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2010-2011学年高中数学


§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算

1.对数的概念 一般地,如果 ax=N (a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 说明:(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数 y=ax 的另一种表达形式,例如: 34=81 与 4=log381 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式 ax=N?x=logaN,从而 得对数恒等式:alogaN=N. (2)“log”同“+”“×”“ ”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的 幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. (3)根据对数的定义,对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有下列性质: ①零和负数没有对数,即 N>0; ②1 的对数为零,即 loga1=0; ③底的对数等于 1,即 logaa=1. 2.对数的运算法则 利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除 运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度. (1)基本公式 ①loga(MN)=logaM+logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),即正数的积的对数,等于同一底 数的各个因数的对数的和. M ②loga =logaM-logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于被除 N 数的对数减去除数的对数. ③logaMn=n·logaM (a>0,a≠1,M>0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数 乘以幂指数. (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意 M>0,N>0,例如 loga[(-3)×(-4)]是存在的,但是 loga(-3)与 loga(-4) 均不存在,故不能写成 loga[(-3)×(-4)]=loga(-3)+loga(-4). M logaM ②防止出现以下错误: a(M±N)=logaM±logaN, a(M·N)=logaM·logaN, a = log log log , N logaN logaMn=(logaM)n. 3.对数换底公式 在实际应用中,常碰到底数不为 10 的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底 logcN 公式:logbN= (b>0,且 b≠1;c>0,且 c≠1;N>0). logcb 证明 设 logbN=x,则 bx=N.两边取以 c 为底的对数, logcN logcN 得 xlogcb=logcN.所以 x= ,即 logbN= . logcb logcb 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化, 即将复杂的或未知的底数转化为已知的或 需要的底数,这是数学转化思想的具体应用. 由换底公式可推出下面两个常用公式: 1 (1)logbN= 或 logbN·logNb=1 (N>0,且 N≠1;b>0,且 b≠1); logNb m (2)logbnNm= logbN(N>0;b>0,且 b≠1;n≠0,m∈R) n

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. 题型一 正确理解对数运算性质 对于 a>0 且 a≠1,下列说法中,正确的是( ) ①若 M=N,则 logaM=logaN; ②若 logaM=logaN,则 M=N; ③若 logaM2=logaN2,则 M=N; ④若 M=N,则 logaM2=logaN2. A.①与③ B.②与④ C.② D.①、②、③、④ 解析 在①中,当 M=N≤0 时,logaM 与 logaN 均无意义,因此 logaM=logaN 不成立. 在②中,当 logaM=logaN 时,必有 M>0,N>0,且 M=N,因此 M=N 成立. 在③中,当 logaM2=logaN2 时,有 M≠0,N≠0,且 M2=N2,即|M|=|N|,但未必有 M =N.例如,M=2,N=-2 时,也有 logaM2=logaN2,但 M≠N. 在④中,若 M=N=0,则 logaM2 与 logaN2 均无意义,因此 logaM2=logaN2 不成立. 所以,只有②成立. 答案 C 点评 正确理解对数运算性质公式, 是利用对数运算性质公式解题的前提条件, 使用运 算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件.

题型二 对数运算性质的应用 求下列各式的值: 32 (1)2log32-log3 +log38-5log53; 9 2 (2)lg25+ lg8+lg5·lg20+(lg2)2; 3 log5 2·log79 (3) . 1 3 log5 ·log7 4 3 分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才 能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算. 解 (1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1. 10 (2)原式=2lg5+2lg2+lg ·lg(2×10)+(lg2)2 2 =2lg(5×2)+(1-lg2)·(lg2+1)+(lg2)2 =2+1-(lg2)2+(lg2)2=3. 1 log 2·2log73 log5 2·log79 2 5 (3)∵ = 1 1 3 log5 ·log7 4 -log53·3log74 3 lg2 lg3 · lg5 lg7 3 =- =- . lg3 1 lg4 2 · · lg5 3 lg7 点评 对数的求值方法一般有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的 运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、
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积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.

题型三 对数换底公式的应用 计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258). 分析 由题目可获取以下主要信息: 本题是一道对数化简求值题, 在题目中各个对数的 底数都各不相同. 解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值. 解 方法一 原式= ?log253+log225+log25??log52+ log54 + log58 ? log24 log28?? log525 log5125? ? 2log25 log25 ?? 2log52 3log52 =?3log25+2log 2+3log 2??log52+2log 5+3log 5? ? 2 2 5 5 ? 1 =?3+1+3?log25·(3log52) ? ? log22 =13log25· =13. log25 lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 lg8 方法二 原式=? lg2 + lg4 +lg8??lg5+lg25+lg125? ? ?? ? 3lg5 2lg5 lg5 ??lg2 2lg2 3lg2? =? lg2 +2lg2+3lg2??lg5+2lg5+3lg5? ? 13lg5 lg2 =? 3lg2 ??3lg5?=13. ? ?? ? 点评 方法一是先将括号内换底, 然后再将底统一; 方法二是在解题方向还不清楚的情 况下,一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非 1 的正数为底),然后再化简.上述 方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法.

已知 log(x+3)(x2+3x)=1,求实数 x 的值. 错解 由对数的性质可得 x2+3x=x+3. 解得 x=1 或 x=-3. 错因分析 对数的底数和真数必须大于 0 且底数不等于 1,这点在解题中忽略了.

?x +3x=x+3, ?2 正解 由对数的性质知?x +3x>0, ?x+3>0且x+3≠1. ?
解得 x=1,故实数 x 的值为 1.

