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空间图形的基本关系与公理


复习回顾 空间中点、线、面之间的位置关系: (1)空间点与直线的位置关系有__种: (2)空间点与平面的位置关系有__种:

(3)空间两直线的位置关系有__种:

a?? (4)空间直线与平面的位置关系有__种: c ? ? ? A? a // ? ? // ? (5)空间平面与平面的位置关系有__种: ? // ? ? BC


?

? ?

P ?a P?a P ?? P ??

平行直线. 共面直线 相交直线. 异面直线.

?

?
?

§4 空间图形的基本关系与公理(2) 一、四个公理 不加证明的 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这 大家都认为 正确的结论. 条直线上所有的点都在这个平面内.

?

A

B

l

A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?
作用:判断直线是否在平面内的依据.

公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 .

?

A

B C

A、B、C三点不共线 使得 A, B, C ? ? .

?有且只有一个平面? ,


或“ ABC” 作用: 确定平面的依据. 平面? 也可记作“平面ABC”

注意!
“有且只有一个”中的“有”是说图形存在, “只有一 个” 是说图形 “唯一”.

思考交流1
1.经过一条直线和这条直线外的一点, 可以确定一个平面吗? 2.经过两条相交直线, 可以确定一个平面吗? 3.经过两条平行直线,可以确定一个平面吗? a a

?

A

?

b

?

b a

结论: A ? a ?有且只有一个平面? , 使 A ? ? , a ? ? . (1)

a ? b ? P ? 有且只有一个平面? ,使 a (2)
作用: 确定平面的依据.

? ?,b ? ?. a // b ? 有且只有一个平面? ,使 a ? ? , b ? ? . (3)

D? A? D A B B?

C?

C

公理3 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.

P ? ? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
作用:判断两个平面是否相交的依据.

?

?

P

l

画两个相交平面如何画? β 画法:

α

a

按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图,图中的线段 AB,分别是两个平面的交线. α A α β A B
β

B
( 1)

( 2)

a
b

c
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.

a // b, b // c ? a // c
作用:判定空间两直线平行的依据.

(平行的传递性)

思考交流2
如图(1), 在平面内如果两个角的两条边分别对应平行, 那么 这两个角是什么关系?
A? A

B?

O? B

O

C

(1) E (2) 如图(2), 在空间, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这 两个角是什么关系? 二、等角定理 空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那
么这两个角相等或互补. 作用: 判定空间两角相等的依据.

三、例题与练习 例1.已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的中 点,F、G分别是边CB、CD上的点,且 EFGH有一组对边平行但不相等. 证明:如图,连接BD、EH、FG,
CF CG 2 ? ? , CB CD 3

求证:四边形
A H D G C

1 ? EH ? BD ? B EH是△ABD的中位线 ?? 2 F ? ? EH // BD ?EH // FG
CF CG 2 在△BCD中, CB ? CD ? 3

四个顶点不 在同一平面 E 内的四边形.

?

? FG // BD ? 2 ? FG ? BD ? 3 ?

1 EH ? BD 2

? ??

FG ? EH

??

四边形EFGH的一组对边平行但不相等.

变式练习: (1)已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的 平行四边形 . 中点,F、G分别是边CB、CD上的中点, 则四边形EFGH是_________ (2)已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的
AE AH 2 CF CG 2 ? ? , ? ? , 点,且 AB AD 3 F、G分别是边CB、CD上的点,且 CB CD 3
平行四边形 则四边形EFGH__________. (3)已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的 中点,F、G分别是边CB、CD上的中点, 且对角线AC=BD,则四边形 EFGH是_________ . 菱形 A E B F D G C H B F E D G H B F C A E D G C A H

例2.如图, 将无盖正方体纸盒展开, 直线AB, CD在原 正方体中的位置关系是( D ). A. 平行
C
A

B. 相交且垂直 C. 异面直线

D. 相交成60o

C

D B

A
( D) B

练习.P24/1,2,3,4; P26/1,2,3.

四、课堂小结 1.四个公理的内容及作用:

A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?
A、B、C三点不共线 使得 A, B, C ? ? .

?有且只有一个平面? ,

P ? ? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
a // b, b // c ? a // c
2.等角定理的内容及作用. 空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角 相等或互补.


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