f'(x) ≤ 0 ? f ( x) 为减函数. (4)图像法:从左至右,上增下减
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3.关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①增函数 f ( x) + 增函数 g ( x) 是增函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) + 减函数 g ( x) 是减函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数; 1 若 f(x)为增函数则(i)-f(x)为减函数; (ii) 为减函数(f(x)>0); f(x) (iii)f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0); (iv) f(x)为增函数(f(x)≥0); ②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性; 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性; 4.抽象函数的单调性:抽象函数要紧扣单调性的定义结合题中所给的性质和 相应的条件,对任意的 x1,x2 在所给的区间内,比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或
a x
f ( x1 ) 与 f ( x2 )

1 的大小。

5.对号函数 f ( x ) = x + , ( a > 0 ) 的单调性: (i)在 ( ? a , 0 ) , ( 0, a ) 分别递减; 在 ( ?∞, ? a ) , ( a , +∞ ) 分别递增。 (ii) x>0 时有最小值 f min = f x<0 时有最大值 f max 四、函数的奇偶性 1.定义:对于函数 f ( x ) ,其定义域为 D,若 x ∈ D ,则 ? x ∈ D , 如果 f (? x ) = ? f ( x ) ,那么函数 f ( x) 为奇函数; 如果 f (? x ) = f ( x ) ,那么函数 f ( x) 为偶函数。 当函数 f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性。 2.性质:(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇 函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称.
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( a) = 2 a ; = f ( ? a ) = ?2 a 。

(3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)奇函数在对称区间的增减性相同;偶函数在对称区间的增减性相反。 (5)奇函数的反函数也为奇函数. (6)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 × 奇=偶,偶+偶=偶,偶 × 偶=偶,奇 × 偶=奇 小结:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; 奇函数的和、差仍为奇函数; 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集. (7)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与 一个偶函数之和. 3.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称则进行② 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;作出相应结论: ○ (i)若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; (ii)若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数; (iii)若(i),(ii)都不满足,则 f(x)是非奇非偶函数。 注意:(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: (i) f ( x ) + f (? x ) = 0 ? f ( x ) 为奇函数; f ( x ) ? f (? x ) = 0 ? f (x ) 为偶函数; (ii)
f (x ) = ?1 ? f ( x ) 为奇函数; f (? x ) f (x ) = 1 ? f ( x ) 为偶函数。 f (? x )

(2)分段函数:应分段讨论,要注意据 x 的范围取相应的函数表达式或利用 图像判断. 图像法:利用“奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴 对称”来判断. (3)复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数 可依若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”. 五、函数的周期性 1.定义:对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有 f(x+T)=f(x),则 f(x)为周期函数,T 为这个函数的周期. 如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期。 注解:(1)抽象函数满足 f(x1)-f(x2)=0 且 x2-x1=a 则函数具有周期性
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(2)周期函数不一定有最小正周期,若 T≠0 是 f(x)的周期,则 kT(k∈Z, k≠0)也一定是 f(x)的周期. 2.几种常见周期函数周期的约定: f ( x + a ) = f ( x ? a ) —— T = 2 a (1) f ( x + a) = f ( x + b) —— T = b ? a ; (2) f ( x + a) = ? f ( x) —— T = 2 a
1 1 f (x + a ) = ? —— T = 2 a ; —— T = 2 a f ( x) f (x ) f (x ) + 1 1 + f (x ) f (x + a ) = (4) f (x + a ) = —— T = 2 a ; —— T = 2 a f (x ) ? 1 1 ? f (x ) 1 ( f ( x) ≠ 0) ,则 f(x)的周期 T=3a; (5) f ( x) = 1 ? f ( x + a) (6) f ( x + a ) = f ( x) ? f ( x ? a ) ,则 f(x)的周期 T=6a.

