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湖北省七市(州)2015届高三4月联考数学(理)试题


试卷类型 A 2015 年湖北省七市(州)高三四月联考

数学试题(理工类)
全卷满分150分,考试时间120分钟.

★ 祝考试顺利 ★ 1. 复数 z 满足 z (3 ? 4i) ? 1 ( i 是虚数单位),则 | z | ? A.
5 5

B.

5 25

r />C.

1 25

D.

1 5

2. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则以下为真命题的是 A. p ? q B. p ? (?q) C. (?p) ? q D. (?p) ? (?q)

? ? R} , N ? {x |1≤ 2x ≤ 4) ,则 M ? N ? 3. 集合 M ? {x | x ? 2sin ? cos ? , 1 1 1] A. [? , B. [?1, C. [ ? , D.[0,1] 2] 1] 2 2
4. 二项式 (2 x ? A.160
1 x ) 6 的展开式中常数项为

B. ?160

C.60

D. ? 60

5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何 体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣 合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作 的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是

a

b

c

d

A.a,b

B.a,c

C.c,b

D.b,d

? xy ≥ 0 ? 6. 已知实数 x、y 满足约束条件 ? x 2 ? y 2 ≤ 4 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ?x ? y ? 1≤ 0 ?

A. [?2 5 , 2 5]

B.[0,2]

C. [?2 5 , 2]

D. [

2 5 , 1] 5

数学(理工类)

试卷 A 型

第 1 页 (共 10 页)

试卷类型 A
7. 已知 x、y 是[0,1]上的两个随机数,则点 M(x,y)到点(0,1)的距离小于其到直线 y ? ?1 的 距离的概率为 1 A. 12

B.

3 4

C.

7 8

D.

11 12

8. 已知实数 x、y、z 满足 2 x ? y ? 2 z ? 6 ? 0 , x2 ? y 2 ? z 2 ≤ 4 ,则 2 x ? y ? z ? 1 2 5 A. B. C. D.2 3 3 3
1] 时, f ( x) ? x 2 ,若 9. 函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 1) 为偶函数,当 x ? [0,
g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有三个零点,则实数 b 的取值集合是(以下 k∈Z)
1

1 1 A. (2k ? , 2k ? ) 4 4 1 1 C. (4k ? , 4k ? ) 4 4
10. 设数列 {xn} 的各项都为正数且 x1 ? 1 .如 图,△ ABC 所在平面上的点 Pn (n∈N )均 满足△PnAB 与△PnAC 的面积比为 3∶1, ???? ? 1 ????? ???? ? 若 Pn A ? xn?1 Pn B ? (2xn ? 1) PnC ,则 x5 的 3 值为 A.31 C.61 B.33 D.63
*

1 5 B. (2k ? , 2k ? ) 2 2 1 9 D. (4k ? , 4k ? ) 2 2
A Pn

B

C

11. 对具有相关性的变量 x、y,其样本中心为(2,3), 3 若 y 与 x 的回归直线方程为 ? y ? mx ? ,则 m = 2 ▲ .

开始 S = 0,i = 1 S = 2S + i

12. 执行如图所示的程序框图,输出的 i = ▲ .
2 3 x2 y 2 13. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a > 0,b > 0)离心率为 , 3 a b
i=i+1 是

F1( ?2 ,0)、F2(2,0)为其两个焦点,点 M 是双曲线 上 一 点 , 且 ?F1MF2 ? 60? , 则 △ F 1 MF 2 的 面 积 为

S < 30? 否 输出 i 开始

数学(理工类)

试卷 A 型

第 2 页 (共 10 页)

试卷类型 A
▲ . 14. 记集合 T = {0,1,2,3,4,5,6}, a a a a ? 3 ? 4 | ai ? T , i ? 1, 2, 3, 4} ,将 M?{ 1 ? 2 2 3 7 7 7 74 M 中的元素按从大到小 的顺序排成数列{bi},并将 .... bi 按如下规则标在平面直角坐标系的格点(横、纵 坐标均为整数的点 ) 处:点 (1 , 0) 处标 b1,点 (1,
? 1) 处标 ?1 )处标 b2,点(0, ?1 )处标 b3,点 (?1,

y b6 b5 O b4 b3 b2 b7 b8 b9 b1 x

b4,点( ?1 ,0)标 b5,点( ?1 ,1)处标 b6,点(0,1) 处标 b7,…,以此类推. (Ⅰ)标 b50 处的格点坐标为 ▲ ; (Ⅱ) b50 = ▲ . 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,延长△ABC 的角 平分线 AD 交其外接圆于 E,若 AD = AB = 1,DE = = ▲ .
2 ,则 AC

A B D C

? x ? 2 ? 2cos ? (? ? R) , 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)曲线 C : ? ? y ? 2sin ?

