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厦门一中2013级高二(下)6月月考(试卷与参考解答)


厦门一中 2013 级高二(下)6 月月考

2015.06.01

理 科 数 学 试 题
满分为 150 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z ? ?1 ? 2i ? i 对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 2. 函数 y= x -lnx 的单调递减区间为 ( ) 2 A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 3. 某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据, 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 $ y ? 8.5 x ? 7.5 ,则表中的 m 的值为 ( )

A.50

B.55

C.60

D.65

4. 已知随机变量 ? 服从正态分布,其概率分布密度函数 f ? x ? ? 则下列结论中错误的是 A. E? ? 1 C. 若 ? ? ? ? 1,则 ? ? N ? 0,1? 5.由直线 x ?

1 ? e 2?

? x ?1?2
2

, ( )

B. p ? 0 ? ? ? 2? ? 1 ? 2 p ?? ? 2? D. D? ? 2

1 1 ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为 2 x 15 17 1 ln 2 A. B. C. D. 2 ln 2 4 2 4 1 n 3 * 6. 在二项式 ( x ? ) ( n ? N ) 的展开式中存在常数项,则 n 的值不可能为 x









A.12 B.8 C.6 D.4 7. 甲、乙、丙、丁、戌 5 人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为( A.72 种 B.54 种 C.36 种 D.24 种



8. 若(5x-4)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5 等于 ( ) A. 5 B. 25 C. ? 5 D. ?25 9. 若某校研究性学习小组共 6 人,计划同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6 人各自随 机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观结束后集合返回, 设事件 A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的 2 个人; 事件 B 为:在参观的第二个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为 2 人. 则 P( B | A) ? ( )

3 1 3 1 B. C. D. 8 8 16 16 e ? ? e d 的大小关系为 b, b ?? , c?e , d ?? , 10. 记a ? e , 则a, ( c, A. a ? d ? c ? b B. a ? c ? d ? b C. b ? a ? d ? c D. b ? c ? d ? a
A.
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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.在答题卷上的相应题目的答 题区域内作答. a?i 11. 已知复数 的共轭复数是 b ? i (其中 a , b 均为实数, i 为虚数单位), i 则 | a ? bi | 等于_______________. 12. 已知随机变量 ? 的方差 D? ? 4 ,且随机变量? ? 5? ? 4 ,则 D? =____________.
13. 4 位学生和 1 位老师站成一排照相, 若老师站中间,男生甲不站最左端,男生乙不站最右端,则不同排法的种数是 14. 已知 m ? 0 且 x ?1 ? 2x ?1 ? m 恒成立, a, b, c ? R 满足 a ? 2b ? 3c ? m .
2 2 2

___.

则 a ? 2b ? 3c 的最小值为______________.

* 15. 从装有 n 个球 (其中 n ? 1 个白球, 1 个黑球) 的口袋中取出 m 个球 0 ? m ? n ? 1, m, n ? N ,

?

?

m m 共有 Cn 种取法.在这 Cn 种取法中,可以分成两类:一类是取出的 m 个球全部为白球,一
m 1 m?1 0 m 类是取出的 m 个球中白球 m ? 1 个,则共有 C10 ? Cn ?1 ? C1 ? Cn?1 ? C1 ? Cn ,即有等式:
m m ?1 m * Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 0 ? m ? n ? 1, m, n ? N ? 成立.试根据上述思想化简下列式子:

16.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f '( x) ? f ? x ? ? ?1 ? 2x ? e? x ,且 f ? 0? ? 0 则下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的序号) ① f ( x ) 有极大值,没有极小值; ②设曲线 f ( x) 上存在不同两点 A, B 处的切线斜率均为 k ,则 k 的取值范围是 ? ③对任意 x1, x2 ? ? 2, ??? ,都有 f ?

m 1 m?1 m?2 m? k Cn ? Ck ? Cn ? Ck2 ? Cn ? ?? Ckk ? Cn ?

