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2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十六 椭圆、双曲线、抛物线


专题十六 椭圆、双曲线、抛物线
x2 y2 1.已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 4 b 其渐近线的距离等于( A. 5 B.4 2 ). C.3 D.5

答案: A

x2 y2 [易求得抛物线 y2=12x 的焦点为(3,0), 故双曲线 - 2=1 的右焦点为(3,0), 4 b

即 c=3,故 32=4+b2,∴b2=5,

? 5×3? ?2 ? 5 ∴双曲线的渐近线方程为 y =± x, ∴双曲线的右焦 点到其渐近线的距离为 = 2 5 1+ 4
5.] 2.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 A. 2 3,则 C 的实轴长为( 2 C.4 D.8 3)在等轴双曲线 C; ).

B.2

答案: C [抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4, 所以点 A(-4, 2 x2-y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4.]

x2 y2 3 3.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C a b 2 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 答案:D x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 3 c 3 3 3 ,所以 e= = ,c2= a2,c2= a2=a2-b2,所以 2 a 2 4 4 ).
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

[因为椭圆的离心率为

1 x2 x2 x2 x2 b2= a2,即 a2=4b2.双曲线的渐近线方程为 y=± x,代入椭圆方程得 2+ 2=1,即 2+ 2= 4 a b 4b b 5x2 4 2 4 2 =1,所以 x2= b2,x=± b,y2= b2,y=± b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 4b2 5 5 5 5 C 的交点坐标为? 2

? 5

b,

2 ? 2 2 16 b ,所以四边形的面积为 4× b× b= b2=16,所以 b2=5, 5 5 ? 5 5

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1.] 20 5 4.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积为________.

解析 直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 4 =0, 解得 yA=
源:Zxxk.Com]

3 4 3 y+1,代入抛物线方程得 y2- y-4 3 3

3 3

+ 2

16 +16 3

=2

1 3(yB<0, 舍去), 故△OAF 的面积为 ×1×2 2

3= 3.

[来

答案

3

圆锥曲线与方程是 高考考查的核心内容之一, 在高考中一般有 1~2 个选择或者填空题, 一个解答题.选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简 单几何性质及其应用,主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题 主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系.

复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法,在抓住通性通法 的同时,要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质, 重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策 略,提高运用函数与方程思想,向量与导数的方法来解决问题的能力.

必备知识 x y ?椭圆 2+ 2=1(a>b>0),点 P(x,y)在椭圆上. a b c (1)离心率:e= = a b2 1- 2; a
2 2

2b2 (2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为: . a x2 y2 ?双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),点 P(x,y)在双曲线上. a b c (1)离心率:e= = a b2 1+ 2; a

2b2 (2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径,其长度为: . a ?抛物线 y2=2px(p>0),点 C(x1,y1),D(x2,y2)在抛物线上. p (1)焦半径|CF|=x1+ ; 2 p p 2p 1 1 (2)过焦点弦长|CD|=x1+ +x2+ =x1+x2+p, |CD|= 2 (其中 α 为倾斜角), + 2 2 sin α |CF| |DF| 2 = ; p

p2 (3)x1x2= ,y1y2=-p2; 4 (4)以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切,以抛物线焦点弦为直径 的圆,必与准线相切. 必备方法 1.求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 ①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为 y2=2ax 或 x2=2ay(a≠0),避开对焦 点在哪个 半轴上的分类讨论,此时 a 不具有 p 的几何意义. x2 y2 ②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为 + =1(m>0,n>0). m n x2 y2 双曲线方程可设为 - =1(mn>0). m n 这样可以避免讨论和繁琐的计算. 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:将几何关系直接转化成代数方程. (2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程. (3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系. (4)交轨法:写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹. 注意:①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图 形,而轨迹方程则是代数表达式;③化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成 立等.

椭圆、双曲线、抛物线定义的应用 圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本, 利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线 的一个重要命题点,在历年的高考试题中曾多次出现.需熟练掌握. x2 y2 x2 【例 1】? 已知椭圆 + =1 与双曲线 -y2=1 的公共焦点 F1,F2,点 P 是两曲线的 6 2 3 一个公共点,则 cos∠F1PF2 的值为( 1 A. 4 1 1 3 B. C. D. 3 9 5 ).

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求.

B

[因点 P 在椭圆上又在双曲线上,所以|PF1|+|PF2|=2 3.

6,

|PF1|-|PF2|=2

设|PF1|>|PF2|,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2|= 6- 3, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 由余弦定理得 cos∠F1PF2= 2|PF1||PF2| = ? 6+ 3?2+? 6- 3?2-16 1 = .] 3 2? 6+ 3?? 6- 3? 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时,要自觉地运用椭圆、双曲 线的定义.涉及抛物线上的点到焦点的距离时,常利用定义转化到抛物线的准线的距离. 【突破训练 1】 如图过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线与 点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

解析

作 BM⊥l,AQ⊥l,垂足分别为 M、Q.则由抛 物线定义得,|AQ|=|AF|=3,|BF|=|BM|. 1 3 又|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BM|.由 BM∥AQ 得,|AC|=2|AQ|=6,|CF|=3.∴|NF|= |CF|= . 2 2 3 即 p= .抛物线方程为 y2=3x. 2 答案 y2=3x 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容, 主要考查椭圆与双曲线的离心率的求 解、双曲线的渐近线方程的求解,难度中档. → → → 【例 2】 以 O 为中心, F1, F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M, 满足|MF1|=2|MO|=2|MF2 |,则该椭圆的离心率为( A. 2 2 B. 3 3 C. ).