极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度,以原点 O 为极 点,x 轴正半轴为极轴)中,直线 ? ?

E

?
6

(? ? R) 被曲线 C 截得的线段长为 ▲ .

17.

(本小题满分 12 分). 已知向量 m ? (sin(? x ?

?
3

), ? 1), n ? ( 3, cos(? x ?

?
3

))(? ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的图象的

对称中心与对称轴之间的最小距离为

?
4



? ] 上的单调增区间; (Ⅰ)求 ? 的值,并求函数 f ( x) 在区间 [0,
(Ⅱ)△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, f ( A) ? 1, cos C ? 的值.

3 , a ? 5 3 ,求 b 5

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第 3 页 (共 10 页)

试卷类型 A

18. (本小题满分 12 分). 设数列{an}前 n 项和为 Sn,且满足 a1= r, Sn ? an?1 ?

1 (n ? N* ) . 32

(Ⅰ)试确定 r 的值,使{an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 bn ? log 2 an ,求数列 {| bn |} 的前 n 项和 Tn.

19. (本小题满分 12 分) 如图,点 C 是以 AB 为直径的圆 O 上不与 A、B 重合的一个动点,S 是圆 O 所在平面外一 点,且总有 SC⊥平面 ABC,M 是 SB 的中点,AB = SC = 2. (Ⅰ)求证:OM⊥BC; (Ⅱ)当四面体 S-ABC 的体积最大时,设直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ? ,二面角 B-
tan ? 的值. SA-C 的大小为 ? ,分别求 tan ? ,

S

M C A O B

20. (本小题满分 12 分). 一对父子参加一个亲子摸奖游戏,其规则如下:父亲在装有红色、白色球各两个 的甲袋子 ... 里随机取两个球,儿子在装有红色、白色、黑色球各一个 的乙袋子里随机取一个球,父子 ... 俩取球相互独立,两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖,他们取出的三个球的颜色情况

数学(理工类)

试卷 A 型

第 4 页 (共 10 页)

试卷类型 A
与他们获得的积分对应如下表: 所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 180 90 所获得的积分 恰有两球为红色 60 其他情况 0

(Ⅰ)求一次摸奖中,所取的三个球中恰有两个是红球的概率; (Ⅱ)设一次摸奖中,他们所获得的积分为 X,求 X 的分布列及均值(数学期望)E(X); (Ⅲ)按照以上规则重复摸奖三次,求至少有两次获得积分为 60 的概率.

21.(本小题满分 13 分). 已知点 A、B 的坐标分别为( ?2 ,0)、(2,0),直线 AT、BT 交于点 T,且它们的斜率之积

? ? 1) ,点 T 的轨迹以及 A、B 两点构成曲线 C. 为常数 ?? (? ? 0,
(Ⅰ)求曲线 C 的方程,并求其焦点坐标; (Ⅱ)若 0 ? ? ? 1 ,且曲线 C 上的点到其焦点的最小距离为 1.设直线 l: x ? my ? 1 交曲线 C 于 M、N,直线 AM、BN 交于点 P. (ⅰ)当 m = 0 时,求点 P 的坐标; (ⅱ)当 m 变化时,是否存在直线 l1,使 P 总在直线 l1 上?若存在,求出 l1 的方程;若不存 在,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分) ?a ln( x ? 1), x ? 0 ? 函数 f ( x) ? ? 1 3 , g ( x) ? e x ? 1 . x ? ax , x ? 0 ? ?3 (Ⅰ)当 a > 0 时,求函数 f (x)的极值; (Ⅱ)当 a 在 R 上变化时,讨论函数 f (x)与 g (x)的图象公共点的个数; 1095 10 3000 (Ⅲ)求证: .(参考数据: ln1.1 ? 0.0953 ) ? e? 1000 2699

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第 5 页 (共 10 页)

试卷类型 A
答案 一.选择题:DBDCA CDBCA 二.填空题:11.

