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抽象函数方程解法探讨


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 抽象函数方程解法探讨 作者:朱建军 来源:《中学课程辅导高考版· 教师版》2013 年第 23 期 摘 要:函数是中学数学中的一个重要的概念,是高中函数部分的难点之一,此类试题不 仅能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐。本文探讨用 多种方法,从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题。 关

键词:函数方程;抽象函数;解法 中图分类号:G427 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)23-053-1 函数是中学数学中的一个重要的概念,是高考数学的重点内容之一。所有的函数关系都可 以用一个抽象的符号 y=f(x)来表示,在实际的情境中,常出现抽象函数方程的问题。抽象 函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如 函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难 点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载 体,因此理解研究起来比较困难。但由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生 的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,本文探讨用多种方 法,从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题。 一、利用特殊模型法 有关抽象函数的问题往往是已知函数在定义域内满足一些性质和运算规律,进一步推理其 他的性质和运算规律,有时候用常规方法解决很难,但与学过的具体函数相结合,问题就容易 解决。 1.指数函数型模型 例 1.定义在 R 上的函数 y=f(x),当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 a,b∈R,都有 f (a+b)=f(a)f(b)成立。试判断函数 f(x)的单调性。 解析:要判定函数的单调性可以直接用定义的方法去解决。 对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)f(b)成立。 可猜想抽象函数 f(x)生成的原型函数:f(x)=ax,x>0 时,f(x)>1,可推出底数 a>1,由此可大胆猜想:函数 f(x)在 R 上是增函数。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 2.对数函数型模型 例 2.如果函数 f(x)的定义域为 R+,且满足:f(xy)=f(x)+f(y),f(8)=3,那么 f(2)= 。 分析:根据函数 f(x)的定义域为 R+,且满足:f(xy)=f(x)+f(y)。 可构造函数 f(x)=logax,由 f(8)=3,解出 a=2,从而解得 f(2)=12。 二、函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性周期性、特殊点等)反映出来的,抽象函数 也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才 能转化,化难为易,常用的解题方法有:利用奇偶性整体思考,利用单调性等价转化,利用周 期性回归已知,利用对称性数形结合。 例 3.已知定义在 R 上的函数 f(x),x≠0 对任意不等于零的实数 m,n,都有 f(m· n)=f (m)+f(n)成立,且 f(4)=2,试判断函数 f(x)的奇偶性并求 f(-2)。 分析:根据函数奇偶性的判定方法,找出 f(-x)与 f(x)的关系,是本题的关键所在, 而用特殊值进行验算是解决抽象函数问题的常用手段。 解:令 m=-1,n=1,得 f(-1)=f(-1)+f(1),所以 f(1)=0,又令 m=n=-1 得 f(1) =f(-1)+f(-1),所以 f(-1)=0,再令 m=x,n=-1,

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