2

对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一, 主要性质有: a1=0, aa=1, aN log log alog =N (a>0,且 a≠1,N>0). 1.(上海高考)方程 9x-6·3x-7=0 的解是________. 解析 ∵9x-6·3x-7=0,即 32x-6·3x-7=0 ∴(3x-7)(3x+1)=0 ∴3x=7 或 3x=-1(舍去) ∴x=log37. 答案 log37 ?ex,x≤0, ? 1 2.(辽宁高考)设 g(x)=? 则 g?g?2??=____. ? ? ?? ? ?ln x,x>0,
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1 1 1 1 1 解析 g?2?=ln <0,g?ln2?=eln = , ? ? ? ? 2 2 2 1?? 1 ∴g?g?2??= . ? ? 2 1 答案 2

1.对数式 log(a-3)(7-a)=b,实数 a 的取值范围是(

)

A.(-∞,7) B.(3,7) C.(3,4)∪(4,7) D.(3,+∞) 答案 C

?a-3>0, ? 解析 由题意得?a-3≠1, ?7-a>0, ?

解得 3<a<7 且 a≠4.

2.设 a=log32,则 log38-2log36 用 a 表示的形式是( ) A.a-2 B.3a-(1+a)2 C.5a-2 D.-a2+3a-1 答案 A 解析 ∵a=log32,∴log38-2log36=3log32-2(log32+1) =3a-2(a+1)=a-2. ) 3.log56·log67·log78·log89·log910 的值为( 1 A.1 B.lg5 C. D.1+lg2 lg5 答案 C lg6 lg7 lg8 lg9 lg10 lg10 1 解析 原式= · · · · = = . lg5 lg6 lg7 lg8 lg9 lg5 lg5 2 ) 4.已知 loga(a +1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( 1 A.(0,1) B.?0,2? ? ? 1 ? C.?2,1? D.(1,+∞) ? 答案 C ?0<a<1, ? 解析 由题意,得? ? ?2a>1, 1 ∵a>0,a≠1,loga(a2+1)<loga2a,∴0<a<1.∴ <a<1. 2 x -1 5.已知函数 f(x)=a +logax (a>0,a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为 a2,则 a 的 值为( ) 1 1 A.4 B. C.3 D. 4 3 答案 D 6.若方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0 的两根为 α,β,则 αβ 等于( ) 1 A.lg7·lg5 B.lg35 C.35 D. 35 答案 D 1 解析 ∵lgα+lgβ=-(lg7+lg5)=-lg35=lg 35
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1 ∴α·β= . 35 1 7.已知 f(log2x)=x,则 f?2?=________. ? ? 答案 2 1 1 1 1 解析 令 log2x= ,则 2 =x,∴f?2?=2 = 2. ? ? 2 2 2 8.log( 2-1)( 2+1)=________. 答案 -1 ( 2+1)( 2-1) 解析 log 2-1( 2+1)=log 2-1 2-1 1 =-1. =log( 2-1) 2-1 9.已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,lgx=-2+0.778 1,则 x=________. 答案 0.06 解析 ∵lg2=0.301 0,lg3=0.477 1, 而 0.301 0+0.477 1=0.778 1,∴lgx=-2+lg2+lg3, - 即 lgx=lg10 2+lg6. - - ∴lgx=lg(6×10 2),即 x=6×10 2=0.06. x 10.(1)已知 lgx+lgy=2lg(x-2y),求 log 2 的值; y (2)已知 log189=a,18b=5,试用 a,b 表示 log365. 解 (1)lgx+lgy=2lg(x-2y), ∴xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0. 即(x-y)(x-4y)=0,解得 x=y 或 x=4y,

?x>0, ? 又∵?y>0, ?x-2y>0, ?

∴x>2y>0,

∴x=y,应舍去,取 x=4y. x 4y lg4 =4. 则 log 2 =log 2 =log 24= y y lg 2 (2)∵18b=5,∴log185=b, 又∵log189=a, log185 b ∴log365= = lg1836 log18(18×2) b b = = 18 1+log182 1+log18 9 b b = = . 1+(1-log189) 2-a 1 1 1 11.设 a,b,c 均为不等于 1 的正数,且 ax=by=cz, + + =0,求 abc 的值. x y z 解 令 ax=by=cz=t (t>0 且 t≠1), 1 1 1 则有 =logta, =logtb, =logtc, x y z 1 1 1 又 + + =0,∴logtabc=0,∴abc=1. x y z 12.已知 a,b,c 是△ABC 的三边,且关于 x 的方程 x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0 有等根,试判定△ABC 的形状. 解 ∵关于 x 的方程 x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0 有等根, ∴?=0,即 4-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=0. 即 lg(c2-b2)-2lga=0,故 c2-b2=a2,
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∴a2+b2=c2,∴△ABC 为直角三角形.

2.2.1 对数与对数运算(一)

学习目标 1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化. 2.了解常用对数与自然对数的意义. 3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算. 自学导引 1. 如果 a(a>0 且 a≠1)的 b 次幂等于 N, 就是 ab=N, 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 b=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质有:(1)1 的对数为零; (2)底的对数为 1; (3)零和负数没有对数. 3.通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,以 e 为底的对数叫做自然对数,log10N 可简 记为 lgN,logeN 简记为 lnN. 4.若 a>0,且 a≠1,则 ab=N 等价于 logaN=b. 5.对数恒等式:alogaN=N(a>0 且 a≠1)

. 一、对数式有意义的条件 例 1 求下列各式中 x 的取值范围: (1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2);(3)log(x+1)(x-1)2. 分析 由真数大于零,底数大于零且不等于 1 可得到关于 x 的不等式(组),解之即可. 解 (1)由题意有 x-10>0,∴x>10,即为所求. ?x+2>0, ? (2)由题意有? ? ?x-1>0且x-1≠1,
? ?x>-2, 即? ∴x>1 且 x≠2. ?x>1且x≠2, ? ?(x-1)2>0, ? (3)由题意有? ? ?x+1>0且x+1≠1,

解得 x>-1 且 x≠0,x≠1. 点评 在解决与对数有关的问题时,一定要注意:对数真数大于零,对数的底数大于零 且不等于 1. 变式迁移 1 在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是( ) A.a>5 或 a<2 B.2<a<5 C.2<a<3 或 3<a<5 D.3<a<4 答案 C

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?5-a>0 ? 解析 由题意得?a-2>0 ?a-2≠1 ?
∴2<a<5 且 a≠3.