(3) f ( x + a ) =

小结:抽象函数关系式中 x 同号即为周期函数 (7)f(x)有两个对称轴:x=a,x=b(相邻)则 f(x)周期函数—— T = 2 b ? a (8)f(x)有两个对称中心:(a,c),(b,c)(相邻,且纵坐标相同),则 f(x)周期函 数—— T = 2 b ? a (9)f(x)有一个对称轴 x=a 与一个对称中心(b,c)(距离最近)则 f(x)周期 函数—— T = 4 b ? a 注意:若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ωx)(ω≠0)也是周期函数,且周 期为
T |ω |

三、函数的对称性:抽象函数关系式中 x 异号则函数具有对称性 (1)轴对称;抽象函数满足 f(x1)-f(x2)=0 且 x1+x2=a 则函数具有轴对称性 a)f(-x)=f(x)——对称轴为 x=0 即为 y 轴 b) f(a+x)=f(a-x)——对称轴为 x=a a+b c)f(a+x)=f(b-x)——对称轴为 x = 2 ? f (a + mx) = f (b ? mx) ? f (a + b ? mx ) = f (mx ) (2)中心对称:抽象函数满足 f(x1)+f(x2)=b 且 x1+x2=a 则函数具有中心对称性 a)f(-x)=-f(x)——对称中心为(0,0) b)f(a+x)=-f(a-x)——对称中心为(a,0) ? a+b ? ,0? c)f(a+x)=-f(b-x)——对称中心为 ? ? 2 ? ? a+b A? , ? d)f(a+x)=A-f(b-x)——对称中心为 ? ? 2 2?
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第二部分、一次函数、二次函数及基本初等函数 一、一次函数 1.定义:函数 y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,(一次函数又叫线性函数). 它的定义域为 R,值域为 R。图象是直线,其中 k 叫直线的斜率, b 叫直线在 y 轴上的截距。 2.一次函数的性质: (1)函数值的改变量 ?y = y 2 ? y1 与自变量的改变量 ?x = x 2 ? x1 的比值等于 常数 k,k 的大小表示直线与 x 轴的倾斜程度; (2)当 k>0 时,一次函数是增函数;当 k<0 时,一次函数是减函数; (3)b=0 时,一次函数为正比例函数,是奇函数;b≠0 时,它既不是奇函数, 也不是偶函数; (4)直线 y=kx+b 与 x 轴的交点为(-b/k,0),与 y 轴的交点为(0,b)

二、二次函数 1.定义:函数 y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为 R。 抛物线 y=ax2+bx+c 中,a,b,c 的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小:a>0 开口向上;a<0 开口向下; 当 a 的绝对值逐渐变大时,抛物线的开口逐渐变小. (2)b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置: 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线: x = ?
b , 2a

b ①b=0 时,对称轴为 y 轴;②( > 0 即 a,b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧; a b ③ < 0 (即 a,b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧. a
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(3)c 的大小决定抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点的位置: 当 x=0 时,y=c,∴抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴有且只有一个交点(0,c); ①c=0 抛物线经过原点; ②c>0 与 y 轴交于正半轴; ③c<0 与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,
b 则 <0 a

特别地,当 b=c=0 时,则二次函数变为 y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为 原点的抛物线,a>0 时,开口向上;a<0 时,开口向下. 这个函数为偶函数,

y 轴为图象的对称轴。

2.二次函数的性质: 一般地对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c 都可通过配方化为
b 2 4ac ? b 2 f ( x) = a( x + ) + =a ( x ? h ) 2 + k 2a 4a

