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《导数及其应用》单元测试题(文科)(1)


导数测试题 1
一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确) 1.函数 f ( x ) ? ? 2 ? x ? 的导数是(
2


2 (C) f ? ( x ) ? 8 ? x

(A) f ? ( x ) ? 4 ? x 2.函数 f ( x ) ? x ? e (A) ? ? 1 , 0 ?
?x

2 (B) f ? ( x ) ? 4 ? x

(D) f ? ( x ) ? 16 ? x

的一个单调递增区间是( (C) ?1 , 2 ?



(B) ? 2 , 8 ?

(D) ?0 , 2 ?
g? ( x )?

3 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x ) ? ? f ( ,) x
f ? ( x )? , 0 ?g ( ? ) ,则 x ? 0 时( x 0

, 且 g ( x) x ? 0 时 ,



A. f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0 C. f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0
3

B. f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0 D. f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0 )
1 2

4.若函数 f ( x ) ? x ? 3 bx ? 3 b 在 ? 0 ,1 ? 内有极小值,则(

(A) 0 ? b ? 1
4

(B) b ? 1

(C) b ? 0

(D) b ?

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0
x



B. x ? 4 y ? 5 ? 0
2

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

6.曲线 y ? e 在点 ( 2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 4
e
2

A.

e

2

B. 2 e

2

C. e

2

D.

2

7.设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

1

8.已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f '( x ) , f '( 0 ) ? 0 ,对于任意实数 x 都有
2

f ( x ) ? 0 ,则

f (1) f '( 0 )

的最小值为(
5 2


3 2

A. 3
x

B.
2

C. 2

D.

9.设 p : f ( x ) ? e ? ln x ? 2 x ? m x ? 1 在 ( 0, ? ) 内单调递增, q : m ≥ ? 5 ,则 p 是 q 的 ? ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

10. 函数 f ( x ) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A) 0 ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 )
/ /

y

(B) 0 ? f ( 3 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2 )
/ /

(C) 0 ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 )
/ /

(D) 0 ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 )
/ /

O

1 2 3 4

x

二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 11.函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0 ) 的单调递增区间是____. 12.已知函数 f ( x ) ? x ? 1 2 x ? 8 在区间 [ ? 3 , 3 ]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
3

M ? m ? __.

13.点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 3

上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值

范围是 14.已知函数 y ? 是
1 3 x
3

? x

2

? ax ? 5 (1)若函数在 ? ? ? , ??

? 总是单调函数,则 a 的取值范围
. .

. (2)若函数在 [1, ?? ) 上总是单调函数,则 a 的取值范围

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是

2

三.解答题 15.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

16.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 a x ? 3 b x ? 8 c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [ 0,] ,都有 f ( x ) ? c 成立,求 c 的取值范围. 3
2

17. 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 3 .
3 2

(1)求曲线 y ? f ( x ) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

3

18.已知 f ( x ) ?

ax 3

3

? ( a ? 1) x

2

? 4 x ? 1? a ? R ?

(1)当 a ? ? 1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ? ? 1 , 0 ? ,函数有最小值-3?

19.已知函数 f ? x ? ? x ?

a

2

x

, g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 .

(1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1 , x 2 ? ?1, e ? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x 2 ? 成立,求 实数 a 的取值范围.

4

【文科测试解答】 一、选择题
1.
f ( x ) ? ?2? x ?
2

? 4?

2

2 x ,? f ? ( x ) ? 2 ? 4 ? x ? f ? ( x ) ? 8 ?

2

2

x

;

2. f ( x ) ? x ? e ? x ? 3.(B)数形结合

x e
x

. ? f ?( x ) ?

1?e

x

? x ?e
x 2

x

?e ?

?,

?1 ? x ? ? e x

?e ?
x

2

? 0 , ? x ? 1 选(A)

2 2 4.A 由 f ? ( x ) ? 3 x ? 3 b ? 3 ? x ? b ? ,依题意, 首先要求 b>0, 所以 f ? ( x ) ? 3 ? x ?

b

?? x ?

b

?