二、对数式与指数式的互化 例 2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式: 1 (1)54=625; (2)log 8=-3; 2 1?-2 (3)?4? =16; (4)log101 000=3. ? 分析 利用 ax=N?x=logaN 进行互化. 解 (1)∵54=625,∴log5625=4. 1 - 1 (2)∵log 8=-3,∴?2? 3=8. ? ? 2 1 - 1 (3)∵?4? 2=16,∴log 16=-2. ? ? 4 (4)∵log101 000=3,∴103=1 000. 点评 指数和对数运算是一对互逆运算, 在解题过程中, 互相转化是解决相关问题的重 要途径.在利用 ax=N?x=logaN 进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位 置. 变式迁移 2 将下列对数式化为指数式求 x 值: 3 2 (1)logx27= ; (2)log2x=- ; 2 3 1 (3)log5(log2x)=0; (4)x=log27 ; 9 1 (5)x=log 16. 2 3 3 2 解 (1)由 logx27= ,得 x =27,∴x=27 =32=9. 2 2 3 3 2 2 1 2 (2)由 log2x=- ,得 2- =x,∴x= = . 3 3 2 3 2 2 (3)由 log5(log2x)=0,得 log2x=1,∴x=21=2. 1 1 - (4)由 x=log27 ,得 27x= ,即 33x=3 2, 9 9 2 ∴x=- . 3 1 1 - (5)由 x=log 16,得?2?x=16,即 2 x=24, ? ? 2 ∴x=-4.

三、对数恒等式的应用 例 3 (1)alogab·logbc·logcN 的值(a,b,c∈R ,且不等于 1,N>0); 1 (2)4 (log29-log25). 2 解 (1)原式=(alogab)logbc·logcN=blogbc·logcN=(blogbc)logcN
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=clogcN=N. 2log29 9 = . (2)原式=2(log29-log25)= 2log25 5 点评 对数恒等式 alogaN=N 中要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形 式;(3)其值为真数. 1 变式迁移 3 计算:3log3 5+( 3)log3 . 5 1 1 11 解 原式= 5+3 log3 = 5+(3log3 ) 2 5 52 1 6 5 = 5+ = . 5 5

1.一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.利用 ab=N?b=logaN (其中 a>0,a≠1,N>0)可以进行指数与对数式的互化. 3.对数恒等式:alogaN=N(a>0 且 a≠1).

一、选择题 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) 0 A.10 =1 与 lg1=0 1 1 1 1 B.27- = 与 log27 =- 3 3 3 3 1 1 C.log3 =9 与 9 =3 2 2 D.log55=1 与 51=5 答案 C 2.指数式 b6=a (b>0,b≠1)所对应的对数式是( )

A.log6a=a B.log6b=a C.logab=6 D.logba=6 答案 D 3.若 logx( 5-2)=-1,则 x 的值为( ) A. 5-2 B. 5+2 C. 5-2 或 5+2 D.2- 5 答案 B 4.如果 f(10x)=x,则 f(3)等于( ) 3 A.log310 B.lg3 C.10 D.310 答案 B 解析 方法一 令 10x=t,则 x=lgt, ∴f(t)=lgt,f(3)=lg3. 方法二 令 10x=3,则 x=lg3,∴f(3)=lg3. 1 ) 5.21+ ·log25 的值等于( 2 A.2+ 5 B.2 5 5 5 D.1+ C.2+ 2 2
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答案 B 1 1 1 解析 21+ log25=2×2 log25=2×2log25 2 2 2 1 =2×5 =2 5. 2 二、填空题 6.若 5lgx=25,则 x 的值为________. 答案 100 解析 ∵5lgx=52,∴lgx=2,∴x=102=100. + 7.设 loga2=m,loga3=n,则 a2m n 的值为________. 答案 12 解析 ∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3, + ∴a2m n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12. 8.已知 lg6≈0.778 2,则 102.778 2≈________. 答案 600 解析 102.778 2≈102×10lg6=600. 三、解答题 9.求下列各式中 x 的值 1-2x? (1)若 log3? ? 9 ?=1,则求 x 值; (2)若 log2 003(x2-1)=0,则求 x 值. 1-2x 1-2x? 解 (1)∵log3? =1,∴ =3 9 ? 9 ? ∴1-2x=27,即 x=-13 (2)∵log2 003(x2-1)=0 ∴x2-1=1,即 x2=2 ∴x=± 2 2 10.求 x 的值:(1)x=log 4;(2)x=log9 3;(3)x=71-log75; 2 1 (4)logx8=-3;(5)log x=4. 2 2 解 (1)由已知得:? ?x=4, 2? ? 1 x 2 ∴2- x=2 ,- =2,x=-4. 2 2 1 x (2)由已知得:9 = 3,即 32x=3 . 2 1 1 ∴2x= ,x= . 2 4 7 (3)x=7÷7log75=7÷5= . 5 - (4)由已知得:x 3=8, 1 1 1 即? x?3=23, =2,x= . ? ? x 2 ?1?4 1 (5)由已知得:x=? ? = .2.2.1 对数与对数运算(二) ?2? 16

学习目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.
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2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明. 自学导引 1.对数的运算性质:如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么, (1)loga(MN)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaMn=nlogaM(n∈R). logcb 2.对数换底公式:logab= . logca

一、正确理解对数运算性质 例 1 若 a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有( ) ①logax· logay=loga (x+y); ②logax-logay=loga(x-y); x ③loga =logax÷logay; y ④loga(xy)=logax·logay. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 A 解析 对数的运算实质是把积、 幂的对数运算分别转化为对数的加、 乘的运算. 商、 减、 在 运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如 logax≠loga·x,logax 是不可 分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的. 点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件. ) 变式迁移 1 若 a>0 且 a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式正确的是( 1 n A.logax=-loga B.(logax) =nlogax x 1 n C.(logax) =logaxn D.logax=loga x 答案 A