9 4

12.6

13. 3

14.(1)(4,2)

(2)

6 5 6 6 ? 2 ? 3 ? 4 (或填 7 7 7 7

2351 ) 2401
15. 2 ? 1 三.解答题: 17.(Ⅰ)解: f ( x) ? m ? n ? 3 sin(?x ? 16. 2 3

) ? 2sin( ?x ? ) 6 ? 2? ? 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ,所以 T ? ? 4? ? ?, ??2 ? 4 4 3 3
令 2k? ?

?

) ? cos( ?x ?

?

?

2分 3分 5分 6分

?

? 2? ? ] ,所以所求单调增区间为 [0, ], 又 x ? [0, [ , ?] 6 3
(Ⅱ)解: f ( A) ? 2sin(2 A ?
A ? k? 或 A ? k? ?

2

≤ 2x ?

?

6

≤ 2k? ?

?

2

,解得 k? ?

?

3

≤ x ≤ k? ?

?

6

(k∈Z)

?
6

) ? 1, sin(2 A ?

?

?
3

1 ? ? ? 5? )? , 2 A ? ? 2k? ? 或 2 A ? ? 2k? ? 6 2 6 6 6 6

? ) ,故 A ? (k∈Z),又 A ? (0,

?

3

8分 10 分 12 分 1分

3 ∵ cos C ? , C ? (0, ? ) ,∴ sin C ? 5 b a 由正弦定理得 ,∴ b ? ? sin B sin A
18.(Ⅰ)解:当 n = 1 时, S1 ? a2 ? 当 n≥2 时, Sn ?1 ? an ?

4 ? 3 3 ?4 , sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) ? 5 3 10

5 3 sin B ?3 3 ?4 sin A

1 1 , a2 ? a1 ? 32 32

1 ,与已知式作差得 an ? an ?1 ? an ,即 an?1 ? 2an (n ≥ 2) 32 1 1 欲使{an}为等比数列,则 a2 ? 2a1 ? 2r ,又 a2 ? a1 ? ,∴ r ? 32 32 1 故数列{an}是以 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an ? 2n?6 32
n?6 11n ? n2 ?6 ? n, (Ⅱ)解: bn ? n ? 6 , | bn |? ? 若 n ? 6 , Tn ? ?b1 ? ? ? bn ? n≥6 2 ?n ? 6,

5分 6分 9分

? 11n ? n 2 , n?6 ? n ? 11n ? 若 n ≥ 6 , Tn ? ?b1 ? ? ? b5 ? b6 ? ? ? bn ? ? 30 ,∴ Tn ? ? 2 2 2 ? n ? 11n ? 30, n≥6 ? ? 2
2

12 分

数学(理工类)

试卷 A 型

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试卷类型 A
19.(Ⅰ)证:由于 C 是以 AB 为直径的圆上一点,故 AC⊥BC 又 SC⊥平面 ABC,∴SC⊥BC ∵ SC ? AC ? C ,∴BC⊥平面 SAC,BC⊥SA O、M 分别为 AB、SB 的中点,故 OM 平行于 SA ∴OM⊥BC 2分 4分

1 1 1 2 SC ? S?ABC ? AC ? BC ≤ ( AC 2 ? BC 2 ) ? 3 3 6 3 当且仅当 AC ? BC ? 2 时取得最大值 方法一 取 BC 的中点 N,连接 MN、AN,则 MN 与 SC 平行,MN⊥平面 ABC MN 1 10 ∴ ? ? ?MAN , tan ? ? ? ? AN 5 1 2? 2 作 CH⊥SA 垂足为 H,连接 BH,由(Ⅰ)知 BC⊥SA,∴SA⊥平面 BCH,BH⊥SA AC ? SC 2 BC 6 ? ? 故 ? ? ?BHC ,在 Rt ?SAC 中, CH ? , tan ? ? SA CH 2 3
(Ⅱ)解:四面体 S-ABC 的体积 V ? 方法二 ??? ? ??? ? ??? ? 以 CA 、 CB , CS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则 C(0,0,0),A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),S(0,0,2) ???? ? 2 2 1) 进而 M(0, ,1), AM ? (? 2 , , 2 2 ??? ? CS ? (0, 0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量, ???? ? ??? ? 14 35 10 CS ?|? ,tan ? ? 故 sin ? ?| cos ? AM , , cos ? ? 7 7 5 ??? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ?v ? AB ? 0 ? ? ? 设 v = (x,y,z)是平面 SAB 的一个法向量,则 ? ??? ,即 ? ? ? ?v ? AS ? 0 ?? 2 x ? 2 z ? 0 ??? ? 故可取 v ? ( 2, 2,1) ,由(1)知, CB ? (0, 2 ,0) 是平面 SAC 的一个法向量 ? ??? ? 10 15 6 ,sin ? ? , tan ? ? 故 cos ? ?| cos ? v, CB ?|? 5 5 2