由单调性分析, x ?

b 有极小值,由 x ?

b ? ? 0 ,1 ? 得.
4

5.解:与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x 在某一点的导数为 4,而 y ? ? 4 x ,所以 y ? x 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故选 A
3 4

6.(D) 7.(D) 8.(C) 9.(B) 10.B 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 AB,点 A 处的切线为 AT 点 B 处的切线为 BQ,
? f (3) ? f ( 2 ) ?

T B A

f (3) ? f ( 2 ) 3? 2

? k AB

y

? f ? ( 3 ) ? k BQ , f ? ( 2 ) ? k AT ,

如图所示,切线 BQ 的倾斜角小于 直线 AB 的倾斜角小于 切线 AT 的倾斜角
? k BQ ? k AB ? k AT

Q

O

1 2 3 4

x

所以选 B 11. ? , ? ? ?
?e ?1 ? ?

12.32 13. ? 0 , ? ?
? ? ? 3? ? ,? ? ?? ? 2 ? 4 ? ?

14. (1) a ? 1; ( 2 ) a ? ? 3 ; ( 3 ) a ? ? 3 .

三、解答题 15. 解:设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为
5

h ?

18 ? 12 x 4

? 4 . 5 ? 3 x (m)

3? ? ? 0< x < ? 2? ?

.

故长方体的体积为
V ( x ) ? 2 x ( 4 .5 ? 3 x ) ? 9 x
2 2

? 6 x (m

3

3

)

( 0< x <

3 2

).

从而 V ? ( x )

? 18 x ? 18 x ( 4 . 5 ? 3 x ) ? 18 x (1 ? x ).

2

令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 3

时,V′(x)<0,

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 从而最大体积 V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。
2 16.解:(1) f ? ( x ) ? 6 x ? 6 a x ? 3 b ,

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ? (1) ? 0 , f ? ( 2 ) ? 0 .
? 6 ? 6 a ? 3 b ? 0,

即?

? 2 4 ? 1 2 a ? 3 b ? 0.

解得 a ? ? 3 , b ? 4 .

(2)由(Ⅰ)可知, f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? 1 2 x ? 8 c ,
3 2

f ? ( x ) ? 6 x ? 1 8 x ? 1 2 ? 6 ( x ? 1)( x ? 2 ) .
2

当 x ? ( 0, 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, ) 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 2,) 时, f ? ( x ) ? 0 . 1) 2 3 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8 c ,又 f ( 0 ) ? 8 c , f (3 ) ? 9 ? 8 c . 则当 x ? ? 0,? 时, f ( x ) 的最大值为 f (3 ) ? 9 ? 8 c . 3 因为对于任意的 x ? ? 0,? ,有 f ( x ) ? c 恒成立, 3
2

所以

9 ? 8 c ? c ,解得
2

c ? ?1 或c ? 9 ,

? ? 因此 c 的取值范围为 ( ? ? , 1) ? (9, ? ) .
2 17.解(1) f ? ( x ) ? 6 x ? 6 x , f ? ( 2 ) ? 1 2 , f ( 2 ) ? 7 ,

?????????2 分

∴曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 1 2 ( x ? 2 ) ,即 12 x ? y ?17 ?0 ;??4 分 (2)记 g ( x ) ? 2 x ? 3 x ? m ? 3, g ?( x ) ? 6 x ? 6 x ? 6 x ( x ? 1)
3 2 2

令 g ? ( x ) ? 0 , x ? 0 或 1.

??????????????????????6 分

则 x , g ? ( x ), g ( x ) 的变化情况如下表

6

x

(?? , 0)
?

0
0

( 0 ,1)

1
0

(1, ? ? )
?

g ?( x )
g (x)

?
?

?

极大

极小

?

当 x ? 0 , g ( x ) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x ) 有极小值 m ? 2 . 由 g ( x ) 的简图知,当且仅当 ?
? g (0) ? 0

?????????10 分

?m ? 3 ? 0 , 即? , ? 3 ? m ? ? 2 时, ? g (1) ? 0 ?m ? 2 ? 0

函数 g ( x ) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条不同切线, m 的范围是 ( ? 3, ? 2 ) .????14 分 18.(1) x ? ? ?
x ? ? ? ? , ? 2 ?,

? ,? 2 ?, 或 x ? ? 2 , ?? ?,

f ( x ) 递减; x ? ? ? 2 , 2 ?, f ( x ) 递增; (2)1、当 a ? 0 ,

2 f ( x ) 递 增 ;2 、 当 a ? 0 , x ? ? , 2 ? , f ( x ) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ? ? ? , 2 ?, 或 ? ? ? a ?