二、对数运算性质的应用 例 2 计算: 7 (1)log535-2log5 +log57-log51.8; 3 (2)2(lg 2)2+lg 2·lg5+ (lg 2)2-lg2+1; lg 27+lg8-lg 1 000 (3) ; lg1.2 2 (4)(lg5) +lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算. 解 (1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5 9 5

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2.
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(2)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+ (lg 2-1)2 =lg 2(lg2+lg5)+1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1. 3 3 lg3+3lg2- 2 2 3lg3+6lg2-3 3 (3)原式= = = . lg3+2lg2-1 2(lg3+2lg2-1) 2 (4)原式=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5) =(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1. 点评 要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用. 变式迁移 2 求下列各式的值: 1 1 (1)log535+2log 2-log5 -log514; 2 50 (2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64. 解 (1)原式 1 =log5(5×7)-2log22 +log5(52×2)-log5(2×7) 2 =1+log57-1+2+log52-log52-log57=2. 2 (2)原式=[log62+log62·log6(3×6)]÷log622 =log62(log62+log63+1)÷(2log62)=1.

三、换底公式的应用 2 1 (1)设 3x=4y=36,求 + 的值; x y b (2)已知 log189=a,18 =5,求 log3645. 解 (1)由已知分别求出 x 和 y. ∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436, 由换底公式得: log3636 1 log3636 1 x= = ,y= = , log363 log363 log364 log364 1 1 ∴ =log363, =log364, x y 2 1 ∴ + =2log363+log364 x y =log36(32×4)=log3636=1. (2)∵log189=a,18b=5,∴log185=b. log1845 log18(9×5) ∴log3645= = log1836 log18(18×2) log189+log185 a+b a+b = = = . 18 2-a 1+log182 1+log18 9 点评 指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换 底公式可将差异消除. 变式迁移 3 (1)设 log34·log48·log8m=log416,求 m; (2)已知 log1227=a,求 log616 的值. lg4 lg8 lgm 解 (1)利用换底公式,得 · · =2, lg3 lg4 lg8 ∴lgm=2lg3,于是 m=9. 3lg3 =a, (2)由 log1227=a,得 2lg2+lg3 例3
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2alg2 lg3 2a ∴lg3= ,∴ = . lg2 3-a 3-a 4lg2 4 ∴log616= = lg3+lg2 2a +1 3-a 4(3-a) . = 3+a

1.对于同底的对数的化简常用方法是: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2.对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题. 3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.

一、选择题 1.lg8+3lg5 的值为(

)

A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 D 解析 lg8+3lg5=lg8+lg53=lg1 000=3. 2.已知 lg2=a,lg3=b,则 log36 等于( a+b a+b A. B. a b a b C. D. a+b a+b 答案 B lg6 lg2+lg3 a+b 解析 log36= = = . lg3 lg3 b

)

a 3.若 lga,lgb 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则?lgb?2 的值等于( ? ? 1 A.2 B. 2 答案 A 1 C.4 D. 4

)

1 解析 由根与系数的关系,得 lga+lgb=2,lga·lgb= , 2 a?2 2 ∴?lgb? =(lga-lgb) ? =(lga+lgb)2-4lga·lgb 1 =22-4× =2. 2 1 1 x 4.若 2.5 =1 000,0.25y=1 000,则 - 等于( ) x y 1 1 A. B.3 C.- D.-3 3 3 答案 A 解析 由指数式转化为对数式: x=log2.51 000,y=log0.251 000,

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1 1 1 则 - =log1 0002.5-log1 0000.25=log1 00010= . x y 3 5.设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2…x2 005)=8,则 f(x2)+f(x2)+…+f(x2 005) 1 2 2 的值等于( ) A.4 B.8 C.16 D.2loga8 答案 C 解析 因为 f(x)=logax,f(x1x2…x2 005)=8, 2 所以 f(x2)+f(x2)+…+f(x2 005) 1 2 =logax2+logax2+…+logax2 005 1 2 2 =2loga|x1|+2loga|x2|+…+2loga|x2 005| =2loga|x1x2…x2 005| =2f(x1x2…x2 005)=2×8=16. 二、填空题 6.设 lg2=a,lg3=b,那么 lg 1.8=__________. a+2b-1 答案 2 1 1 18 1 2×9 解析 lg 1.8= lg1.8= lg = lg 2 2 10 2 10 1 1 = (lg2+lg9-1)= (a+2b-1). 2 2 7.若 logax=2,logbx=3,logcx=6,则 logabcx 的值为____. 答案 1 1 1 解析 logabcx= = logxabc logxa+logxb+logxc ∵logax=2,logbx=3,logcx=6 1 1 1 ∴logxa= ,logxb= ,logxc= , 2 3 6 1 1 ∴logabcx= = =1. 1 1 1 1 + + 2 3 6 8.已知 log63=0.613 1,log6x=0.386 9,则 x=________. 答案 2 解析 由 log63+log6x=0.613 1+0.386 9=1. 得 log6(3x)=1.故 3x=6,x=2. 三、解答题 9.求下列各式的值: 1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245; 2 49 3 (2)(lg5)2+2lg2-(lg2)2. 1 43 解 (1)方法一 原式= (5lg2-2lg7)- · lg2 2 32 1 + (2lg7+lg5) 2 5 1 = lg2-lg7-2lg2+lg7+ lg5 2 2 1 1 1 = lg2+ lg5= (lg2+lg5) 2 2 2 1 1 = lg10= . 2 2 4 2 方法二 原式=lg -lg4+lg7 5 7

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=lg

4 2×7 5 7×4

1 =lg( 2· 5)=lg 10= . 2 (2)方法一 原式=(lg5+lg2)(lg5-lg2)+2lg2 5 5 =lg10·lg +lg4=lg?2×4?=lg10=1. ? ? 2 方法二 原式=(lg10-lg2)2+2lg2-lg22 =1-2lg2+lg22+2lg2-lg22=1. 1 2 3 10.若 26a=33b=62c,求证: + = . a b c 6a 3b 2c 证明 设 2 =3 =6 =k (k>0),那么

?6a=log2k, ? ?3b=log3k, ?2c=log k, ? 6

? ?1 3 ∴?b=log k=3log 3, ?1=log k=2log 6. ?c 2
3 k 6 k

6 1 = =6logk2, a log2k

1 2 ∴ + =6·logk2+2×3logk3 a b 3 =logk(26×36)=6logk6=3×2logk6= , c 1 2 3 即 + = . a b c

2.2.2 .

