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2015年最新高考总复习高三文科数学作业第2篇 第10讲导数的概念及运算


第 10 讲 导数的概念及运算

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 深圳中学模拟)曲线 y=x3 在原点处的切线 A.不存在 B.有 1 条,其方程为 y=0 C.有 1 条,其方程为 x=0 D.有 2 条,它们的方程分别为 y=0,x=0 解析 ∵y′=3x2,∴k=y′|x=0=0, ( ).

曲线 y=x3 在原点处的切线方程为 y=0. 答案 B ( ).

2.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 A.e2 ln 2 C. 2 解析 B.e D.ln 2

f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,

由 f′(x0)=2,即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 答案 B

3.(2014· 辽宁五校联考)曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1= 0,则点 P0 的坐标是 A.(0,1) C.(1,3) 解析 B.(1,-1) D.(1,0) ( ).

3 由题意知 y′=x+1=4, 解得 x=1, 此时 4×1-y-1=0, 解得 y=3,

∴点 P0 的坐标是(1,3). 答案 C

4.(2014· 烟台期末)设函数 f(x)=xsin x+cos x 的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为

k,则函数 k=g(t)的部分图象为

(

).

解析

函数 f(x)的导函数为 f′(x)=(xsin x+cos x)′=xcos x,即 k=g(t)=

π tcos t,则函数 g(t)为奇函数,图象关于原点对称,排除 A,C.当 0<t<2时, g(t)>0,所以排除 D,选 B. 答案 B sin x 1 ?π ? -2在点 M?4,0?处的切线的斜率为 ? ? sin x+cos x 1 B.2 2 D. 2 ( ).

5.曲线 y= 1 A.-2

2 C.- 2 解析

cos2x+sin2x 1 y′= , 2= ?sin x+cos x? 1+sin 2x

1 故所求切线斜率 k=y′|x=π=2.
4

答案

B

二、填空题 6.(2013· 广东卷)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= ________. 解析 答案 1 1 y′=2ax- x ,∴y′|x=1=2a-1=0,∴a=2. 1 2

7.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________. 解析 由题意得 f′(x)=2x+3f′(2),

∴f′(2)=2×2+3f′(2),∴f′(2)=-2. 答案 -2

8.(2013· 江西卷)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α

=________. 解析 答案 y′=αxα-1,∴斜率 k=y′|x=1=α= 2 2-0 =2,∴α=2. 1-0

三、解答题 9.求下列函数的导数: (1)y=ex· ln x; 1 1? ? (2)y=x?x2+x +x3?; ? ? x x (3)y=x-sin 2cos 2; ?1 ? (4)y=( x+1) ? -1?. ? x ? 解 1? 1 x? ?ln x+x?. (1)y′=(ex· ln x)′=exln x+ex· = e x ? ?

1 2 (2)∵y=x3+1+x2,∴y′=3x2-x3. (3)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y=x-sin 2cos 2=x-2sin x, 1 1 ? 1 ? ∴y′=?x-2sin x?′=x′-2(sin x)′=1-2cos x. ? ? 1 1 1 1 (4)先化简,y= x· - x+ -1=-x2+x-2, x x =- 1? 1 ? ?1+ x?. ? 2 x?

1 10.(2014· 潮州二模)f(x)=ax- x,g(x)=ln x,x>0,a∈R 是常数. (1)求曲线 y=g(x)在点 P(1,g(1))处的切线 l. (2)是否存在常数 a,使 l 也是曲线 y=f(x)的一条切线.若存在,求 a 的值; 若不存在,简要说明理由. 解 1 (1)由题意知,g(1)=0,又 g′(x)= x,g′(1)=1,所以直线 l 的方程为 y

=x-1.

(2)设 y=f(x)在 x=x0 处的切线为 l,则有 1 ? ?ax0-x0=x0-1, ? 1 =1, ?a+x2 ? 0 x =2, ? ? 0 解得? 3 a= , ? ? 4

此时 f(2)=1,

3 即当 a=4时,l 是曲线 y=f(x)在点 Q(2,1)的切线.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 惠州一模)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切 π? ? 线倾斜角的取值范围是?0,4?,则点 P 横坐标的取值范围是 ? ? 1? ? A.?-1,-2? ? ? C.[0,1] 解析 B.[-1,0] ?1 ? D.?2,1? ? ? ( ).

设 P(x0,y0),倾斜角为 α,y′=2x+2,则 k=tan α=2x0+2∈[0,1],

1? ? 解得 x0∈?-1,-2?,故选 A. ? ? 答案 A

2.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn(x)=f′n-1(x),n∈N*,则 f2 013(x)等于 A.sin x C.cos x 解析 ( ).

B.-sin x D.-cos x

f1(x)=f0′(x)=cos x,f2(x)=f1′(x)=-sin x,f3(x)=f2′(x)=-cos x,

f4(x)=f3′(x)=sin x, …, 由规律知, 这一系列函数式值的周期为 4, 故 f2 013(x) =cos x. 答案 C

二、填空题 3.(2014· 武汉中学月考)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲 线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2
013x1+log2 013x2

+…+log2 013x2 012 的值为________. 解析 f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,

点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 令 y=0,得 x=1- 1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1

1 2 3 2 011 2 012 1 ∴x1· x2· …· x2 012=2×3×4×…×2 012×2 013=2 013,则 log2 013x1+log2 013x2 +…+log2 013x2 012 =log2 013(x1x2…x2 012)=-1. 答案 -1

三、解答题 b 4.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12= x 0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三 角形面积为定值,并求此定值. (1)解 7 方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3,

b 1 2 a - ? ? 2=2, 1 b 当 x=2 时,y=2.又 f′(x)=a+x2,于是? b 7 ? ?a+4=4, ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- x. ?b=3. (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,

3? 3 ? 由 f′(x)=1+x2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x2?(x-x0), ? 0? 3? 3 ? 6 即 y-(x0-x )=?1+x2?(x-x0).令 x=0,得 y=-x ,从而得切线与直线 x= ? 0? 0 0 6? ? 0 交点坐标为?0,-x ?.令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交 ? 0? 点坐标为(2x0,2x0).

1? 6 ? 所以点 P(x0, y0)处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为2?-x ?|2x0| ? 0? =6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面 积为定值,此定值为 6.


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