. (1 ? k ? m ? n, k , m, n ? N ) .

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 恒成立; ?? 2 ? 2 ? a b ④当 a ? b 时,方程 f ? a ? ? f ?b? 有且仅有两对不同的实数解 ? a, b ? 满足 e , e 均为整数.

1 ? k ? 0; e2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算 步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内作答.
17. (本小题 12 分) 国家标准规定:轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过 80 mg / km .根据这个标准,检测单位 从某出租车公司运营的 A、B 两种型号的出租车中分别抽取 5 辆,对其氮氧化物的排放量进行 检测,检测结果记录如下(单位: mg / km ) A B 85 70 80 90 85 95 60 70 90 75

(Ⅰ)从被检测的 5 辆 A 型号的出租车和 5 辆 B 型号的出租车中分别抽取 2 辆,求抽取的 这 4 辆车的氮氧化物排放量均不超过 80 mg / km 的概率; (Ⅱ) 从被检测的 5 辆 B 种型号的出租车中任取 2 辆, 记 “氮氧化物排放量超过 80 mg / km ” 的车辆数为 ? ,求 ? 的分布列.

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18. (本小题 12 分) 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线, 现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力, 提高产品的增加值.经过市场调查,产品的增加值 y 万元与技术改造投入的 x 万元之间满足: 4a a ①y 与(a-x)和 x2 的乘积成正比;②x∈(0, ].若 x= 时,y=a3. 5 2 (I)求产品增加值 y 关于 x 的表达式; (II)求产品增加值 y 的最大值及相应的 x 的值.

19. (本小题 12 分) 李克强总理 4 月 22 日(世界读书日前一天)在厦门大学考察时,指出世界读书日虽然只有 一天,但我们应该天天读书,这种好习惯会让我们终身受益。 某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动. 为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取 了 100 名学生进行调查.右侧是根据调查结果 绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟) 的频率分布直方图.若将日均阅读时间 不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”, 低于 60 分钟的学生称为“非读书迷”. (I)根据已知条件完成下面 2×2 的列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书迷”与 性别有关? 非读书迷 男 女 总计 (II)将频率视为概率,现从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽取 5 次, 记被抽取的 5 人中的“读书迷”的人数为 X .若每次抽取的结果是相互独立的, 求 X 的数学期望 EX 和方差 DX . 2 P ? 2 ≥ k0 0.100 0.050 0.010 0.001 n ad ? bc ? ? 附: ? 2 ? k0 2.706 3.841 6.635 10.828 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ? 读书迷 15 45 总计

?

?

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20. (本小题 12 分) 在一次智力测试中,有两个相互独立的题目 A 、 B ,答题规则为:被测试者答对问题 A 可得 分数为 a ,答对问题 B 的分数为 b ,没有答对不得分。先答哪个题目由被测试者自由选择, 但只有第一个问题答对,才能再答第二题,否则终止答题。若你是被测试者,且假设你答对 问题 A 、 B 的概率分别为 p1 , p2.

1 1 , p2 ? ,你应如何依据题目分值选择先答哪一个题目? 2 3 2 (II)若已知 a ? 10, b ? 20, p1 ? ,从统计学的角度分析,当 p2. 在什么范围时,选择先答 5 题 A 的平均得分不低于选择先答题 B 的平均得分?
(I)若 p1 ?

21. (本小题 14 分) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89,144,?,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们 把这样的一列数所组成的数列 { f n } 称为 “斐波那契数列” . “斐波那契数列” 有很多优美的性质. (I)通过计算,发现 f12 ? f22 ? f3 , f 22 ? f32 ? f5 , f32 ? f 42 ? f7 , f 42 ? f52 ? f9 , 照此规律,请你
* 写出第 n n ? N 个等式;

?

?

