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2004年第2 届创新杯数学邀请赛高中2年级第1试试题W


2004 年第二届创新杯数学邀请赛 高中二年级第一试试题
一 选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案
的英文字母填在每题后的圆括号内) ??? ? ??? ? 1.如果由向量 AB =(2,3), AC =(1,k)确定的三角形是直角三角形,则符合题意的 k 值有( ) (A) 4 个 (B) 3 个 (C) 2 个 (D) 1 个

2.变量 x 与 y 满足 log2x+log2y≥6,那么 x+y 的最小值为( ) (A) 2 6 (B)6 (C) 8 2 (D)16

3.二面角 α-AB-β 为 60?,P∈α,Q∈β,且 P,Q 均不在 AB 上,PQ 与 AB 成 45 ? 角,又 PQ= 7 2 ,Q 与 AB 的距离为 3,则 P 与 AB 的距离为( (A) 5 (B) 37 (C) 8 (D) 79 )

4.对于每个实数 x,f(x)是 4x+1,x+2,-2x+4 三个函数中的最小值,那么 f(x)的最 大值为 ( ) 1 1 2 8 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 3 5.递增的正整数数列{an}满足 an+2=an+an+1,如果 a7=120,则 a8 等于( ) (A) 128 (B) 168 (C) 193 (D)194 6.如果计算机执行以下程序: (1)初始值 x=3,S=0 (2)x=x+2 (3)S=S+x (4)如果 S≥10000,则进行(5);否则从(2)继续进行 (5)打印 x (6)Stop 那么由语句(5)打印出的数值为( ) (A) 19 (B) 21 (C) 199 (D) 201 2 7.已知关于 x 的实系数二次方程 x +ax+b=0 有两实根 α,β, 条件甲:|α|<2, |β|<2 条件乙:2|a|<4+b, |b|<4 则甲是乙的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 8.对于实数 x,函数 f ( x) ? 8x ? x 2 ? 14 x ? x 2 ? 48 的最大值为( (A) 7 ? 1 (B) 3 (C) 2 3 (D) 4 )

3 5 11 9.方程 ( ) x ? ( ) x ? ( ) x ? 2 x ? 1 的实根有( ) 19 19 19 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无穷多个

?2 x 10.给定 0≤x0<1,对一切正整数 n, xn ? ? n ?1 ? 2 xn ?1 ? 1
立 x0 的个数是( ) (A) 0 (B) 32 (C) 31

(2 xn ?1 ? 1) (2 xn ?1 ? 1)

,

使 x0=x5 成

(D)无穷个

二 填空题

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11. 已知方程 x2+px+q=0 有两个不等实根 α,β, M={α,β},A={1,3,5,7,9},B={10,7,4,1} 且 M∩A= ?,M∩B=M,则 p+q= .

? ? ? ? ? ? 12.非零向量 a , b 不共线,且使 2x· +y· =40·x· +(2-x) · 成立,则有序实数 5 a a b b
组(x,y)为 .

13.已知 2f(1-x)+1=xf(x),则 f(x)= . ? 1 14 . 已 知 θ∈ (0, ) , a∈R, 且 a4-2a3sinθ+a2-2asinθcos2θ+ sin22θ=0 , 4 2 Sn=a+a3+a5+…+a2n-1, 则 Sn= .

? 3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?x? ,则 15.已知, cos( ? x) ? , 的值等于 4 5 12 4 1 ? tan x

.

16.点 P 在双曲线 x2-y2=6 的右支上,A1 和 A2 分别为双曲线的左、右顶点,且 ∠P A2X=3∠P A1X+10?,则∠P A1X 的大小是 .
? x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 4 ? 0 17. 在直角坐标系中, 满足不等式组 ? 的点(x,y)所构成的 ? | x ? 2 | ? | y ? 3 |? 3

区域的面积是

.

18.A,B,C,D 是空间不共面的四点,它们到平面 α 的距离之比依次为 1:1:1:2, 则满足条件的平面 α 的个数是 . 19 . 点 集 A={(x,y)| sin(3x+5y)>0, 且 x2+y2≤π2} 所 构 成 的 平 面 图 形 的 面 积 是 . 20.f(n)定义在正整数集上,并且 (1)对任一正整数 n, f(f(n))=4n+9; (2)对任一非负整数 k, f(2n)=2k+1+3. 则 f(1789)= .


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