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江西省赣县中学南北校区2012届高三9月联考数学(理)试题


2011—2012 学年第一学期赣县中学南北校区 高三年级九月联考数学试题(理科)
完卷时间:120 分钟;试卷分值:150 分 一、选择题(共 50 分) 1. 设集合 U ? ? 1,2,3,4,5?, A ? ? 1,2?, B ? ?2,4?,则 CU ( A ? B) ? ( )

A.?2?

B .? 1,2,4?

C.?3,5?

D.? 1,3?

2.如果命题“p 或 q”与“非 p’’都是真命题,那么正确的是( ) A .命题 p 不一定是假命题 ; C. 命题 q 一定是真命题 B . 命题 q 不一定是真命题; D. 命题 p 与 q 都是真 命题 )条件 D.不充分不必要

3.“ x ? 2 ”是“ ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ”的( A .充分不必要
3

B .必要不充分
2

C.充分条件 )

4.函数 f ( x) ? x ? 3x 的单调递减区间为( A . (??,0) B . (0,2) )

C. (2,??)

D. (??,0) ? (2,??)

3 5.函数 f(x)=lg x2的大致图象是(

6.已知函数 f ( x) ? ? A. x 0 ? 8 7. 已知函数y ?

? 3 x ?1 , x ? 0, ?log2 x, x ? 0.

若 f ? x0 ? ? 3 ,则 x0 的取值范围是 (



B. x0 ? 0 或 x0 ? 8 .

C. 0 ? x 0 ? 8 . D. x0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 . ( )

x , 则下列四个命题中错误的是 x ?1

A.该函数图象关于点(1,1)对称; C.该函 数在定义 域内单调递减;

B. 该函数的图象关于直线 y=2-x 对称;[来源:学*科*

D. 将该函数图象向左平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度后与函数 y ?

1 的图象重合 x

8.如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍,则函数 y=f(x)的图象是 ( )[来源:Z.xx.k.Com]

A

B

C 9.设函数f(x)的定义域为 D ,如果对于任意的

D

x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C 成 2
② )

3 立(其中 C 为常数) ,则称函数 y ? f ( x) 在 D 上的均值为 C , 现在给出下列 4个函数: ① y ? x

y ? 4sin x
A. ①②

③ y ? lg x B. ③④

④y?2

x

, 则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 D. ①③



C. ①③④

1 ? 2 ?| x ? |, x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 ,有5个不同实数解的充要 x ? ? 0, x ? 0
条件是( ) B. b ? ?2 且 c ? 0 C. b ? ?2 且 c ? 0 D. b ? ?2 且 c ? 0 A. b ? ?2 且 c ? 0 二、填空题(25 分)
? 6 11 计算定积分 ? 12

?

cos 2 xdx 的值是___________.
2

12.函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? log 1 (1 ? x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) 的解析__________. 13.函数 f ( x) ? ln(? x 2 ? 2x ? 8) 的单调增区间是 14.设定义在 R 上的函数 f ( x) 同时满足以下条件: ① f ( x) ? f (? x) ? 0 ;② f ( x) ? f ( x ? 2) ;③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 1 。 则 f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) ? ___________. 15.设曲线 y .

1 2

3 2

5 2

? ?ax ? 1?e x 在点 A? x , y ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x ?e ? x 在点 B? x , y ?
0 1
0 2

处的切线

为 l 2 .若存在 x

0

? 3? ? ?0, ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为 ? 2?



三、解答题(75 分) 16. (本小题满分 12 分)
2 记函数 f ( x ) ? lg x ? x ? 2 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 3? | x | 的定义域为集合 B。

?

?

(1)求 A∩B 和 A∪B; (2)若 C ? {x | 4 x ? p ? 0,}C ? A ,求实 数 p 的取值范围。

17. (本题满分 12 分)

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a 0) ,方程 f ?( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1 和 4. 3 1 ? 且曲线 ) (Ⅰ)当 ( a =3 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式。 2 1 ( a 的取值范围. ? ) (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 2
函数 f ( x) ?

18(本小题满分 12 分)

1 ( a ? )? ,为实数 已知函数f ? x ? ? ax2 ? x ? 2a ? 1? a 2
(1)若 a =1 ,求函数的单调增区间.