(1)函数的图象是一条抛物线,抛物线的对称轴是: x = h = ?
b 4ac ? b 2 )(即(h,k); 坐标是( ? , 2a 4a

b ,抛物线的顶点 2a

(2)当 a>0 时,抛物线开口向上,在 x=h 处取最小值 ymin=k=f(h)=f( ? 在区间(-∞, ?
b b ]上是减函数,在[ ? , +∞)上是增函数. 2a 2a

b ); 2a

(3)当 a<0 时,抛物线开口向下,在 x=h 处取最大值 ymax=k==f(h)=f( ? 在区间(-∞, ?
b b ]上是增函数,在[ ? , +∞)是减函数. 2a 2a

b ); 2a

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3.二次函数有以下三种解析式: (1)一般式:y=ax2+bx+c.已知图像上三点或三对 x,y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:y=a(x-h)2+k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2).已知图像与 x 轴的交点坐标 x1,x2 通常选用交点式 4 、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系( 以 a>0 为例 ) (a<0 时,一元二次不等式可两边同时乘 ?1 ,转化为 a>0 的情况)
? = b 2 ? 4ac

△>0

△=0

△<0

f(x)=ax2+bx+c
(a>0)的图像

ax2+bx+c=0 的解 ax2+bx+c>0 的解 ax2+bx+c≥0 的解 ax2+bx+c<0 的解 ax2+bx+c≤0 的解
注意:

有两个不相等实根 x1,x2

有一个根 x0

没有实数根 R R

( ?∞, x1 ) U ( x2 , +∞ )
( ?∞, x1 ] U[ x2 , +∞ )

x ≠ x0
R

( x1 , x2 )

Φ

Φ

[ x1 , x2 ]

x = x0

Φ

0 的前提下解题口诀:"小于取中间,大于取两边." (1)一元二次不等式在 a> a>0
(2)二次函数图像与 x 轴交点横坐标是对应一元二次方程的根, 也是相应一元 二次不等式解的端点; (3)关于不等式恒成立问题,常见的解法有三种: (i)利用数形结合思想; (ii)利用分离变量,转化为函数最值求解;
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(iii)与二次函数有关的问题用判别式解决。

?a > 0 ?a > 0 2 ? ①ax +bx+c>0 恒成立 ? ? ; ②ax +bx+c≥0 恒成立 ? ; ?? ≤ 0 ?? < 0
2

?a < 0 ?a < 0 2 ? ? ③ax +bx+c<0 恒成立 ? ; ④ax +bx+c≤0 恒成立 ? ?? < 0 ?? ≤ 0
2

5、一元二次方程根的分布问题: 根的分布 图像 充要条件

x1 < x2 < k

k < x1 < x2

x1 < k < x2

f (k ) < 0

x1 , x2 ∈ ( k1 , k 2 )

?? ≥ 0 ? f (k ) > 0 1 ? ? ? f (k 2 ) > 0 ? ?k1 < ? b < k 2 ? 2a ?

x1 , x2 只有一个
根在 ( k1 , k2 ) 内

f (k1 ) ? f (k2 ) < 0 ;

或 f (k1 )=0,k1 < ? 或 f (k2 )= 0,1

b k1 + k2 < 2a 2

k + k2 b <? < k2 2 2a

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?? > 0 ? 特别地,(I)方程有两个不等的正根 ? x1 + x2 > 0 ; ?x x > 0 ? 1 2
?? > 0 ? (II)方程有两个不等的负根 ? x1 + x2 < 0 ?x x > 0 ? 1 2

(III)方程有一个正根一个负根 ? ac < 0 ? af (0) < 0 ? f (0) < 0 6.一次函数 y = kx + n(k ≠ 0) 的图像 l 与二次函数 y=ax2+bx+c 的图像 G 的交点,由方程组 ?
? y = kx + n
2 ? y = ax + bx + c

的解的数目来确定:

①方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点; ③方程组无解时 ? l 与 G 没有交点. 7.抛物线与 x 轴两交点之间的距离:
0),B( x 2, 0) ,由于 x1、x2 是方程 ①若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点为 A( x1,

ax2+bx+c=0 的两个根,故 x1 + x 2 = ? , x1 ? x2 =
AB = x1 ? x2 =

b a

c a
2

(x1 ? x2 )

2

=

(x1 ? x2 )

2

b 2 ? 4ac ? ? b ? 4c ? 4 x1 x2 = ? ? ? ? = = a a a ? a?