对数函数及其性质

1.对数函数的概念 形如 y=logax (a>0 且 a≠1)的函数叫做对数函数. 对于对数函数定义的理解,要注意: (1)对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量 x 恰好是指数函数的函数值 y,所以对数函数的定义域是(0,+∞); (2)对数函数的解析式 y=logax 中,logax 前面的系数为 1,自变量在真数的位置,底数 a 必须满足 a>0,且 a≠1; (3)以 10 为底的对数函数为 y=lgx,以 e 为底的对数函数为 y=lnx. 2.对数函数的图象及性质: a>1 0<a<1 图象 函数的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞) 函数图象恒过定点(1,0),即恒有 loga1=0 当 x>1 时,恒有 y>0; 当 x>1 时,恒有 y<0; 当 0<x<1 时,恒有 y<0 当 0<x<1 时,恒有 y>0 函数在定义域(0,+∞)上为减函 函数在定义域(0,+∞)上为增函数 数
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性质

3.指数函数与对数函数的关系比较 名称 指数函数 解析式 定义域 值域 y=ax (a>0,且 a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞)

对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞)

函数值变 化情况

?> 1( x > 0) ? a ?= 1( x = 1) ; ?< 1( x < 0) ?
x

a>1 时,

?> 0( x > 1) ? ; ?= 0( x = 1) ?> 0(0 < x < 1) ?
0<a<1 时,logax

a>1 时,logax

?< 1( x > 0) x? x a ?= 1( x = 1) ?> 1( x < 0) ?
点(0,1) a>1 时,y=ax 是增函 数; 0<a<1 时, x 是减函 y=a 数

0<a<1 时,

?< 0( x > 1) ? ?= 0( x = 1) ?> 0(0 < x < 1) ?
点(1,0)

图象必 过定点 单调性

a>1 时,y=logax 是增函数; 0<a<1 时,y=logax 是减函数

图象

y=ax 的图象与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称

实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值 y=logmn 有以下规律: (1)当(m-1)(n-1)>0,即 m、n 范围相同(相对于“1”而言),则 logmn>0;(2)当(m-1)(n -1)<0,即 m、n 范围相反(相对于“1”而言),则 logmn<0.有了这个规律,我们再判断对数 1 值的正负就很简单了,如 log2 <0,log52>0 等,一眼就看出来了! 3

题型一 求函数定义域 求下列函数的定义域: 2x+3 (1)y=log3x-1 ; x-1 1 (2)y= (a>0,a≠1). 1-loga(x+a) 分析 定义域即使函数解析式有意义的 x 的范围. 解 (1)要使函数有意义,必须{2x+3>0,?x-1>0,?3x-1>0,?3x-1≠1 同时成 立, 3 1 2 ? 解得?x>-2,?x>1,?x>3,?x≠3. ∴x>1. ? ∴定义域为(1,+∞). (2)要使原函数有意义,需 1-loga(x+a)>0,
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即 loga(x+a)<1=logaa. 当 a>1 时,0<x+a<a,∴-a<x<0. 当 0<a<1 时,x+a>a,∴x>0. ∴当 a>1 时,原函数定义域为{x|-a<x<0}; 当 0<a<1 时,原函数定义域为{x|x>0}. 点评 求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑:真数大于零,底数大于零且不等 于 1,若分母中含有 x,还要考虑不能使分母为零.

题型二 对数单调性的应用 43 (1)log43,log34,log 的大小顺序为( ) 34 43 A.log34<log43<log 34 43 B.log34>log43>log 34 43 C.log34>log >log43 34 43 D.log >log34>log43 34 a b (2)若 a2>b>a>1,试比较 loga ,logb ,logba,logab 的大小. a b (1)解析 ∵log34>1,0<log43<1, 43 4 4 - log =log ?3? 1=-1, 34 3? ? 43 ∴log34>log43>log . 34 答案 B a (2)解 ∵b>a>1,∴0< <1. b a b ∴loga <0,logb ∈(0,1),logba∈(0,1). b a b b 又 a> >1,且 b>1,∴logb <logba, a a a b 故有 loga <logb <logba<logab. b a 点评 比较对数的大小,一般遵循以下几条原则: ①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性(底数 a>1 为增;0<a<1 为减)比较. ②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较. ③如果两对数的底数不同而真数相同,如 y=loga1x 与 y=loga2x 的比较(a1>0,a1≠1, a2>0,a2≠1). 当 a1>a2>1 时,曲线 y1 比 y2 的图象(在第一象限内)上升得慢.即当 x>1 时,y1<y2;当 0<x<1 时,y1>y2.而在第一象限内,图象越靠近 x 轴对数函数的底数越大. 当 0<a2<a1<1 时,曲线 y1 比 y2 的图象(在第四象限内)下降得快.即当 x>1 时,y1<y2;当 0<x<1 时,y1>y2 即在第四象限内,图象越靠近 x 轴的对数函数的底数越小. 1 已知 loga <1,那么 a 的取值范围是________. 2 分析 利用函数单调性或利用数形结合求解. 1 解析 由 loga <1=logaa,得当 a>1 时,显然符合上述不等式,∴a>1;当 0<a<1 时, 2 1 1 a< ,∴0<a< . 2 2
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1 故 a>1 或 0<a< . 2 1 答案 a>1 或 0<a< 2 点评 解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于 1 还是小于 1,然后再 利用相应的对数函数的单调性进行解答.理解会用以下几个结论很有必要: (1)当 a>1 时,logax>0?x>1,logax<0?0<x<1; (2)当 0<a<1 时,logax>0?0<x<1,logax<0?x>1. 题型三 函数图象的应用 1 若不等式 2x-logax<0,当 x∈?0,2?时恒成立,求实数 a 的取值范围. ? ? 解

要使不等式 2x<logax 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,即函数 y=logax 的图象在 ? 0, ? 内恒在 函数 y=2x 图象的上方,而 y=2x 图象过点 ? , 2 ? .由图可知,loga 显然这里 0<a<1,∴函数 y=logax 递减.

