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2014福建省高职招考数学试卷


2014 福建省高职招考(面向普高)统一考试

数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2, 4} ,则 A ? B ? ( A. {1, 2} B .{1, 2,3}

共 70 分)

一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。在每小题给出的四个选项中,只有

A ) D . {1, 2,3, 4}

C .{1, 2, 4}

2.函数 f ( x) ? 2 x 的图象大致为( B )

y
1

y

y

y

1

O
A.

x

O
B.

x

O
C.

1

x

O
D.

x

3.下列平面图形绕直线 l 旋转一周,能得到下图 1 所示的几何体的是( B )

l

l

l

l

图1 A. A. {x x ? 1} B. C. B. {x x ? 1} D. C. {x x ? 1} C. ?1 ? i D. {x x ? 1} D. ?1 ? i 4.函数 y ? 1 ? x 的定义域是( D ) 5.复数 i(1 ? i) 等于( B ) A. 1 ? i B. 1 ? i 6. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的( A )
2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概 率是( A. C )

5 8

B.

1 2

C.

3 8
1

D.

1 4

8.已知 ? ? (0,

?
2

),sin( ? ? ?) ?
B. ?

1 ,则 cos ? 等于( C ) 2

开始 输入 x

A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

9.执行如图的程序框图,若输入的 x 值为 1 ,则输出的 x 值为是( D ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, ?3) ,且 a / / b ,则实数



x ? 4?
否 输出 x 结束

x ? x?2

?

?

?

?

k 的值为( D ) 2 2 A. B. ? 3 3
区间是( A. (?1, 0) C )

3 C. 2

3 D. ? 2

11.函数 f ? x ? ? ex ? 4x ? 7(e ? 2.71828) 的零点所在的 B. (0,1) C. (1, 2)

D. (2,3) ) D. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1

12.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心, 1 为半径的圆方程为(A A. ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 13.函数 f ( x) ? x ? A. 0 B. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 C. x2 ? ( y ?1)2 ? 1

1 ( x ? 1) 的最小值是( D ) x ?1
B. 1 C. 2 D. 3

14.某城市为节约用水,在保证居民正常用水的前提下制定了如下收费方案:每户居民每月 用水量不超过 5 吨时,水费按基本价每吨 1.5 元计算,超过部分每吨按基本价的 5 倍收 费。若某户居民 12 月份的水费为 45 元,则该户居民 12 月份用水的吨数为( B ) A. 6 B. 10 C. 25 D. 30

第Ⅱ卷(非选择题 共 80 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。 15、某志愿者服务队有男队员 48 人,女队员 36 人,为了解志愿者的工作情况,用分 层抽样的方法从全体队员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取女队员的人数为 。

? x? y 1 ? 16、设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? x ? y 的最大值为 2 ? y?0 ?



17.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 1, b ? 2, C ? 60 , 则c ? 。
?

18、已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x, x ? 1 ,则 f [ f (3)] ? 2 x ?1 ?x ,
2



三.解答题:本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 19. (本小题满分 8 分) 在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 1 ,且 a2 ? a4 ? 8 。 (Ⅰ)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 。 解: (Ⅰ)因为 d ? 1 , a2 ? a4 ? 8 , 所以 8 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) ? 2a1 ? 4 ? a1 ? 2 , 所以 ?an ? 的通项公式为: an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? (n ?1) ?1 ? n ? 1 。 (Ⅱ)数列 ?an ? 前 10 和 S10 ? 10a1 ? 20. (本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

10 ? 9d ? 20 ? 45 ? 65 。 2

3 cos 2 x , 2

?

4

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最小正周期 T 。 解:依题意 f ( x) ? sin x cos x ?

3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) , 2 2 2 3 ? ? ? 5? 1 ? 。 (Ⅰ)? f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? sin 4 4 3 6 2 2? ?? 。 (Ⅱ) f ( x ) 的最小正周期, 依题意: T ? 2

21. (本小题满分 10 分) 某铁制零件是如图所示的几何体,其底面是边长为 6cm 的正方形,高为 5cm,内孔半径为 1cm。 (Ⅰ)求该零件的体积; (Ⅱ)已知铁的密度为当 7.8g / cm3 ,问制造 1000 个这样 的零件,需要铁多少千克? (注: ? 取 3.14,质量 ? 密度 ? 体积) 解: (Ⅰ)该零件的体积

V ? 6 ? 6 ? 5 ? ? ?12 ? 5 ? 180 ? 5? 。
(Ⅱ)制造 1000 个这样的零件,需要铁的质量为:

y ? 7.8 ? (180 ? 5? ) ? 1281.54 (克) 。
答:制造 1000 个这样的零件,需要铁 1281.54 克。
3

22. (本小题满分 10 分) 某工厂生产一种内径为 5.40mm 的零件 1000 个,为了对该批零件的质量进行检测,随 机抽取 5 个零件,量得其内径尺寸如下(单位:mm) : 5.41 5.44 5.39 5.42 5.38

规定内径尺寸落在区间 [5.37,5.43] 的零件为合格品。 (Ⅰ)若将频率是为概率,试用样本估计总体的思想,估计这批零件中合格品的数量; (Ⅱ)从这 5 个零件中随机抽取 2 个,求抽到的两个零件均为合格品的概率. 解: (Ⅰ)依题意,随机抽取的 5 个零件中有 4 个为合格品,将频率视为概率,则这批 零件中,合格品的概率为 p ?

