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2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种数为 _________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 ? A B C 中,? C

? 在

?
2

,?B ?

?
6

,A C ? 2 ,M 为 A B 中点, ? A C M 沿 C M 折起, A , B 将 使

之间的距离为 2 4、若锐角 ? 满足

2 ,则点 M 到面 A B C 的距离为_________________.
1 tan ? 2 3 tan 1 0 ?
o

?
2

tan

?
2

,则角 ? 的度数为_________________.

? | lo g 2 x |, 0 ? x ? 4 ? 5、 函数 f ( x ) ? ? 2 , a ,b ,c ,d 若 70 2 x ? 8x ? ,x ? 4 ? 3 ?3 则 a b cd 的取值范围是_________________.

互不相同, f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) , 且

6 、 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ? a n ? 中 , 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a1 ? 8, 则 2 a 8 ? a 7 的 最 小 值 为 _________________. 7、一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的最短距离为 6, 则长方体的体积最大值为______________. 8 、

?x?















x















? lo g 2 1? ? ? lo g 2 2 ? ? ? lo g 2 3 ? ? ? ? ? lo g 2 2 0 1 2 ? ?
二 、( 本 题 满 分 16

_________ .

分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? ABCD 的 地 面 为 菱 形 , 且

?ABC ?

?
3

, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?

2.

(1)求证:平面 E A B ? A B C D 平面; (2)求二面角 A ? E C ? D 的余弦值. 三、 (本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当时 x ? 0 ,求证: (2)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?

ln (1 ? x ) x

1 ? kx 1? x

成立,求实数的值.

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四、 (本题满分 20 分)数列 ? x n ? 中, x1 ? 1 且 x n ? 1 ? 1 ?

1 xn ? 1

(1)设 a n ?

1 xn ? 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

(2)设 b n ? x n ?

2 ,数列 ? b n ? 的前 n 项的和为 S n ,证明: S n ?
x
2

2 2

.

五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆

? y ? 1 , P 是圆 x ? y ? 1 6 上任意一点,过 P 点作椭圆的
2

2

2

4
切线 P A , P B ,切点分别为 A , B ,求 P A ? P B 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?

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