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

1 > 2, 2

1 又 loga > 2 =log a a 2

2

,∴a

2

1 ?1? > ,即 a> ? ? 2 ?2?

2 2

.

2

?1? 2 ∴所求的 a 的取值范围为 ? ? <a<1. ?2? ? 1? 点评 原问题等价于当 x∈ ? 0, ? 时,y1=2x 的图象在 y2=logax 的图象的下方,由于 a ? 2? ?1 ? 的大小不确定, a>1 时, 当 显然 y2<y1, 因此 a 必为小于 1 的正数, y2 的图象通过点 ? , 2 ? 当 ?2 ? ?1? 时,y2 满足条件,此时 a 0 = ? ? ?2?
2 2

.那么 a 是大于 a 0 还是小于 a 0 才满足呢?可以画图象观

察,请试着画一画.这样可以对数形结合的方法有更好地掌握.

设函数 f(x)=lg(ax2+2x+1),若 f(x)的值域是 R,求实数 a 的取值范围. 错解 ∵f(x)的值域是 R, ∴ax2+2x+1>0 对 x∈R 恒成立, 即{a>0??<0 ?{a>0?4-4a<0 ?a>1. 错因分析 出错的原因是分不清定义域为 R 与值域为 R 的区别. 正解 函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域是 R ?真数 t=ax2+2x+1 能取到所有的正数.

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1 当 a=0 时,只要 x>- ,即可使真数 t 取到所有的正数,符合要求; 2 当 a≠0 时,必须有{a>0??≥0 ?{a>0?4-4a≥0 ?0<a≤1. ∴f(x)的值域为 R 时,实数 a 的取值范围为[0,1].

本节内容在高考中考查的形式、 地位与指数函数相似, 着重考查对数的概念与对数函数 的单调性,考查指数、对数函数的图象、性质及其应用. 1 的定义域为 M, g(x)=ln(1+x)的定义域为 N, M∩N 则 1. (广东高考)已知函数 f(x)= 1-x 等于( ) A.{x|x>-1} B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D.? 解析 由题意知 M={x|x<1},N={x|x>-1}. 故 M∩N={x|-1<x<1}. 答案 C 2.(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A.log32<log23<log25 B.log32<log25<log23 C.log23<log32<log25 D.log23<log25<log32 解析 ∵y=log2x 在(0,+∞)上是增函数, ∴log25>log23>log22=1. 又 y=log3x 在(0,+∞)上为增函数, ∴log32<log33=1.∴log32<log23<log25. 答案 A - 3.(全国高考)若 x∈(e 1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 1 解析 ∵ <x<1,∴-1<lnx<0. e 令 t=lnx,则-1<t<0. ∴a-b=t-2t=-t>0.∴a>b. c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1), 又∵-1<t<0, ∴0<t+1<1,-2<t-1<-1,∴c-a>0,∴c>a. ∴c>a>b. 答案 C

1. 已知函数 f(x)= 1+2x的定义域为集合 M, g(x)=ln(1-x)的定义域为集合 N, M∩N 则 等于( )

A.{x|x>-1} B.{x|x<1} 1 ? ? C.?x|-2<x<1? D.? ? ? 答案 C

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1-x 1 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)= ,则 f(-a)等于( ) 2 1+x 1 1 A. B.- C.-2 D.2 2 2 答案 B 1+a ?1+a?-1 解析 f(-a)=lg =-lg? ? 1-a ?1-a? 1-a 1 =-f(a)=- . =-lg 2 1+a 3.已知 a=log23,b=log32,c=log42,则 a,b,c 的大小关系是( ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案 A 解析 因为 a=log23>1,b=log3 2<1,所以 a>b; 1 又因为 2> 3,则 log32>log3 3= , 2 1 而 log42=log2 2= , 2 1 1 所以 b> ,c= ,即 b>c.从而 a>b>c. 2 2 4.函数 f(x)=lg|x|为( ) A.奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数 B.奇函数,在区间(0,+∞)上是增函数 C.偶函数,在区间(-∞,0)上是增函数 D.偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数 答案 D 解析 已知函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,且 f(-x)=lg|-x| =lg|x|=f(x),所以它是偶函数. 又当 x>0 时,|x|=x,即函数 y=lg|x|在区间(0,+∞)上是增函数. 又 f(x)为偶函数,所以 f(x)=lg|x|在区间(-∞,0)上是减函数. 5.函数 y=ax 与 y=-logax (a>0,且 a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )

答案 A 解析 方法一 若 0<a<1, 则曲线 y=ax 下降且过(0,1), 而曲线 y=-logax 上升且过(1,0); x 若 a>1,则曲线 y=a 上升且过(0,1),而曲线 y=-logax 下降且过(1,0).只有选项 A 满足条 件. 方法二 注意到 y=-logax 的图象关于 x 轴对称的图象的表达式为 y=logax, y=logax 又 x 与 y=a 互为反函数(图象关于直线 y=x 对称),则可直接选定选项 A. 6.设函数 f(x)=log2a(x+1),若对于区间(-1,0)内的每一个 x 值都有 f(x)>0,则实数 a 的取值范围为( )

