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高中数学3.4.1函数与方程(一)配套课件苏教版必修


3.4.1 函数与方程(一)
【学习要求】 1. 了解函数零点的概念, 理解方程的根与函数零点之间的关系; 2.掌握函数零点存在性判定定理; 3.能结合图象求解零点问题. 【学法指导】 通过函数零点概念的建立,感知函数与方程的密切联系,进一 步加深对函数方程思想的理解,同时体验数学中的转化思想的 意义和价值 .

填一填·知识要点、记下疑难点

函数 y=f(x)的值为 0 的实数 1.零点的定义:一般地,我们把使 ____________________
x 称为函数 y= f(x)的零点. 2 . 函 数 y = f(x) 有 零 点 等 价 于 函 数 y = f(x) 的 图 象 与 x 轴 ______________ 有公共点 ,等价于方程 f(x)=0 有 __________ 实数根 .要注意 函数的零点不是点,而是函数所对应的 ______________ 方程的根 . 3.函数零点存在性定理:一般地,若函数 y= f(x)在区间 [a, b]

f(a)· f(b)<0 ,则函数 上的图象是一条不间断的曲线,且 ________________
y= f(x)在区间(a, b)上有零点 .

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[ 问题情境]

下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化

模拟函数图 (即一个连续不间断的函数图象 ),由于图象中有 一段被墨水污染了, 有人想了解一下当天 7 时到 11 时之间有 无可能出现温度是 0 摄氏度,你能帮助他做出正确判断吗?

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探究点一 问题 1 函数零点的定义

考察下列一元二次方程与对应的二次函数:

(1)方程 x2- 2x- 3= 0 与函数 y= x2- 2x- 3; (2)方程 x2- 2x+ 1= 0 与函数 y= x2- 2x+ 1; (3)方程 x2- 2x+ 3= 0 与函数 y= x2- 2x+ 3. 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴交点坐 标吗?

答 方程 函数 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3

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函数的图象

方程的实数 根 函数的图象 与 x 轴的交点

x1=- 1, x2 =3 (- 1,0)、(3,0)

x1=x2= 1 (1,0)

无实数根 无交点

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问题 2 从你所列的表中你能得出什么结论? 答 方程根的个数与对应函数与 x 轴交点的个数相同,方程

的根是函数与 x 轴交点的横坐标.

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问题 3 问题 2 得出的结论对一元二次函数 y=ax2+ bx+c (a≠ 0) 和相应一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0(a≠0)也成立吗?你能根 据判别式的不同情况也用列表的形式加以说明吗?
答 问题 2 中得出的结论在一般一元二次函数与一元二次方程 判别式 Δ=b2 -4ac 方程 ax2+bx +c=0(a≠0) 的根 间仍然成立,如下表所示: Δ>0 有两个不相等的 实数根 x1、x2 Δ=0 有两个相 等的实数 根 x1=x2 Δ<0 没有实数 根

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函数 y= ax2+ bx + c (a≠ 0)的图 象 函数的图象与 x 轴的交点

(x1,0), (x2,0)

(x1,0)

没有交点

所以一元二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应一元二次 方程的实数根. 小结 一般地,我们把使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数
y=f(x)的零点.

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问题 4 函数 y=f(x)有零点可等价于哪些说法?

答 函数 y=f(x)有零点?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点? 方程 f(x)=0 有实数根.
问题 5 你能说出函数①y=lg x;②y=lg(x+1) ;③y=2x; ④y=2x-2 的零点吗?
答 ①y=lg x 的零点是 x=1;
②y=lg(x+1)的零点是 x=0;
③y=2x 没有零点; ④y=2x-2 的零点是 x=1.

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例 1 求证:二次函数 y=2x2+ 3x- 7 有两个不同的零点.

证明

考察二次方程 2x2+3x-7=0.

因为 Δ=32-4×2×(-7)=65>0, 所以方程 2x2+3x-7=0 有两个不相等的实数根.
因此,二次函数 y=2x2+3x-7 有两个不同的零点.
小结 判断函数的零点的个数, 可以转化为判断函数对应方程 的实根的个数,也可以转化为判断函数图象与 x 轴交点的个 数.

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跟踪训练 1 已知函数 y=ax2+bx+c,若 ac<0,则函数 f(x)

2 . 的零点个数为________
解析 因为 ac<0,所以 Δ=b2-4ac>0,所以函数 y=ax2+bx +c 的图象与 x 轴有两个交点,即函数 f(x)的零点个数为 2.

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探究点二 函数零点存在性定理 例 2 判断函数 f(x)= x2-2x- 1 在区间[2,3]上是否存在零点.

解 方法一 根据求根公式可得方程 x2-2x-1=0 的两个根 分别为 x1=1+ 2,x2=1- 2. 因为 1< 2<2,所以 2<1+ 2<3,因此,函数 f(x)=x2-2x-1 在区间(2,3)上存在零点.