(II)在金融市场中, “卢卡斯数列”与“斐波那契数列”无处不在,金融市场的时间和价格均 服从斐波纳契数列和鲁卡斯数列, 王居恭先生提出并论证了用鲁卡斯数列预测股市变盘点的 方法,有时的准确率达到十分惊人的地步. “卢卡斯数列” ?ln ? 与“斐波那契数列”有密切
* 的关系,它满足: l1 ? 1, ln ? f n ?1 ? f n ?1 n ? 2, n ? N .它的前 6 项是 1,3,4,7,11,18,

?

?

计算

f 2 f 4 f 6 f8 , , , , 判断它们分别是 ?ln ? 中的第几项,请你依此规律归纳出一个正确的结 f1 f 2 f3 f 4

论,并证明该结论及(I)中你写出的等式.

22. (本小题 14 分) 设函数 f x = x - t ln x - 1 t ? R, t为常数 ,已知 f x 在 x = 1 处的切线平行于 x 轴. (I)求常数 t 的值; (II)(i)证明函数 f x 恰有两个零点 x1 < x2 ;

() (

)

(

)

()

() (ii)设 g ( x) = f ( x) + ln x +1 ,是否存在最小的正常数 m , 使得:当 a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 g ( x + a) < g ( a) e

x

恒成立?

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厦门一中 2013 级高二(下)6 月月考 数 学 参 考 答 案
一、选择题: BBCDD CCBAA 2 C4 3 ? 9. P ? B A? ? 4 2 8 10. ln c ? ? , ln d ? e ln ? 。 设 f ( x) ? e ln x ? x ,由 f ( x ) 在 ? 0 , e? 上为增函数,在 ?e , ? ?? 上为减函数, 得 f (? ) ? f (e) ,于是 f (? ) ? e ln ? ? ? ? f (e) ? e ln e ? e ? 0 。 e ? ∴ e ln ? ? ? ,即 ln d ? ln c ,于是 d ? c , ? ? e 。 e e ? ? 又显然, a ? e ? ? ? d , c ? e ? ? ? b 。于是, a ? d ? c ? b 。 m 二、填空题: 11. 2 ; 12.100; 13. 14 ;14. ?3 ; 15. Cn ?k
?x ?2 x ?2 x ' 知存在常数 C 使得 16. f ( x)e ' ? ?1 ? 2 x ? e ? xe

2015.06.01

16 . ①

?

②③④

?

?

?

f ( x)e? x ? xe?2 x ? C ,由 f ? 0? ? 0 得 C ? 0 所以 f ( x) ? xe? x ,

f '( x) ? ?1 ? x ? e? x ,可得 f ( x) 在 (??,1) 单调增,在 (1, ??) 单调减,
因此有极大值,没有极小值,①正确; f ''( x) ? ? x ? 2? e? x 可知

f '( x) 在 (??, 2) 单调减,在 (2, ??) 单调增, 其中 x ? ??, f '( x) ? 0 ,且 f '( x) ? 0 ,大致图像如右图, 1 最小值 f '(2) ? ? 2 ,所以②正确;由图像可知在 (2, ??) , f ''( x) ? 0 ,原函数 f ( x ) 为下凸函 e a b a a 数,故③正确; f ( a ) ? a ? b ? f (b) ,若 a ? b ,可知 a ? 1 ? b ,所以 1 ? e ? e ,由 e ? Z 知 e e a b ln 2 n 2 b ea ? 2 , a ? ln 2 所以 a ? b ? ,设 e ? n 则 2 ? n ,因此 n ? 4, b ? ln 4 (舍去 n ? 2 ), e e 2 同理 a ? b 时, b ? ln 2, a ? ln 4 ,共计两组解,故④正确
三、解答题: 17. 解:(Ⅰ)依题意得被检测的 5 辆 A 型号的出租车中有 2 辆车的氮氧化物排放量均不超过 80 mg / km ,5 辆 B 型号的出租车中有 3 辆车的氮氧化物排放量均不超过 80 mg / km 记“抽取的这 4 辆车的氮氧化物排放量均不超过 80 mg / km ”为事件 A ; 则 P ? A? ?
2 C32 C2 3 ? ? 2 2 C5 C5 100

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 B 种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为 3,随机变量 ? ? 0,1, 2 .

