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广东省珠海市2015届高三上学期摸底数学试卷(文科)


广东省珠海市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 1.已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},则?NM=() A.{2,3,4} B.{0,2,3,4,5} C.{0,5}

D.{3,5}

2.为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方

法,从中抽取容量为 8 的样本,则分段 的间隔为() A.9 B. 8 C.10 D.7 3.在等比数列{an}中,有 a1a5=4,则 a3 的值为() A.±2 B . ﹣2 C. 2 4.已知复数 z 满足(1﹣i)z=2,则 z=() A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i 5.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是() A.y=e
﹣x

D.4

D.1+i

B.y=x

C.y=lnx

D.y=|x|

6.如图为某几何体的三视图,则其体积为()

A.2

B. 4

C.

D.

7.设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 8.对任意的[﹣ , ]时,不等式 x +2x﹣a≤0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,3] C.[0,+∞) D.[ ,+∞)
2

9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()

A.

B.
2 2

C.

D.

10.设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=30°,则 x0 的取值范围 是() A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[﹣2,2] D.[﹣ , ]

二、填空题(共 5 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 11.不等式组 表示的平面区域的面积为.

12.在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c=.

13.若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 x﹣y+1=0,则点 P 的坐标是.

14.在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为

(t 为参数)的普通方程为.

15.如图,已知=

,|F2F4|=

﹣1 是圆 O 的两条弦,C2,F1,C1,则圆 O 的半径等于.

三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 16.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若角 θ 的终边与单位圆的交于点 P( , ) ,求 f( ﹣θ) . ) ,x∈R,且 f( )=

17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 4 次预赛成绩记录如下: 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90 (1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差, ②若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据你的计算结果,你认为选派哪位学生参加合 适? 18.在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形. (1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)是否存在过 A1C 的平面 α,使得直线 BC1∥α 平行,若存在请作出平面 α 并证明,若不 存在请说明理由.

19.设 F1,F2 分别是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E

于 A,B 两点, |AF1|=3|BF1|,且|AB|=4,△ ABF2 的周长为 16 (1)求|AF2|; (2)若直线 AB 的斜率为 1,求椭圆 E 的方程. 20.设函数 f(x)= x ﹣ (1+a)x +ax,其中 a>1 (1)求 f(x)在的单调区间; (2)当 x∈[1,3]时,求 f(x)最小值及取得时的 x 的值.
3 2

广东省珠海市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 1.已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},则?NM=() A.{2,3,4} B.{0,2,3,4,5} C.{0,5}

D.{3,5}

考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合补集的定义即可得到结论. 解答: 解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,4,5}, ∴?NM={0,5}, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 8 的样本,则分段 的间隔为() A.9 B. 8 C.10 D.7 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,即可得到结论. 解答: 解:从 72 人,从中抽取容量为 8 的样本,则分段的间隔为 72÷8=9, 故选:A 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础. 3.在等比数列{an}中,有 a1a5=4,则 a3 的值为() A.±2 B . ﹣2 C. 2 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质得 =4,由此能求出 a3=±2.

D.4

解答: 解:∵在等比数列{an}中,有 a1a5=4, ∴ =4,解得 a3=±2.

故选:A. 点评: 本题考查等比数列的等 3 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列 的性质的合理运用. 4.已知复数 z 满足(1﹣i)z=2,则 z=() A.﹣1﹣i B.﹣1+i C.1﹣i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:z= ,

D.1+i

故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

5.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是() A.y=e
﹣x

B.y=x

C.y=lnx

D.y=|x|

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数单调性的性质和函数成立的条件,即可得到结论. 解答: 解:A.函数的定义域为 R,但函数为减函数,不满足条件. B.函数的定义域为 R,函数增函数,满足条件. C.函数的定义域为(0,+∞) ,函数为增函数,不满足条件. D.函数的定义域为 R,在(0,+∞)上函数是增函数,在(﹣∞,0)上是减函数,不满足条 件. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数定义域和单调性的判断,比较基础. 6.如图为某几何体的三视图,则其体积为()