4 , 5 4 ? 800 (个) 。 5

所以,估计这批零件中合格品的数量为 1000 ?

(Ⅱ)记 4 个合格品分别为 a1 , a2 , a3 , a4 ,不合格品为 b ,从中抽取 2 个,所有可能 情况有:

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), (a1 , b), (a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a3 , b), (a3 , a4 ), (a3 , b) (a4 , b)
共 10 种,其中 2 个都是合格品的情况有:

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1, a4 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a3 , a4 ) 共 6 种,
故所求的概率为 p1 ? 23. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax 在 x ? 1 处取得极值。
3

6 3 ? 。 10 5

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 [k , k ? 1] 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)显然 x ? R ,且 f ' ? x ? ? 3x2 ? a , 依题意: f ' ?1? ? 3?12 ? a ? 0 ,因此 a ? ?3 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f
'

? x ? ? 3x2 ? 3 ,由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1 或 x ? ?1 ,
'

易知:当 x ? ? ??, ?1? ? ?1, ??? 时, f

? x? ? 0 ,当 x ? ? ?1,1? 时, f ' ? x? ? 0 ,

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ??, ?1? , ?1, ??? ;单调减区间是 ? ?1,1? , 要使 f ? x ? 在 ? k , k ? 1? 内单调递增,则在 k ? 1 ? ?1 或 k ? 1 ,即 k ? ?2 或 k ? 1 ; 要使 f ? x ? 在 ? k , k ? 1? 内单调递减,则 k ? 1 ? 1 且 k ? ?1 ,即 ?1 ? k ? 0 ; 综上,要使 f ? x ? 在 ? k , k ? 1? 内单调,则 k ? ?2 或 ?1 ? k ? 0 或 k ? 1 。
4

24. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 P ( ? 3, ) ,且其一个焦点为 F1 (? 3,0) . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ) 设 O 为坐标原点, 过椭圆的另一焦点 F2 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 ? 于 A, B 两点, (1) 证明: 对于任意给定的 k (k ? 0) , 在线段 OF2 上总存在相应的点 C , 使得以 CA, CB 为邻边的平行四边形 CADB 为菱形; (2)试探究:是否存在 k ,使得(1)中的菱形 CADB 的顶点 D 也在椭圆 ? 上。

? a 2 ? b2 ? 3 x2 ? 2 2 ? y 2 ? 1. 解: (Ⅰ)依题意: ? 3 , 故椭圆 的方程为 ? a ? 4, b ? 1 ? 1 4 ? 2 ? 2 ?1 ? a 4b x2 ? y 2 ? 1消去 y 并整理得: (Ⅱ)将 y ? k ( x ? 3) ,代入 4

(4k 2 ?1) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0 ,
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8 3k 2 ,从而 4k 2 ? 1

?2 3k 4 3k 2 ? 3k ,则线段 AB 的中点为 E ( 2 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 3k ? 2 , ), 4k ? 1 4k ? 1 4 k 2 ? 1
①设 C ( x0,, 0) 要使平行四边形 CADB 为菱形,只需 kCE ? k ? ?1 ,



? 3k ?0 3 3k 2 4k 2 ? 1 ? ? 1 ? x ? , 0 4k 2 ? 1 4 3k 2 ? x0 4k 2 ? 1
3 3k 2 3 3 3 3 4 3k 2 ? ? ? 3 ? 0, ? x0 ? (0, 3) 。 ,且 4k 2 ? 1 4 ? 1 4 4k 2 ? 1 k2

? k ? 0,?

②假设存在 k ,使得①中的菱形 CADB 的顶点 D 也在椭圆 ? 上,













? 5 3k 2 x ? ? D ? xD ? x0 ? x1 ? x2 ? 4k 2 ? 1 ? ? ? ? yD ? 0 ? y1 ? y2 ? y ? ?2 3k D ? 4k 2 ? 1 ?





(

5 3k 2 ?2 3k ) ? 4( 2 )2 ? 4 ? 11k 4 ? 16k 2? 4 ? 0 ,显然这个关于 k 2 的一元二次方程存在 2 4k ? 1 4k ? 1

一个正根,故存在两个实数 k ,使得①中的菱形 CADB 的顶点 D 也在椭圆 ? 上。

5


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