②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函 数的顶点处取得.

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三、指数函数、对数函数 (一)分数指数与根式 1、分数指数幂 ( a > 0, m, n ∈ N ? ,且 n > 1 ) (1) a = ( a ) = a ;
n m n m m n

(2) a

m n

=

1

a

m n

=n

1 am

2、根式的性质 (1) ( n a ) n = a .
n n (2)当 n 为奇数时, n a n = a ;当 n 为偶数时, a =| a |= ?

? a, a ≥ 0 . ? ? a, a < 0

3、有理指数幂的运算性质:若 (a > 0, b > 0, r , s ∈ Q ) ,则 r s rs r r r (1) a r ? a s = a r + s . (2) (a ) = a . (3) (ab) = a b . 注:若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的实数.上述有理指数幂 的运算性质,对于无理数指数幂都适用. (二)对数: 1.对数的定义: 若 ab=N,(a>0 且 a≠1)则 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作: loga N

(a>0 且 a≠1)
b 指数式与对数式的互化式: log a N = b ? a = N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) .

2.对数恒等式:(a>0 且 a≠1,N>0)

(1) a log

a

N

=N;

( 2 ) log a a N

=N;

( 3) log a N =

1 ; log N a

3.对数性质: 负数和零没有对数; 1 的对数是零, 底的对数是 1,即 log a 1 = 0 , log a a = 1 . 4.对数运算法则:(若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则) (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; M = log a M ? log a N ; (2) log a N
n 1 (3) log a M = n log a M (n ∈ R ) . (类似的 loga n N = loga N 。)

n

5.换底公式: log a N =

log m N (a>0 且 a≠1,m>0,且 m≠1, N > 0 )。 log m a
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n 推论 log am b =

n log a b (a>0 且 a≠1, m, n > 0,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m

6.两个特殊对数:(1)常用对数:以 10 为底的对数,记作:lgN (2)自然对数:以 e=2.71828…为底的对数,记作:lnN 7.常用公式:
n ① log a n b = log a b ;

② log a b m =
n

m log a b ; n

③ log a b ? log b a = 1 ; (三)指数函数与对数函数 名称 指数函数 一般 形式

④ log a b ? log b c = log a c 。

对数函数

y=ax(a>0,a≠1)
0<a<1

y=logax(a>0,a≠1)
0<a<1

a>1

a>1

图象

定义 域

(?∞, +∞)

(?∞, +∞)
(0, +∞)

(0, +∞)
(?∞, +∞)

(0, +∞)

值域 (0, +∞)
函数 值变 化情 况

当 0<a<1 时, 当 a>1 时,
?< 1( x > 0) ? a ?= 1( x = 0) ?> 1( x < 0) ?
x

当 0<a<1 时,
?< 0( x > 1) ? log a x ?= 0( x = 1) ?> 0(0 < x < 1) ?

当 a>1 时,
?> 0( x > 1) ? log a x ?= 0( x = 1) ?< 0(0 < x < 1) ?

?> 1( x > 0) ? a ?= 1( x = 0) ?< 1( x < 0) ?
x

单调 当 0<a<1 时, 当 a>1 时,是 当 0<a<1 时, 是减 当 a>1 时, 是增函 性 是减函数。 增函数; 函数。 数;

y=ax 的图象与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称。

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注意:1.(1)指数函数 a>1 时,a 越大图像越近 y 轴;0<a<1 时,a 越小图像 越近 y 轴。当 ab=1 时 y=ax 和 y=bx 图像关于 y 轴对称。

(2)对数函数 a>1 时,a 越大图像越近 x 轴;0<a<1 时,a 越小图像越近 x 轴。当 ab=1 时 y=logax 和 y=logbx 图像关于 x 轴对称。 2.设函数 f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0),记 ? = b 2 ? 4ac . (1)若 f(x)的定义域为 R,则 a>0,且 ? < 0 ; (2)若 f(x)的值域为 R,则 a>0,且 ? ≥ 0 . 对于 a=0 的情形,需要单独检验. 1 3.对数换底不等式及其推广:若 a>0,b>0,x>0, x ≠ ,则函数 y = log ax (bx) a 1 1 (1)当 a>b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞) 上 y = log ax (bx) 为增函数. a a
1 (2)当 a<b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞) 上 y = log ax (bx ) 为减函数.