A.2

B. 4

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知几何体是:底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥, 列出体积表达式,可求几何体的体积. 解答: 解:几何体是:底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,

PA=1,AB=2,AC=2,

V= ×( ×2×2)×1= , 故选:D. 点评: 本小题考查由三视图求体积,考查了简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空 间想象能力和基本的运算能力.是中档题. 7.设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定. 解答: 解:当 a=5,b=0 时,满足 a+b>4,但 a>2 且 b>2 不成立,即充分性不成立, 若 a>2 且 b>2,则必有 a+b>4,即必要性成立, 故“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础. 8.对任意的[﹣ , ]时,不等式 x +2x﹣a≤0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,3] C.[0,+∞) D.[ ,+∞)
2

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 f(x)=x +2x﹣a,问题转化为 3﹣a≤0,解出即可. 解答: 解:设 f(x)=x +2x﹣a=(x+1) ﹣1﹣a, (x∈ 由二次函数图象知,f(x)在区间[﹣ , ]上递增, 只需 f(x)max=f( )≤0 即可, 即 ﹣1﹣a≤0,解得:a≥ ,
2 2 2

) ,

故选 D. 点评: 本题考查了二次函数图象与性质,考查函数的最值问题,是一道基础题. 9.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 解答: 解:∵AB=2,BC=1, ∴长方体的 ABCD 的面积 S=1×2=2, 圆的半径 r=1,半圆的面积 S= ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是



故选:B. 点评: 本题主要考查几何槪型的概率的计算,求出对应的图形的面积是解决本题的关键, 比较基础. 10.设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=30°,则 x0 的取值范围 是() A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[﹣2,2] D.[﹣ , ]
2 2

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 直线与圆. 分析: 易知 M 点在直线 y=1 上,若设圆 x +y =1 与直线 y=1 的交点为 T,显然假设存在点 N,使得∠OMN=30°,则必有∠OMN≤∠OMT,所以只需∠OMT≥30°即可,借助于三角函数 容易求出 x0 的范围. 2 2 解答: 解:易知 M(x0,1)在直线 y=1 上,设圆 x +y =1 与直线 y=1 的交点为 T,显然假 设存在点 N,使得∠OMN=30°,则必有∠OMN≤∠OMT, 所以要是圆上存在点 N,使得∠OMN=30°,只需∠OMT≥30°, 因为 T(0,1) ,所以只需在 Rt△ OMT 中,tan∠OMT= 解得 = ≥tan30°= ,
2 2

,当 x0=0 时,显然满足题意,

故 x0∈[ ]. 故答案选 A 点评: 此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题,关键是弄清楚 M 点所在的位置,能 够找到∠OMN 与∠OMT 的大小关系,从而构造出关于 x0 的不等式. 二、填空题(共 5 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 11.不等式组 表示的平面区域的面积为 11.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,然后用三角形的面积差得答案. 解答: 解:由约束条件 作出可行域如图,

由图可知,平面区域的面积=S△ OMN﹣S△ AMB﹣S△ CDN = .

故答案为:11. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 12.在△ ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c=



考点: 专题: 分析: 解答: =

余弦定理. 计算题;解三角形. 2 2 2 由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC,代入数据,即可得到答案. 2 2 2 解:由余弦定理知,c =a +b ﹣2abcosC =3,

所以 c= . 故答案为: 点评: 本题考查余弦定理及运用,考查运算能力,属于基础题. 13.若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行于直线 x﹣y+1=0,则点 P 的坐标是(1,0) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 利用直线平行斜率相等求出切线的斜率,再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜 率求出切线斜率,列出方程即得. 解答: 解:∵切线与直线 x﹣y+1=0 平行,∴斜率为 1, ∵y=xlnx,y'=1×lnx+x? =1+lnx ∴y'(x0)=1

∴1+lnx0=1,∴x0=1, ∴切点为(1,0) . 故答案为: (1,0) . 点评: 此题主要考查导数的计算,以及利用导数研究曲线上某点切线方程,属于基础题.