( a )? ) ( a )? ) (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g( ,求 g( 的表达式。

1 2

1 2

19.(12 分) 某森林出现火灾,火势正以每分钟 100 m2 的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防员前 去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 50 m2,所消耗的灭火 材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁 1 m2 森林损失费为 60 元, ( t 表示救火时间, x 表示去救火消防队员人数) ,问; (1)求 t 关于 x 的函数表达式. (2)求应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?

20. (本小题满分 13 分)

已知a ? 1, f ? log a x ? ?
(1)求 f ( x ) 的解析式 (2)

?1? 求f ? x ?; ? 2 ? 判断f ? x ?的奇偶性和单调性; R 1,1 证明 为 上的增函数 f (x x)? ?3 ? 若当 ?? ?时,有f ?1 ? m ? ? f ?1 ? m 2 ? ? 0, 求m的集合M 。

a ? 1? ? x ? ?, a ?1 ? x?
2

2 (3) 若当 x ? ? ?1,1? 时,有 f ?1 ? m ? ? f 1 ? m ? 0 ,求 m 的集合 M

?

?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n ln x ( x ? 0 ,实数 m , n 为常数) . (1)若 n ? 3m2 ? 0 ( m ? 1 ) ,且函数 f ( x) 在 x ? [1, ??) 上的最小值为 0 ,求 m 的值; (2)若对于任意的实数 a ? [1, 2] , b ? a ? 1 ,函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上总是减函数,对每个给定的 n,求 m 的最大值 h(n).

高三理科数学九月考试卷参考答案
命题人:尧国良 1-10 11. CCAB C A CDD A

3 ?1 4

12、 f ( x) ? 1 ? 2

?x

13、 (?2,1)

14、 2 - 1 15、?1 ? a ? 3 .
2

16. 解 ?1? 依题意,得A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x x ? ?1或x ? 2
2

?

? ?

?

B ? x 3 ? x ? 0 ? ? x ?3 ? x ? 3? ? A ? B ? ? x ?3 ? x ? ?1或2 ? x ? 3? A ? B ? R.

?

?

? 2 ?由4 x ? p ? 0, 得x ? ?

p p , 而C ? A,? ? ? ?1,? p ? 4 4 4

17、

18. 解 ?1? 当a ? 1时,f ? x ? ? x ? x ? 1 ? ?
2

? x 2 ? x ? 1, x ? 0
2 ? x ? x ? 1, x ? 0

, 作图如下:

增区间为: (? , 0), ( , ??) (5 分)

1 2

1 2

? 2 ?当x ? ?1, 2?时,f ? x ? ? ax 2 ? x ? 2a ? 1, 若a ? 0,则f ? x ? ? ? x ? 1在区间?1, 2? 上是减函数,g ? a ? ? f ? 2 ? ? ?3.
1 ? 1 1 ? 若a ? 0, 则f ? x ? ? a ? x ? ? ? 2a ? ? 1, f ? x ?的图象的对称轴是直线x ? . 2a ? 4a 2a ? 当a ? 0时,f ? x ? 在区间?1, 2? 上是减函数,g ? a ? ? f ? 2 ? ? 6a ? 3.
2

? 2,即 ? a ? 时, g ? a ? ? f ? ? ? 2a ? ?1 2a 4 2 4a ? 2a ? 1 1 当2 ? ,即0 ? a ? 时, f ? x ? 在区间?1, 2? 上是减函数,g ? a ? ? f ? 2 ? ? 6a ? 3. 2a 4 1 ? 6 a ? 3, a ? ? 4 ? 1 1 1 ? 综上得g ? a ? ? ?2a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 (12 分) ? 3a ? 2, 0?a? ? 4 ? .当1 ?

当0 ?