P ?? ? 0 ? ?

故 ? 的分布列为

1 1 2 C32 3 C3 C2 6 C2 1 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 3 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C5 10 C5 10 C5 10

?
P

0

1

2

3 10

6 10

1 10 3 . 100

答:(Ⅰ)抽取的这 4 辆车的氮氧化物排放量均不超过 80 mg / km 的概率为
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a 18. 解:(I)设 y=f(x)=k(a-x)x2,因为当 x= 时,y=a3,所以 k=8, 2 4a 2 所以 f(x)=8(a-x)x ,x∈(0, ]. 5 2a (II)因为 f′(x)=-24x2+16ax,令 f′(x)=0,则 x=0(舍),x= . 3 2a 2a 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0, )上是增函数, 3 3 2a 4a 2a 4a 当 x∈( , )时,f′(x)<0,所以 f(x)在( , )上是减函数, 3 5 3 5 2a 2a 32 3 所以,当 x= 时,ymax=f( )= a ; 3 3 27 4 a 2a 32 答:(I)f(x)=8(a-x)x2 ,x∈(0, ];(II)投入 万元,最大增加值 a3. 5 3 27 解法二:因为 x ? ? 0,

? ?

4 ? a ,所以 a ? x ? 0, 5 ? ?

所以 f ? x ? ? 8 ? a ? x ? x 2 ? 4 ? 2a ? 2 x ??x?x ? 4 ? ?

? 2a ? 2 x ? x ? x ? 32 3 ? ? a 3 ? ? 27

3

2a 等号当且仅当 2a ? 2 x ? x ? x 即 x= 时等号成立, 3 2a 4a 2a 2a 32 因为 ∈(0, ],所以当 x= 时,ymax=f( )= a3 3 5 3 3 27 4a 2a 32 2 答:(I)f(x)=8(a-x)x ,x∈(0, ];(II)投入 万元,最大增加值 a3. 5 3 27 19. 解:(I)完成下面的 2? 2 列联表如下 非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 假设 H 0 :“读书迷”与性别无关。

100(40 ? 25 ? 15 ? 20)2 计算 K 的观测值为 K ? ≈8.249> 6.635 60 ? 40 ? 55 ? 45
2

2

因为 P( K 2 ? 6.635) ? 0.01 ,所以,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为 H 0 不成立,即有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关。 (II)视频率为概率.则从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率为 由题意可知 X~B(5,

2 . 5

6 2 ), EX = np = 2 , DX = np ( 1 - p) = (或 1.2) 5 5 6 答:(I)有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关(II) EX = 2, DX = 5 20. 解:(Ⅰ)设先答 A 的得分为随机变量 ? ,先答 B 的得分为随机变量为? 。 ? p(? ? 0) ? 1 ? p1 ; p(? ? a) ? p1 (1 ? p2 ) ; p(? ? a ? b) ? p1 p2 ? E? ? 0 ? (1 ? p1 ) ? a ? p1 ? (1 ? p2 ) ? (a ? b) ? p1 ? p2 . ? p(? ? 0) ? 1 ? p2 ; p(? ? b) ? p2 (1 ? p1 ) ; p(? ? a ? b) ? p1 p2 ? E? ? 0 ? (1 ? p2 ) ? b ? p2 ? (1 ? p1 ) ? (a ? b) ? p1 ? p2 .
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1 1 1 1 , p2 ? . 则 E? ? E? ? a ? b 2 3 3 6 1 1 1 于是 a ? b 时选择先答 A ; a ? b 时选择先答 B ; a ? b 时选择先答 A 、 B 均可 2 2 2 (Ⅱ)若 a ? 10, b ? 20. 则 E? ? E? ? 10 p1 ? 20 p2 ? 10 p1 p2 选择先答题 A 的平均得分不低于选择先答题 B 的平均得分即 E? ? E? 1 p1 1 即 10 p1 ? 20 p2 ? 10 p1 p2 ? 0 ,即 p1 ? 2 p2 ? p ? ,所以 0 ? p2 ? . 1 p 2 ? 0 ,所以 p2 ? 4 2 ? p1 4 1 1 1 答. (Ⅰ) a ? b 时选择先答 A ; a ? b 时选择先答 B ; a ? b 时选择先答 A 、 B 均可; 2 2 2 1 (Ⅱ) p2 的取值范围是 0 ? p2 ? . 4 * 2 2 * 21.解:(Ⅰ)第 n ? n ? N ? 个等式是 f n ? f n ?1 ? f 2 n ?1 , ? n ? N ? ;
于是 E? ? E? ? ap1 (1 ? p2 ) ? bp2 (1 ? p1 ). 若 p1 ?