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1 A.(0,+∞) B.?2,+∞? ? ? 1 ? 1? C.?2,1? D.?0,2? ? ? 答案 D 解析 已知-1<x<0,则 0<x+1<1,又当-1<x<0 时,都有 f(x)>0,即 0<x+1<1 时都有 1 f(x)>0,所以 0<2a<1,即 0<a< . 2 x 7.若指数函数 f(x)=a (x∈R)的部分对应值如下表: x 0 2 -2 f(x) 0.694 1 1.44 则不等式 loga(x-1)<0 的解集为__________. 答案 {x|1<x<2} 解析 由题可知 a=1.2,∴log1.2(x-1)<0, ∴log1.2(x-1)<log1.21,解得 x<2, 又∵x-1>0,即 x>1,∴1<x<2. 故原不等式的解集为{x|1<x<2}. 8.函数 y=logax (1≤x≤2)的值域为[-1,0],那么 a 的值为________. 1 答案 2 解析 若 a>1,则函数 y=logax 在区间[1,2]上为增函数,其值域不可能为[-1,0]; 故 0<a<1,此时当 x=2 时,y 取最小值-1, 1 - 即 loga2=-1,得 a 1=2,所以 a= . 2 ?(3a-1)x+4a,x<1 ? 是实数集 R 上的减函数,那么实数 a 的取值范 9.已知函数 f(x)=? ? ?logax,x≥1 围为__________. 1 1 答案 ?7,3? ? ? 解析 函数 f(x)为实数集 R 上的减函数, 1 一方面,0<a<1 且 3a-1<0,所以 0<a< , 3 另一方面,由于 f(x)在 R 上为减函数, 1 因此应有(3a-1)×1+4a≥loga 1,即 a≥ . 7 1 1 因此满足题意的实数 a 的取值范围为 ≤a< . 7 3 10.已知 f(x)=1+log2x (1≤x≤4),求函数 g(x)=f2(x)+f(x2)的最大值和最小值. 解 ∵f(x)的定义域为[1,4], ∴g(x)的定义域为[1,2]. ∵g(x)=f2(x)+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2) =(log2x+2)2-2, 又 1≤x≤2,∴0≤log2x≤1. ∴ 当 x = 1 时 , g(x)min = 2 ; 当 x = 2 时 , g(x)max=7.

学习目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.
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2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数 函数关系的实质. 自学导引 1.对数函数的定义:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 2.对数函数的图象与性质 定义 y=logax (a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1 底数

图象

定义域 值域 单调性 共点性 函数值 特点 y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时, y∈[0,+∞) y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时, y∈(-∞,0] 对称性

(0,+∞) R 在(0,+∞)上是增函数 图象过点(1,0),即 loga1=0 x∈(0,1)时,

在(0,+∞)上是减函数

x∈(0,1)时,

1 函数 y=logax 与 y=log x 的图象关 a 于 x 轴对称

3.反函数 对数函数 y=logax (a>0 且 a≠1)和指数函数 y=ax_(a>0 且 a≠1)互为反函数.

一、对数函数的图象 4 3 1 例 1 下图是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 值取 3, , , ,则图象 C1,C2, 3 5 10 C3,C4 相应的 a 值依次是( )

A. 3 ,

4 3 1 , , 3 5 10 4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5

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C.

4 3 1 , 3, , 3 5 10 4 1 3 D. , 3 , , 3 10 5

答案 A 解析 方法一 因为对数的底数越大,函数的图象越远离 y 轴的正方向,所以 C1,C2,C3, C4 的 a 值依次由大到小,即 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 3 , 方法二

4 3 1 , , . 3 5 10

过(0,1)作平行于 x 轴的直线, C1, C3, 的交点的横坐标为(a1,1), 与 C2, C4 (a2,1), (a3,1), (a4,1),其中 a1,a2,a3,a4 分别为各对数的底,显然 a1>a2>a3>a4,所以 C1,C2,C3, C4 的底值依次由大到小. 点评 函数 y=logax (a>0,且 a≠1)的底数 a 的变化对图象位置的影响如下: ①上下比较:在直线 x=1 的右侧,底数大于 1 时,底数越大,图象越靠近 x 轴;底数 大于 0 且小于 1 时,底数越小,图象越靠近 x 轴. ②左右比较: (比较图象与 y=1 的交点)交点的横坐标越大, 对应的对数函数的底数越大. 变式迁移 1 借助图象比较 m,n 的大小关系: (1)若 logm5>logn5,则 m n; (2)若 logm0.5>logn0.5,则 m n. 答案 (1)< (2)>

二、求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域: 3 (1)y= log2x; (2)y= log0.5(4x-3); (3)y=log(x+1)(2-x). 分析 定义域即使函数解析式有意义的 x 的范围. 解 (1)∵该函数是奇次根式,要使函数有意义,只要对数的真数是正数即可, ∴定义域是{x|x>0}. (2)要使函数 y= log0.5(4x-3)有意义, 必须 log0.5(4x-3)≥0=log0.51, 3 ∴0<4x-3≤1.解得 <x≤1. 4 ? 3 ? ∴定义域是?x|4<x≤1?. ? ?

?x+1>0 ? (3)由?x+1≠1 ?2-x>0 ?

?x>-1 ? ,得?x≠0, ?x<2 ?

即 0<x<2 或-1<x<0, 所求定义域为(-1,0)∪(0,2).
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点评 求与对数函数有关的函数定义域时, 除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法 外, 还要对这种函数自身有如下要求: 一是要特别注意真数大于零; 二是要注意对数的底数; 三是按底数的取值应用单调性,有针对性的解不等式. 变式迁移 2 求 y= loga(4x-3)(a>0,a≠1)的定义域. 解 loga(4x-3)≥0.(*) 当 a>1 时,(*)可化为 loga(4x-3)≥loga1, ∴4x-3≥1,x≥1. 当 0<a<1 时,(*)可化为 loga(4x-3)≥loga1, 3 ∴0<4x-3≤1, <x≤1. 4 综上所述,当 a>1 时,函数定义域为[1,+∞), 3 当 0<a<1 时,函数定义域为?4,1?. ? ?