1 1 ? 1,即a ? 时,f ? x ? 在区间?1, 2? 上是增函数,g ? a ? ? f ?1? ? 3a ? 2 1 2a 1 1 ? 1 ? 2 1

20、 解?1? 令t ? loga x, 则x ? a 代入
t

[来源:Z_

a ? 1? a ? a t ? a ?t ? , ? x ? ? , 可得f ? t ? ? 2 x? a ?1? a ?1 a ?函数的解析式f ? x ? ? 2 a x ? a ? x ?; ? a ?1 a ?a 1 ? a ?t ?, x可得 x f ?t ? ? a xt ?a f ? log x ? ? a? a , ? f ? x ? ? f ? x ? 为奇函数 ? ? x ?2 ? ? ? a ? ? a ? a ? x ??? ? 2a? xf??? 2 ? ? 2 2 x a ?1 a? ? 1 ? a a ?? 11 设x1 , x2 ? R,f 且x x a a x ? a?x ; ?函数的解析式 ? 22 ? x1? ? ? ? a a? 1 1 ?? ? x1 x2 ? x2 x1 x2 ? ?? a x1 ? ? ? 2a ? 则f ? x1 ? ? a f ? x2 ? ? ? a ? a ? a a ? a 1 ? ? ? ? ? ? a ? ? (2) ? 2 x x x x ? x ?? ?x ? ? 1? a f??1 ? a? ? a ?a ???f ? x? ? 2? f ? ? x ? ? 2 ? a a ? 为奇函数 ? a 1 a x2 ? ? ? ? 2 a ?1 a ?1 设x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 f ? log a x ? ?
2

则f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

a ? x1 a ? x1 1 ?? ? a ? a ? x1 ? ? ? a x2 ? a ? x2 ? ? ? 2 a ? a x2 ? ?1 ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? ? a ?1 a ?1 ? ? a a ??
2

a ? 1时,a 2 ? 1 ? 0, a x1 ? a x2 ? 0,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? 是增函数

? 3? 若当x ? ? ?1,1?时,有1 ? m ? ? ?1,1? 且1 ? m2 ? ? ?1,1? f ?1 ? m ? ? f ?1 ? m 2 ? ? 0即f ?1 ? m ? ? ? f ?1 ? m 2 ? , f ? x ? 为奇函数, ? f ?1 ? m ? ? f ? m 2 ? 1?,又f ? x ? 为增函数, ?1 ? m ? m 2 ? 1,即m 2 ? m ? 2 ? 0
? ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 由 ? ?1 ? 1 ? m2 ? 1 得1 ? m ? 2, M ? m 1 ? m ? 2 ?m2 ? m ? 2 ? 0 ?

?

?

(1)当 n ? 3m2 ? 0 时, f ( x) ? x2 ? mx ? 3m2 ln x .

21、

3m2 2x2 ? mx ? 3m2 (2x ? 3m)( x ? m) . ? ? x x x 3m 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? (舍) , x ? m .???????3 分 2
则 f ?( x) ? 2x ? m ? ①当 m >1 时,

x
f ?( x) f ( x)

1

(1,??m )

m
0
2m2 ? 3m2 ln m

(m,??? ?)

1? m

+ ↗



∴当 x ? m 时, fmin ( x) ? 2m2 ? 3m2 ln m . 令 2m2 ? 3m2 ln m ? 0 ,得 m ? e 3 .
2

???????????6 分

(2) ∵对于任意的实数 a ? [1, 2] , b ? a ? 1 , f ( x) 在区间 ( a, b) 上总是减函数, 则对于 x∈(1,3), f ?( x) ? 2 x ? m ?

n 2 x 2 ? mx ? n ? <0, x x
????????9 分

∴ f ?( x) ≤ 0 在区间[1,3]上恒成立. 设 g(x)= 2 x 2 ? mx ? n , ∵ x ? 0 ,∴g(x) ≤ 0 在区间[1,3]上恒成立. 由 g(x)二次项系数为正,得
? g (1) ≤ 0, ? ? g (3) ≤ 0,

?m ≤ -n ? 2, ?m ? n ? 2 ≤ 0, ? 即? 亦即 ? n 3 m ? n ? 18 ≤ 0, m ≤ - - 6. ? ? 3 ?

???11 分

n n 2n 2 ∵ ( ? n ? 2) ?(? ? 6) = 4 ? ? ? (n ? 6) , ∴ 当 n<6 时,m≤ - - 6 ,当 n≥6 时,m≤ ?n ? 2 , 3 3 3 3 n ∴ 当 n<6 时,h(n)= ? ? 6 ,当 n≥6 时,h(n)= ?n ? 2 , 3
? n ?? ? 6, 即 h(n) ? ? 3 ? ??n ? 2, n ? 6, n ≥ 6.
????????14 分


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