14.在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ﹣4=0.

(t 为参数)的普通方程为 3x﹣y

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 首先,消去参数方程中的参数 t,然后,直接化成相对应的普通方程即可. 解答: 解:∵曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) ,

得 t=x﹣1 代人 y=﹣1+3t,得 y=﹣1+3(x﹣1) , 化简,得 3x﹣y﹣4=0, 故答案为:3x﹣y﹣4=0. 点评: 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化,化简的关键是消去参数,注意 参数的取值范围问题.

15.如图,已知=

,|F2F4|=

﹣1 是圆 O 的两条弦,C2,F1,C1,则圆 O 的半径等于 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: 设 BC 与 AO 的交点为 D,由 AO⊥BC 知,D 是 BC 的中点,由垂径定理能求出圆 O 的半径. 解答: 解:设 BC 与 AO 的交点为 D, 由 AO⊥BC 知,D 是 BC 的中点, 因为 BC= ,所以 BD= ,所以 AD=1, 设半径为 r,则 ,解得 r= .

故答案为: .

点评: 本题考查圆的半径的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意垂径定理的合理运 用. 三、解答题(共 5 小题,满分 0 分) 16.已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若角 θ 的终边与单位圆的交于点 P( , ) ,求 f( ﹣θ) . ) ,x∈R,且 f( )=

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由函数的解析式结合且 f( (2)由题意可知 简 f( , , )= ,求得 A 的值. ,利用三角恒等变换化

﹣θ) ,可得结果. ) , ,

解答: 解: (1) ∵函数( f x) =Asin (x+ ∴ (2)由题意可知 ∴ = . ,

,且由(1)得: = .



点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,三角函数的恒等变换及化简求值,属于基 础题. 17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的 4 次预赛成绩记录如下: 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90

(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差, ②若现要从中选派一人参加数学竞赛,根据你的计算结果,你认为选派哪位学生参加合 适? 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数;列举法计算基本事件数及事件发生 的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到成绩为 y,用数对(x,y)表示基本事件, 基本事件总数 n=16,记“甲的成绩比乙高”为事件 A,事件 A 包含的基本事件数 m=8,由此能 求出甲的成绩比乙高的概率. (2) ①利用平均数公式和方差公式能求出甲、 乙两人的成绩的平均数与方差. ②由 s 甲 <s 乙 ,得甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 解答: 解: (1)记甲被抽到的成绩为 x,乙被抽到成绩为 y, 用数对(x,y)表示基本事件:
2 2

=



基本事件总数 n=16, 记“甲的成绩比乙高”为事件 A, 事件 A 包含的基本事件:

事件 A 包含的基本事件数 m=8, 所以 P(A)= ,

所以甲的成绩比乙高的概率为 .

(2)①

= ×(82+84+79+95)=85,

= ×(95+75+80+90)=85, S 甲 = ×[(79﹣85) +(82﹣85) +(84﹣85) +(95﹣85) ]=36.5, S乙 = ②∵ = ,s 甲 <s 乙 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

=62.5,

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.

点评: 本题考查概率的求法,考查平均数、方差的求法,考查选派哪位学生参加数学竞赛 合适的判断,是基础题. 18.在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形. (1)若 AC⊥BC,证明:直线 BC⊥平面 ACC1A1; (2)是否存在过 A1C 的平面 α,使得直线 BC1∥α 平行,若存在请作出平面 α 并证明,若不 存在请说明理由.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 作图题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由矩形由找到垂直,证明 AA1⊥平面 ABC;从而证明 BC⊥平面 ACC1A1. (2)先说明存在,然后作图证明;连接 A1C,AC1,设 A1C∩AC1=D,取线段 AB 的中点 M, 连接 A1M,MC.则平面 A1CM 为为所求的平面 α. 解答: 解: (1)证明:∵四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, ∴AA1⊥AB,AA1⊥AC, ∵AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, ∴AA1⊥平面 ABC; ∵直线 BC?平面 ABC, ∴AA1⊥BC 又由已知,AC⊥BC,AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线, ∴BC⊥平面 ACC1A1. (2)存在,证明如下: 连接 A1C,AC1,设 A1C∩AC1=D,取线段 AB 的中点 M,连接 A1M,MC. 则平面 A1CM 为为所求的平面 α. 由作图可知 M,D 分别为 AB、AC1 的中点, ∴ ,

