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2.2直接证明与间接证明(教学设计)(2)


2.2 直接证明与间接证明(教学设计) (2) 2. 2 .1 综合法和分析法(2)--分析法 教学目标: 知识与技能目标: (1)理解分析法证明的概念; (2)能熟练地运用分析法证明数学问题; (3)综合法与分析法结合使用证明数学 问题。 过程与方法目标: (1)通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点; (2)引导学生归纳出分析法证明的操作流程图; (3)通过 实例引导学生

灵活选用证明的方法。 情感、态度与价值观: (1)通过分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。 (2)通过分析法的学习,养成审慎思维的习 惯; (3)通过证明方法的选择,与两种证明方法的结合使用,培养学生综合解决问题的能力。 教学重点:了解分析法思考过程、特点 教学难点:对分析法的思考过程、特点概括 教学过程: 一、复习回顾: 1、综合法定义: 一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成 立,这种方法叫做综合法。 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论,则综合法可表示为:

? P ? Q1 ? ? (Q1 ? Q2 ) ? ?Q2 ? Q3 ? ? ..... ? ?Qn ? Q?

2、综合法的特点是: 由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。 二、创设情境,新课引入 证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的条件,即使 Q 成立的充分条件 P1,为了证明 P1 成立,再去寻求 P1 成立的充分条件 P2,为了证明 P2 成立,再去寻求 P2 成立的充分条件 P3,?? 直 到找到一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。 三、师生互动,新课讲解: 例 1:求证: 证明: 要证

a?b ? ab (a>0,b>0) 2 a?b ? ab , 2

只需证

a ? b ? 2 ab ,
只需证

a ? b ? 2 ab ? 0 ,
只需证

( a ? b)2 ? 0
由于 ( a ? b ) 2 ? 0 显然成立,因此原不等式成立。 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。这种方法叫做分析法。 分析法可表示为:

?Q ? P ? ? (P ? P2 )..... ? (Pn?1 ? Pn ) ? ? Pn ? P? 1 1

分析法的特点是:执果索因,即寻找使结论成立的条件。 分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真, 只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有??
1

?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真 例 2(课本 P39 例 4) :求证 3 ? 7 ? 2 5 。 分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件。 证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数,所以为了证明

3? 7 ? 2 5,
只需明

( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ,
展开得

10 ? 2 21 ? 20 ,
只需证 因为 21 ? 25 成立,所以

21 ? 5 ,

( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 成立。
说明:①分析法是“执果索因” ,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立统一的两种方法 ②分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是:为了证明命题 B 为真, 这只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故 B 必真 在本例中, 如果我们从 “21<25 ” 出发, 逐步倒推回去, 就可以用综合法证出结论。 但由于我们很难想到从 “21<25” 入手,所以用综合法比较困难。 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间 ‘ ‘ ‘ ‘ 结论 Q ;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P .若由 P 可以推出 Q 成立,就可以证明结论成立.下面 来看一个例子. 例 3(课本 P41 例 6) :已知 ? , ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,且
① ②

sin ? ? cos ? ? 2sin ? sin ? cos? ? sin 2 ?
求证:

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? 。 ? 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? )

分析:比较已知条件和结论,发现结论中没有出现角 ? ,因此第一步工作可以从已知条件中消去 ? 。观察已知条 件的结构特点,发现其中蕴含数量关系 (sin ? ?

c o s2 ? ? )

2 ?i n ? ? s 于 1 , 由 ① 2 一 2 × ② 得 s co , 是

4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1.把 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1与结论相比较,发现角相同,但函数名称不同,于是尝试转化结论: 1 2 2 2 2 统一 函数名称 ,即把正切函 数化为正 (余)弦函数 .把结论 转化为 co s ? ? sin ? ? (co s ? ? sin ? ) , 再与 2 1 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1比较,发现只要把 co s 2 ? ? sin 2 ? ? (co s 2 ? ? sin 2 ? ) 中的角的余弦转化为正弦,就能达到目 2
的. 证明:因为 (sin ? ? cos? ) ? 2sin ? cos? ? 1,所以将 ① ② 代入,可得
2

4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1.
另一方面,要证



1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? , ? 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? )

2

即证

sin 2 ? sin 2 ? 1? cos 2 ? cos 2 ? ? , sin 2 ? sin 2 ? 1? 2(1 ? ) cos 2 ? cos 2 ? 1?
co s 2 ? ? sin 2 ? ? 1 (co s 2 ? ? sin 2 ? ) , 2

即证

即证

1 ? 2sin 2 ? ?

即证 由于上式与③相同,于是问题得证。

1 (1 ? 2sin 2 ? ) , 2 4sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1。
1 1 ? 2≥a ? ? 2 . 2 a a

例 4.用分析法证明:若 a ? 0 ,则 a 2 ? 解:要证原不等式,只需证 a 2 ?
∵ a ? 0 ,∴两边均大于零.

1 1 ? 2≥ a ? ? 2 . a2 a

因此只需证 a 2 ? 只需证 2 a 2 ?

1 1 1 1? ? ? 4 ? 4 a2 ? 2 ≥ a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? a ? ? , a2 a a a? ?

1 1 ≥ 2?a ? ? , ? ? a2 a? ? 1 ? 1 1 1 ? 只需证 2 ? a 2 ? 2 ? ≥ a 2 ? 2 ? 2 ,即证 a2 ? 2 ≥ 2 ,而 a2 ? 2 ≥ 2 显然成立, a ? a a a ? ∴原不等式成立.

四、课堂小结、巩固反思: 1、分析法的特点是:执果索因,即寻找使结论成立的条件。 2、分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真, 只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? ?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真 五、布置作业: A 组: 1.分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的(A) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件 2 2. 分析法又叫执果索因法, 若使用分析法证明: a>b>c, a+b+c=0, 设 且 求证: b -ac< 3a 索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 [答案] C [解析] 要证 b -ac< 3a 只需证 b -ac<3a
2 2 2 2

)

B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

只需证 b -a(-b-a)<3a 只需证 2a -ab-b >0.
2 2

2

只需证(2a+b)(a-b)>0,
3

只需证(a-c)(a-b)>0. 故索的因应为 C. B 组: 1、 (课本 P44 习题 2.2 B 组 NO:1)

2、 (课本 P44 习题 2.2 B 组 NO:2)

4


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