? 2 ? x ? ? , ?? ? , f ( x ) 递增; a ? ?

当a

? 1 , x ? ? ? ? ,?? ?,

f ( x ) 递增;当 a ? 1 , x ? ? ? ? , 2 ? , 或 x ? ? 2 , ?? ?, f ( x ) ? ?
? a ?

递增; 3) a ? 0 , 由②分两类 ( 因 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 1、当 2
a ? ? 1, ? a ? ? 2 ,

3 ? 2 ? ? ?2, x ? ? ? 1 , 0 ? ? ? , 2 ? , f ( x ) 递增, f ( x ) min ? f ( ? 1 ) ? ? 3 ,解得 a ? ? 4 ?a ?

2、当 2
a
? 3? 6

? ? 1, ? a ? ? 2 ,

由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ? 3 ,化简得: 3 a 2
a
3 4

2

? 3a ? 1 ? 0

,解得

a ?

21

? ? 2 , 不合要求;综上, a ? ?

为所求。

19.(1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴h?? x ? ? 2 ?
a x
2 2

a

2

x

? ln x ,其定义域为 ? 0 ,? ? ? ,

?

1 x


2

∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h ? ? 1 ? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 . ∵ a ? 0 ,∴ a ? 经检验当 a ?
3 . 3 . 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ a ?

解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? 令 h ? ? x ? ? 0 ,即 2 ? ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
2

a
2 2

2

x ?

? ln x ,其定义域为 ? 0 , ? ? ,∴ h ? ? x ? ? 2 ? ? 1 x ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a
2 2

a x

2 2

?

1 x



a x

? 0.

∴ h ? ? x ? ? 0 的两个实根 x 1 ?

?1 ?

1 ? 8a 4

2

(舍去), x 2 ?

?1 ?

1 ? 8a 4

2



当 x 变化时, h ? x ? , h ? ? x ? 的变化情况如下表:
x

? 0, x2 ?

?

x2

? x2 , ? ? ?

?

h?? x ? h?x?

0 极小值

7

依题意,

?1 ?

1 ? 8a 4

2

? 1 ,即 a

2

? 3,

∵ a ? 0 ,∴ a ?

3 .

( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1 , x 2 ? ?1, e ? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x 2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的
x1 , x 2 ? ?1, e ? 都有 ? f ?

? x ? ? m in ≥ ? g ? x ? ? m a x . ? ? ?
1 x ? 0 .∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1, e ? 上是增函数.

当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ∴ ? g ? x ?? ? ? m ax ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ?? x? ? 1 ?
a x
2 2

?

?x ? a??x ? a?
x
2

,且 x ? ?1, e ? , a ? 0 .

①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?
a
2

?x ? a??x ? a?
x
2

? 0 ,

在[1, e ]上是增函数,

x

2 ∴ ? f ? x ?? ? ? m in ? f ? 1 ? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意. ②当1≤ a ≤ e 时,
2

若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ? 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?
a
2

?x ? a??x ? a?
x
2

? 0, ? 0 .

?x ? a??x ? a?
x
2

x

在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a, e ? 上是增函数.
e?1 2

a ∴ ? f ? x ?? ? ? m in ? f ? a ? ? 2 a . 由 2 a ≥ e ? 1 ,得 ≥



又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 2

≤a ≤e .

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴函数 f ? x ? ? x ?
a
2

?x ? a??x ? a?
x
2

? 0,

x

在 ?1, e ? 上是减函数.
a
2

∴ ? f ? x ?? ? ? m in ? f ? e ? ? e ?

. 由e ?

a

2

≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,
?e ?1 ?

e

e

, ?? ? . 又 a ? e ,∴ a ? e .综上所述, a 的取值范围为 ? ? 2 ?

8


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