6分

9分

12 分

9分

12 分

20.(Ⅰ)解:设所取三个球恰有两个是红球为事件 A,则事件 A 包含两类基本事件:父亲取出 1 C 2 C2 1 ? ? ; 两个红球,儿子取出一个不是红球,其概率为 2 2 1 C4 C3 9 父亲取出两球为一红一白,儿子取出一球为红色其概率为 故 P( A) ?
1 1 1 C2 C2 C1 2 ? ? 2 1 C4 C3 9

1 2 1 ? ? 9 9 3

4分

(Ⅱ)解:X 可以取 180,90,60,0,取各个值得概率分别为:
数学(理工类) 试卷 A 型 第 7 页 (共 10 页)

X P

180

90

60

0

1 18

2 9

1 3

7 18

试卷类型 A
P( X ? 180) ?
2 C2 C1C1 1 1 1 2 ? 1 ? , P( X ? 90) ? 2 2 2 ? 1 ? 2 C4 C3 18 C4 C3 9

1 1 2 1 7 , P( X ? 0) ? 1 ? ? ? ? 3 18 9 3 18 所求分布列为 P( X ? 60) ?

8分

E( X ) ? 180 ?

1 2 1 7 ? 90 ? ? 60 ? ? 0 ? ? 50 18 9 3 18

9分

1 (Ⅲ)解:由二项分布的定义知,三次摸奖中恰好获得 60 个积分的次数 Y ~ B(3, ) , 3 7 1 2 1 7 3 ,故所求概率为 P(Y ≥ 2) ? P(Y ? 2) ? P(Y ? 3) ? C32 ( )2 ? ? C3 ( )3 ? 3 3 3 27 27

12 分

x2 y 2 y y ? ? ?? ,化简得 ? ? 1( x ? ?2) x?2 x?2 4 4? 0) 、(2,0)也符合上式 又 A、B 的坐标 (?2,
21.(Ⅰ)解:设 T(x,y),则

x2 y 2 ? ? 1(? ? 0, ? ? 1) 4 4? 当 0 ? ? ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,焦点为 (?2 1 ? ? , 0), (2 1 ? ? , 0)
故曲线 C : 当 ? ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,焦点为 (0, ? 2 ? ? 1), (0, 2 ? ? 1)

3分 4分 5分

(Ⅱ)解:由于 0 ? ? ? 1 ,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,其焦点为 (?2 1 ? ? , 0), (2 1 ? ? , 0) , 椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离,是椭圆上的点到焦点的最小距离 x2 y 2 3 故 2 ? 2 1 ? ? ? 1 ,?? ? ,曲线 C 的方程为 6分 ? ?1 4 4 3 ?x ? 1 3 3 3 3 ? (ⅰ)由联立 ? x 2 y 2 解得 M (1, ), N (1, ? ) 或 N (1, ), M (1, ? ) ? ? 1 2 2 2 2 ? 3 ?4 3 3 1 3 当 M (1, ), N (1, ? ) 时, AM : y ? ( x ? 2), BN : y ? ( x ? 2) ,解得 P(4,3) 2 2 2 2 3 3 当 N (1, ), M (1, ? ) 时,由对称性知,P(4,-3) 2 2 所以点 P 坐标为(4,3)或(4,-3) 8分 (ⅱ)由(ⅰ)知,若存在,直线 l1 只能是 x ? 4 9分 以下证明当 m 变化时,点 P 总在直线 x ? 4 上. x2 y 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立 ? ? 1 及 x ? my ? 1 ,消去 x 得: 4 3 6m 9 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 3m ? 4 3m ? 4
数学(理工类) 试卷 A 型 第 8 页 (共 10 页)

试卷类型 A
y1 y2 ( x ? 2), BN : y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2 2 y ( x ? 2) ? 2 y2 ( x1 ? 2) 4my1 y2 ? 2 y1 ? 6 y2 ? 消去 y 得 x ? 1 2 y2 ( x1 ? 2) ? y1 ( x2 ? 2) y1 ? 3 y2 4my1 y2 ? 2 y1 ? 6 y2 ? 4 ? 4my1 y2 ? 6( y1 ? y2 ) ? 0 ※对于 m∈R 恒成立 以下只需证明 y1 ? 3 y2

直线 AM : y ?