三、对数函数单调性的应用 例 3 比较大小: (1)log0.81.5 与 log0.82; (2)log35 与 log64. 分析 从比较底数、真数是否相同入手. 解 (1)考查对数函数 y=log0.8x 在(0,+∞)内是减函数, ∵1.5<2,∴log0.81.5>log0.82. (2)log35 和 log64 的底数和真数都不相同,找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单 调性,即可求解. ∵log35>log33=1=log66>log64, ∴log35>log64. 点评 比较两个对数值的大小,常用方法有:①底数相同真数不同时,用函数的单调性 来比较;②底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也可用换底公式转化为同底数的对数 后比较;③底数与真数都不同,需寻求中间值比较. 变式迁移 3 比较下列各组中两个值的大小: (1)log0.52.7,log0.52.8; (2)log34,log65; (3)logaπ,logae (a>0 且 a≠1). 解 (1)∵0<0.5<1, ∴对数函数 y=log0.5x 在(0,+∞)上是减函数. 又∵2.7<2.8,∴log0.52.7>log0.52.8. (2)∵y=log3x 在(0,+∞)上是增函数, ∴log34>log33=1. ∵y=log6x 在(0,+∞)上是增函数, ∴log65<log66=1. ∴log34>log65. (3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数. ∵π>e,∴logaπ>logae. 当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上是减函数. ∵π>e,∴logaπ<logae. 综上可知,当 a>1 时,logaπ>logae; 当 0<a<1 时,logaπ<logae. 3 例 4 若-1<loga <1,求 a 的取值范围. 4 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数. 解答本题可根据对数函数的单调性转化为
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一般不等式求解,同时应注意分类讨论. 3 1 3 解 -1<loga <1?loga <loga <logaa. 4 a 4 1 3 4 当 a>1 时, < <a,∴a> . a 4 3 3 1 3 当 0<a<1 时, > >a,∴0<a< . 4 a 4 3? ?4 ∴a 的取值范围是?0,4?∪?3,+∞?. ? ? 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解,其依据是对数函数的单调性. (2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则. (3)若含有字母,应考虑分类讨论. 变式迁移 4 已知 loga(2a+1)<loga3a<0,求 a 的取值范围. 解 loga(2a+1)<loga3a<0(*)

?0<2a+1<1 ? 当 a>1 时,(*)可化为?0<3a<1 , ?2a+1<3a ?

?-2<a<0 ? 1 解得? 0<a< ? 3 ?a>1

1

,∴此时 a 无解.

当 0<a<1 时,(*)可化为 a>0 ?2a+1>1 ? 1 ?3a>1 ,解得 a>3 ?2a+1>3a ? a<1 1 ∴ <a<1. 3

? ? ?



1 综上所述,a 的取值范围为?3,1?. ? ? 1.求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量,此时底数大于 0 且不等于 1. 2.应用对数函数的图象和性质时要注意 a>1 还是 0<a<1。

一、选择题 - 1.当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a x 与 y=logax 的图象是(

)

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答案 A 解析 a>1 由指数函数与对数函数图象可知 A 对. 1 2.函数 y= log (3x-2)的定义域是( ) 2

2 A.[1,+∞) B.?3,+∞? ? ? 2 ? 2 ? C.?3,1? D.?3,1? ? ? 答案 D 1 解析 由已知 log (3x-2)≥0,得 0<3x-2≤1 2 2 ∴ <x≤1. 3 3.已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a、b、c 的大小关系是( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 答案 C 解析 0<a=log0.70.8<log0.70.7=1,c>1,b<0. 4.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为 4,则 a 等于( A. 2 B.2 C.2 2 D.4 答案 A 解析 由题意得 loga a+loga 2a=4,∴2+loga 2=4, ∴a= 2. 3 ) 5.若 loga <1,则 a 的取值范围是( 7 3 A.a>1 B.0<a< 或 a>1 7 3 3 C.0<a< D. <a<1 7 7 答案 B 3 3 解析 a>1 时,a> ,此时 loga <loga a=1, 7 7 即 a>1 符合要求; 3 3 当 0<a<1 时,loga <loga a,∴0<a< , 7 7 3 即 0<a< 符合要求; 7 3 ∴a>1 或 0<a< . 7 二、填空题

)

?? 1 ? x 1 ?? ? x ∈ (? ∞,1], 6.若 f(x)= ?? 2 ? 则满足 f(x)= 的 x 的值为________. 4 ?log x ∈ (1,+∞ ), ? 81
答案 3

1 1 1 ?1? 解析 ∵当 x≤1 时,f(x)= ? ? ≥ ,∴满足 f(x)= 的 x∈(1,+∞),,即 log81x= , 2 4 4 ?2? ∴x= 4 81 =3.
7.函数 f(x)=log3x 的反函数为__________.,答案 f(x)=3x,8.对数函数 f(x)的图象过点
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x

1 P(8,3),则 f?4?=______. ? ? 答案 -2 解析 设 f(x)=logax (a>0 且 a≠1). 将点(8,3)代入解析式得:loga8=3,即 a3=8, 1 1 ∴a=2.∴f?4?=log2 =-2. ? ? 4 三、解答题 3+x 9.已知 f(x)=loga (a>0 且 a≠1),其定义域为(-1,1),试判断 f(x)的奇偶性并证明. 3-x 证明 函数的定义域是(-1,1),关于原点对称. 3+(-x) ∵f(-x)=loga 3-(-x) 3-x ?3+x?-1 =loga =loga? ? 3+x ?3-x? 3+x , =-loga 3-x ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数. 10.求函数 y=loga(a-ax) (a>0,且 a≠1)的定义域和值域. 解 ∵a-ax>0,∴a>ax. 当 a>1 时,x<1,则 f(x)的定义域为(-∞,1); 当 0<a<1 时,x>1,则 f(x)的定义域为(1,+∞). ∵ax>0,∴0<a-ax<a. 当 a>1 时, loga(a-ax)<logaa=1,函数 f(x)的值域为(-∞,1); 当 0<a<1 时, loga(a-ax)>logaa=1,函数 f(x)的值域为(1,+∞). 综上所述,当 a>1 时,函数 f(x)的定义域与值域均为(-∞,1);当 0<a<1 时,函数 f(x)的定 义域与值域均为(1,+∞).

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