f f f2 f f f f f ? 1, 4 ? 3, 6 ? 4, 8 ? 7, 即 2 , 4 , 6 , 8 分别是 ?ln ? 中的第 1,2,3,4 项 f1 f 2 f3 f 4 f1 f2 f3 f4 f * 由此归纳出一个结论是:对任意 n ? N 均有 2 n ? ln . fn f * 下面我们用数学归纳法证明对任意 n ? N 均有 2 n ? ln 和 f n2 ? f n2 ?1 ? f 2 n ?1 fn f 2 2 证明:(1)当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? l1 , f1 ? f 2 ? f3 ,等式成立; f1 f * (2)假设当 n ? k ? k ? N ? , 时,等式成立,即 2 k ? lk 且 f k2 ? f k2 ?1 ? f 2 k ?1 fk
(Ⅱ) 则当 n ? k ? 1 时 f2k ?2 ? f2k ?1 ? f2k ? fk ? fk ?1 ? fk lk ? f k ?1 ? f k ?lk ? f k ?
2 2 2

因为当 k ? 1 时 f1 ? l1 ? 2 ? 2 f 2 ,当 k ? 2 时 f k ? lk ? fk ? fk ?1 ? f k ?1 ? f k ?1 ? f k ?1 ? 2 f k ?1
2 2

所以 f2k ?2 ? fk ?1 ? fk ?lk ? fk ? ? fk ?1 ? 2 fk fk ?1 ? fk ?1 ? fk ?1 ? 2 fk ? ? fk ?1 ? fk ?2 ? fk ? ? fk ?1lk ?1 即

f2k ?2 ? lk ?1 f k ?1
2

2 2 2 2 2 2 所以 f k ?1 ? f k ? 2 ? f k ?1 ? ? f k ?1 ? f k ? ? f k ?1 ? 2 f k f k ?1 ? f k ?1 ? f k ? f 2 k ? 2 ? f 2 k ?1 ? f 2 k ?3

所以,当 n ? k ? 1 时,等式也成立;

f2n ? ln 和 fn2 ? fn2?1 ? f 2n?1 . fn x- t + ln x , 22.解:(Ⅰ)由 f ( x) = ( x - t) ln x - 1 得 f ' ( x) = x 依题意,由 f ( x) 在 x = 1 处的切线平行于 x 轴知 f '(1) = 1 - t = 0 ,所以 t = 1 .
综上,由(1)、(2)知,对任意 n ? N 均有
*

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知 t = 1 ,所以 f ' x = 所以 f ' x 是增函数,又因为 f ' 1 = 0 ,
厦门一中 2013 级高二(下)理科数学 6 月月考

( )

x- 1 1 1 + ln x ,所以 f '' ( x) = 2 + > 0 x x x

( )

()