1 a

a

推论:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则
2 (1) log m + p (n + p) < log m n . (2) log a m log a n < log a

m+n . 2

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四、幂函数 重难点:掌握常见幂函数的概念、图象和性质,能利用幂函数的单调性比较 两个幂值的大小.
α (一)幂函数的定义:一般地,形如 y = x (a ∈ R ) 的函数称为幂函数,其中 x

是自变量,α是常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. (二) 幂函数的图象.(我们举例学习这类函数的一些性质)

y =x
函数 性质 定义域 值域 奇偶性 (-∞,+ ∞)
( ? ∞, + ∞)

y = x2
(-∞,+ ∞)
+ ∞) [ 0,

y = x3
( ? ∞, + ∞) ( ? ∞, + ∞)

y=x

1 2

y = x?1
0) U (0, + ∞) ( ?∞, 0) U (0, + ∞) ( ?∞,

+ ∞) [ 0, + ∞) [ 0,

奇函数

偶函数
0] 减; ( ?∞, 0] 增 ( ?∞, (0,0) ,

奇函数

非奇非偶 函数 增函数

奇函数
0 ) 减函数 ( ?∞, 增函数 (0, + ∞) (1,1)

单调性 过定点

增函数

增函数 (1,1)

规律 1:当 α > 0 时,幂函数在 [0, +∞) 上是增函数;当 α < 0 时,幂函数在 (0, +∞) 上 是减函数; 规律 2:幂函数的图象的分布规律:
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(1)在第一象限,作直线 x = a(a > 1) ,它同各幂函数图象相交,按交点从下 到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列. (2) (i)幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限; (当 α = 奇 时,定义域不关于原点对称,幂函数为非奇非偶函数.)


(ii)幂指数的分子为偶数时,图象在第一、第二象限关于 y 轴对称; ( 当 α = 偶 时,幂函数是偶函数)


(iii)幂指数的分子,分母都为奇数时,图象在第一,第三象限关于原点 对称. (当 α =
奇 时,幂函数是奇函数; ) 奇

规律 3:幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y = x 对称. 记住几种常见的幂函数的图象:

(三)幂函数的性质: 1.(1)幂函数的图象都过点(1,1) ; (2)任何幂函数都不过第四象限; (3)当 α > 0 时,幂函数的图象过原点 2.当 α > 0 时,幂函数在 [0, +∞) 上是增函数; 当 α < 0 时,幂函数在 (0, +∞) 上是减函数; α<1 时,幂函数的图象上凸; 0<α 特别地,i)当α>1 时,幂函数的图象下凹;ii)当 0< iii)α<0 时,在第一象限内,幂函数的图象下凹,过 (1,1)后|a|越大,图像下 落的速度越快;当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴;当 x 趋于 + ∞ 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 3.当α=-2,2 时,幂函数是偶函数;当 α = ?1,1,3, 1 时,幂函数是奇函数.
3

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(1) α =

m 奇 = >1 n 奇

(2) α =

m 偶 = >1 n 奇

(3) α =

m 奇 = >1 n 偶

(4) 0 < α =

m 奇 = <1 n 奇

(5) 0 < α =

m 偶 = <1 n 奇

(6) 0 < α =

m 奇 = <1 n 偶

(7) α =

m 奇 = <0 n 奇

(8) α =

m 偶 = <0 n 奇

(9) α =

m 奇 = <0 n 偶

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