又∵MD?α,BC1?α ∴BC1∥α.

点评: 本题考查了线面垂直的判定定理与性质,同时考查了作图方法,属于中档题.

19.设 F1,F2 分别是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E

于 A,B 两点, |AF1|=3|BF1|,且|AB|=4,△ ABF2 的周长为 16 (1)求|AF2|; (2)若直线 AB 的斜率为 1,求椭圆 E 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用|AF1|=3|BF1|,且|AB|=4,求出:|AF1|=3,|F1B|=1,根据△ ABF2 的周长为 16,结合椭圆的定义,即可求|AF2|; (2)若直线 AB 的斜率为 1,设直线 AB 的方程为 y=x+c,代入椭圆方程,利用|AF1|=3|BF1| 知 y1=﹣3y2,即可求椭圆 E 的方程. 解答: 解: (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得:|AF1|=3,|F1B|=1…1 分 因为△ ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8…3 分 故|AF2|=2a﹣|AF1|=8﹣3=5…4 分 (2)由(1)可设椭圆方程为 ,F1(﹣c,0) ,其中

设直线 AB 的方程为 y=x+c,即 x=y﹣c,…5 分 2 2 2 2 代入椭圆方程得:b (y﹣c) +16y =16b …6 分 2 2 2 4 整理得: (b +16)y ﹣2b cy﹣b =0…8 分 4 2 4 2 4 △ =4b c +4b (b +16)=128b y1= ,y2= …10 分

由|AF1|=3|BF1|知 y1=﹣3y2, 得 又由于 解得 ,b =8
2

…12 分

所以椭圆的方程为

…14 分

点评: 本题考查椭圆的方程与定义,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题.
3 2

20.设函数 f(x)= x ﹣ (1+a)x +ax,其中 a>1 (1)求 f(x)在的单调区间; (2)当 x∈[1,3]时,求 f(x)最小值及取得时的 x 的值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用导数的正负,求 f(x)在的单调区间; (2)求出原函数的导函数,由导函数小于 0 根据 a 的不同取值范围得到原函数在区间[1,3] 上的单调性,利用单调性当 x∈[1,3]时,求 f(x)最小值及取得时的 x 的值. 2 解答: 解: (1)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) ,f'(x)=x ﹣(a+1)x+a…1 分 令 f'(x)=0,得 x1=1,x2=a 令 f'(x)>0,得 x>a 或 x<1…2 分 令 f'(x)<0,得 1<x<a…3 分 故(﹣∞,1)和(a,+∞)为 f(x)单调递增区间, (1,a)为 f(x)单调递减区间.…5 分 (2)因为 x∈[1,3],所以 (ⅰ)当 a≥3 时,由(1)知,f(x)在[1,3]上单调递减,…7 分 所以 f(x)在 x=3 时取得最小值,…8 分 最小值为: …9 分

(ⅱ)当 1<a<3 时, 由(Ⅰ)知,f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,3]上单调递增,…11 分 所以 f(x)在 x=a 处取得最小值,最小值为:…12 分 又 ,…13 分 ; .…14 分

所以当 a>3 时,f(x)在 x=3 处取得最小值 当 1<a<3 时,f(x)在 x=a 处取得最小值

点评: 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法,通 过正确的分类,利用导函数的符号判处函数在区间[1,3]内的单调情况是解决该题的关键,是 难题.


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