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( 0,1) 时 f '( x) < f '(1) = 0 ,所以 f ( x) 在 ( 0,1) 上单调递减, 当 x ? (1, ? ) 时 f '( x) > f '(1) = 0 ,所以 f ( x) 在 (1, +? ) 上单调递增, 骣 骣 1 1 1 2 又因为 f 琪 > 0, f (1) = - 1 < 0, f ( e) = ( e - 1) ln e - 1 = e - 2 > 0 琪 =琪 琪 - 1 ln - 1 = 1 e e e e 桫 桫
所以当 x ?
2 2 2 2

骣 1 f ( 1) < 0, f (1) f ( e) < 0, 所以 f ( x) 在 ( 0,1) 和 (1, +? ) 上各有一个零点, e 桫 即函数 f ( x) 恰有两个零点 x1 < x2 ,且满足 0 < x1 <1 < x2 < e . (ii)这样的最小正常数 m 存在. g ( x) = f ( x) - ln x - 1 = x ln x 所以由 g ( x + a) < g ( a) ex 得 ( a + x) ln ( a + x) < a ln a?ex 琪2 即f琪
ex 得当 a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 h ( x + a) < h ( a) 恒成立.


( a + x) ln ( a + x) < a ln a ,设 h ( x) = x ln x ,则问题就是是否存在最小的正常数 m ,使
e x +a ea

因为 h ' x =

1 + ln x) e ( ) ( e

x

- x ln xe x

2x

= - f ( x) e- x ,由(i)知 f ( x) 在 ( 0,1) 和 (1, +?
-x

) 上各

() ( ) ( ) 上单调递增 所以当 x ? ( 0, x ) 时 f ( x) > 0 , h '( x) = - f ( x) e < 0 , h ( x) 在 ( 0, x ) 上单调递减 当 x ? ( x , x ) 时 f ( x) < 0 , h '( x) = - f ( x) e > 0 , h ( x) 在 ( x , x ) 上单调递增 当 x ? ( x , ? ) 时 f ( x) > 0 , h '( x) = - f ( x) e < 0 , h ( x) 在 ( x , +? ) 上单调递减 注意到 h (1) = 0 ,当 x ? ( 0,1) 时 h ( x) < 0 时;当 x ? (1, ? ) 时 h ( x) > 0 则 h ( x ) 是函数的极大值,也是最大值.
有一个零点即 0 < x1 <1 < x2 < e ,且 f x 在 0,1 上单调递减,在 1, +?
1 1
-x 1 2 1 2

-x

2

2

2

题目要找的 m = x2 ,理由是: 当 a ? x2 时,对于任意正实数 x , x + a > a > x2 ,而 h x 在 x2 , +? 所以 h x + a < h a 一定恒成立,说明 m ? x2 .; 另一方面,当 0 ? a ? x2 ,取 x ? x2 ? a ,显然 x ? 0 且 h x + a = h x2 > h a 题目所要求的不等式不恒成立,说明 m 不能比 x2 小. 综上可知,题目所要寻求的最小正常数 m 就是 x2 ,即存在最小正常数 m = x2 , 当 a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 g x + a < g a e 恒成立.
x

( ) (
(

) 上单调递减,
( )

(

)

( )

)

( )

(

)

( )

1 ,由 y1 ? ln x 在 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 递增, x ?1 y 当 x ? 0 时 y1 ? ?? ,当 x ? 1 时 y1 ? 0 ,当 x ??? 时 y1 ? ?? , y1 ? ln x 1 由 y2 ? 在 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 递减,当 x ? 0 时 y2 ? ?1 , x ?1 ? ? O 当 x ? 1 时 y2 ? ?? ,当 x ? 1 时 y2 ? ?? ,当 x ??? 时 y2 ? 0 , 1 1 大致图像分别如右: y1 ? ln x 与 y2 ? y2 ? x ?1 x ?1 两函数在区间 ? 0,1? 与 ?1, ?? ? 各有一交点,故 f ? x ? 恰有两零点.
解法二:方程 f ? x ? ? 0 等价于 ln x ?
厦门一中 2013 级高二(下)理科数学 6 月月考 8 (共 4 页)

x


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