10 分

6m ?36m2 ? 36m2 ) ? ?0 3m2 ? 4 3m2 ? 4 3m2 ? 4 所以※式恒成立,即点 P 横坐标总是 4 ,点 P 总在直线 x ? 4 上 故存在直线 l1: x ? 4 ,使 P 总在直线 l1 上.
而 4my1 y2 ? 6( y1 ? y2 ) ? 4m ? (?

9

) ? 6 ? (?

13 分

22.(Ⅰ)解:当 x≥0 时, a ? 0 , f ?( x) ? 当 x ? 0 时, f ?( x) ? x 2 ? a ,

a ? ?) 递增 ? 0 , f ( x) 在 [0, x ?1

x ? (? a , 0),f ?( x) ? 0 ,f (x)递减, x ? (??, ? a ),f ?( x) ? 0 ,f (x)递增;
? ?) 递增, (? a , 故 f ( x) 在 (??, (不必说明连续性) ? a ) , [0, 0) 递减, 2 故 [ f ( x)]极小值 ? f (0) ? 0, [ f ( x)]极大值 ? f (? a ) ? a a . 3

4分

(Ⅱ)解:即讨论 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数, h(0) ? 0 ,故必有一个零点为 x ? 0 . a ①当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? a ln( x ? 1) , h?( x) ? e x ? x ?1 a (ⅰ)若 a≤1,则 ? 1 ? e x , h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,故此时 h( x) 在 x ?1 ( 0 ?? , 无零点; ) 5分 a (ⅱ)若 a > 1, h?( x) ? e x ? 在 (0, ??) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a , 1 ? a ? 0 x ?1 ? ?) 使 h?( x0 ) ? 0 且 x ??? 时, h?( x) ? ?? ,则 ?x0 ? (0,
? ?) 递增, 进而 h( x) 在 (0,x0 ) 递减,在 ( x0 ,
? ?) 有一个零点 h ? x ? 在 ( x0 , ??) 上有一个零点,在 (0,x0 ] 无零点,故 h( x) 在 (0,

h( x0 ) ? h(0) ? 0 ,由指数、对数函数的增长率知, x ??? 时 h( x) ? ?? ,

7分

1 3 x ? ax h?( x) ? e x ? x2 ? a , 3 设 ? ( x) ? h?( x) , ? ?( x) ? ex ? 2x ? 0 对 x ? 0 恒成立,
②当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ?
0) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a ,且 x ??? 时, h?( x) ? ?? ; 故 h?( x) ? e x ? x2 ? a 在 (??, ? ( 0? ) ?1 a ≤ , 0 故 h( x) 在 (??, 0) 递 减 , 所 以 (ⅰ) 若 1 ? a ≤ 0 , 即 a ≤ ?1 , 则 h?( x)? h h( x)? h( 0? ) , 0 h( x) 在 (??, 0) 无零点; 8分 0) 使 h?( x0 ) ? 0 , (ⅱ)若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 ?x0 ? (??,

0) 递增, h( x0 ) ? h(0) ? 0 进而 h( x) 在 (??,x0 ) 递减,在 ( x0 ,

数学(理工类)

试卷 A 型

第 9 页 (共 10 页)

试卷类型 A
1 0) 无 x( x2 ? 3a) ? ?? , h( x) 在 (??,x0 ) 上有一个零点,在 [ x0 , 3 零点,故 h( x) 在 (??,0) 有一个零点 10 分 综合①②,当 a ≤ ?1 时有一个公共点;当 ?1 ? a ≤ 1 时有两个公共点;当 a ? 1 时有三个公共点 11 分
且 x ??? 时, h( x) ? (e x ? 1) ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知, a ? 1 时, g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,即 e x ? 1 ? ln( x ? 1) 令x?
1 1095 1 ,则 e 10 ? 1 ? ln1.1 ? 1.0953 ? 1000 10

12 分

由(Ⅱ)知,当 a ? ?1 时, g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,即 e x ? 令x??
? 1 ,则 e 10 10 1

1 3 x ? x ?1 3 1 1 1 2699 1095 10 3000 ? ( ? )3 ? ?1 ? ,故有 ? e? 3 10 10 3000 1000 2699

14 分

数学(理工类)

试卷 A 型

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