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方法二

如右图所示,因为 f(2)=- 1<0, f(3)=

2>0,而二次函数 f(x)=x2- 2x- 1 在区间 (2,3)上的 图象是不间断的,这表明此函数图象在区间 (2,3) 上一定穿过 x 轴,即函数在区间(2,3)上存在零点.

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问题 1 你能归纳出判断函数 y= f(x)在区间(a, b)上存在零点 的一般方法吗?



函数零点存在性定理:若函数 y=f(x)在区间[ a,b] 上的图

象是一条不间断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间 (a,b)上有零点.

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问题 2 如果函数 y= f(x)在区间[ a, b]上的图象是不间断的一 条曲线,函数 y= f(x)在区间(a, b)上存在零点,f(a)· f(b)<0 是否一定成立?
答 不一定成立,由下图可知.

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问题 3 满足了如果函数 y=f(x)在区间[ a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0 这两个条件后,函数的零点是唯 一的吗? 还要添加什么条件才能保证函数有唯一的零点?



函数零点不一定唯一, 由下图可知, 还需添加函数 y=f(x)

在区间[ a,b] 上单调.

小结

函数 y = f(x) 在区 间 (a , b) 内有 零点, 但不一 定有

f(a)· f(b)<0.也就是说上述定理不可逆.

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跟踪训练 2 求证:函数 f(x)=x3+x2+1 在区间(-2,-1) 上存在零点.

证明

因为 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0, f(-1)=(-1)3

+(-1)2+1=1>0, 且函数 f(x)的图象在区间[ -2,-1] 上的图象是不间断的,所 以函数 f(x)在区间(-2,-1)上存在零点.

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例 3 求函数 f(x)= ln x+2x-6 的零点个数.



用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表和图象如下:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.306 9 1.098 6 3.386 3 5.609 4 7.791 8 9.945 9 12.079 4 14.197 2

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由上表和图象可知 f(2)<0,f(3)>0,即 f(2)· f(3)<0,说明这个函数在 区间(2,3)内有零点.由于函数 f(x)在定义域(0,+∞ )内是增函数, 所以它仅有一个零点.

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小结 方法一 本题不用计算列表、画图象也可得到结论: 寻找函数值符号的变化规律,如 f(2), f(3)的符号,由

f(2)= ln 2-2=ln 2- ln e2<0,f(3)=ln 3>0.

方法二 将函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点个数转化为函数 y=ln x 与 y=-2x+6 的图象交点的个数.通过作出函数 y=ln x,y= -2x+6 的图象,观察两图象的交点个数得出结论.

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根据表格中的数据,可以断定方程 ex- (x+ 2)= (1,2) 0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 ________. 跟踪训练 3 x ex x+2 -1 0 1 2 1 3 2 4 3 5 0.37 1 2.72 7.40 20.12

解析 令 f(x)=ex-(x+2), 则 f(-1)=0.37-1<0, f(0)=1-2<0, f(1)=2.72-3<0, f(2)=7.40-4=3.40>0, f(3)=20.12-5=15.12. 由于 f(1)· f(2)<0,∴方程 ex-(x+2)=0 的一个根在(1,2)内.

练一练?当堂检测、目标达成落实处

1.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则
(-∞,-2)∪(2,+∞) 实数 m 的取值范围是___________________________ .

解析 Δ=m2-4>0,m>2 或 m<-2.

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2.已知函数 y= f(x)在 R 上递增,下面关于函数 y= f(x)的零点的说 法正确的是 ________ ② .(填序号) ①至少有一个;②至多有一个;③有且只有一个;④可能有无数 个.

解析 由于函数 y=f(x)在 R 上递增,所以函数的图象最多与 x 轴有一个交点,即函数 y=f(x)的零点至多有一个.

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3.函数 y= f(x)(x∈[-5,3] )的图象如图所示.根据图象,写出函数 f(x)的零点及不等式 f(x)>0 与 f(x)<0 的解集.

解 函数 f(x)的零点 x1=-2,x2=0,x3=2. 不等式 f(x)>0 的解集为{x|-2<x<0 或 2<x≤3}. 不等式 f(x)<0 的解集为{x|-5≤x<-2 或 0<x<2}.

1.方程 f(x)= g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标, 也是函数 y= f(x)- g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.在函数零点存在性定理中,要注意三点:(1)函数是连续的; (2)定理不可逆;(3)至少存在一个零点. 3.函数的零点存在性问题常用的方法有三种:一是用定理,二 是解方程,三是用图象. 4. 函数与方程有着密切的联系, 有些方程问题可以转化为函数 问题求解,同样,函数问题有时转化为方程问题,这正是函 数与方程思想的基础.



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