6 6 D. 3 4

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 作 MN⊥x 轴,结合勾股定理可 求 c,利用椭圆定义可求 a. C c → → ? [过 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 N 点,则 N 点坐标为? ?2,0?,并设|MF1|=2|MO|=

6 3t → → → → → 2|MF2|=2t,根据勾股定理可知,|MF1|2-|NF1|2=|MF2|2-|NF2 |2,得到 c= t,而 a= ,则 2 2 c 6 e= = ,故选 C.] a 3 离心率的范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的不等式, 再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到关于 a,c 的不等式,由这个不等式确定 e 的范围. 【突破训练 2】 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0, 2).若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. p ? ?p ? 解析 抛物线的焦点 F 的坐标为? ?2,0?,线段 FA 的中点 B 的坐标为?4,1?代入抛物线 p 2 方程得 1=2p× ,解得 p= 2,故点 B 的坐标为? ,1?,故点 B 到该抛物线准线的距离为 4 ?4 ? 2 2 3 2 + = . 4 2 4 答案 3 4 2

求曲线的方程 轨迹问题的考查往往与函数、 方程、 向量、 平面几何等知识相融合, 着重考查分析问题、 解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求. x2 【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2 分别为椭圆 2+ a y2 =1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. b2 (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足 AM · BM =-2, 求点 M 的轨迹方程. [审题视点]

→ →

[听课记录] [审题视点] (1)根据|PF2|=|F1F2|建立关于 a 与 c 的方程式. → → (2)可解出 A、B 两点坐标(用 c 表示),利用AM· BM=-2 可求解. 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

由题意可得|PF2|=|F1F2|,即 ?a-c?2+b2=2c. c ?2 c 整理得 2? ?a? +a-1=0, c 1 c 1 得 = 或 =-1(舍),所以 e= . a 2 a 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 方程为 y= 3(x-c).

?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c?. ?x1=0, 8 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0,解得 x1=0,x2= c,得方程组的解? 5 ?y1=- 3c,

2

2

2

?x =5c, ? 3 3 ?y = 5 c.
2 2

8

8 3 3 ? 不妨设 A? c, c ,B(0,- 3c). 5 ? ?5 8 3 3 ? → 设点 M 的坐标为(x,y),则 AM =?x- c,y- c , 5 ? ? 5 BM =(x,y+ 3c).由 y= 3(x-c),得 c=x-



3 y. 3

于是 AM =?



8 3 3 8 3 3 ? , ? 15 y-5x,5y- 5 x?

BM =(x, 3x).由题意知 AM · BM =-2,即 8 3 3 ? ?8 3y-3x?· x+? y- x · 3x=-2, 5 ? 5 ? ? 15 ?5 化简得 18x2-16 3xy-15=0. 18x2-15 10x2+5 3 将 y= 代入 c=x- y,得 c= >0, 3 16x 16 3x 所以 x>0. 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). (1)求轨迹方程时, 先看轨迹的形状能否预知, 若能预先知道轨迹为何种圆锥 曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解. (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.



→ →

【突破训练 3】如图,动点 M 与两定点 A(-1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠ MAB.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=-2x+m 与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 |PR| 的取值范围. |PQ| 解 (1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0,且 y≠0.

当∠MBA=90° 时,点 M 的坐标为(2,± 3). 当∠MBA≠90° 时,x≠2,且∠MBA=2∠MAB, |y| x+1 2 tan∠MAB |y| 有 tan∠MBA= ,即- = , |y| 1-tan2∠MAB x-2 1-?x+1?2 ? ? 2 化简可得 3x2-y2-3=0. 而点(2,± 3)在曲线 3x2-y2-3=0 上, 综上可知,轨迹 C 的 方程为 3x2-y2-3=0(x>1).
?y=-2x+m, ? (2)由? 2 2 消去 y,可得 ?3x -y -3=0 ?

x2-4mx+m2+3=0.(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.

设 f(x)=x2-4mx+m2+3, -4m - ? ? 2 >1, 所以? f?1?=1 -4m+m +3>0, ? ?Δ=?-4m? -4?m +3?>0,
2 2 2 2

解得 m>1,且 m≠2.

设 Q、R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR), 由|PQ|<|PR|有 xR=2m+ 3?m2-1?,xQ=2m- 3?m2-1?. 2+ 2 |PR| xR 2m+ 3?m -1? 所以 = = = |PQ| xQ 2m- 3?m2-1? 2- =-1+ 2- . 1 1- 2? 3? ? m? <7+4 1? ? 3?1-m2? 3). 4 3, 且-1+ 2- 4 1? 3? ?1-m2? ≠7. 4 1? 3? ?1-m2? 1? 3? ?1-m2?

由 m>1, 且 m≠2, 有 1<-1+ 2- |PR| 所以 的取值范围是(1,7)∪(7,7+4 |PQ| 直线与圆锥曲线之间的关系

在高考中,直线与圆锥曲线的位置关系是热点,通常围绕弦长、面积、定点(定值),范 围问题来展开,其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法,试题难度较大. x2 y2 3 【例 4】? 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C a b 3 相交于 A,B 两点.当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (1)求 a,b 的值; → → → (2)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在, 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由. [审题视点] 2 . 2

[听课记录] [审题视点] (1)由直线 l 的斜率为 1 过焦点 F,原点 O 到 l 的距离为 2 可求解;(2)需分 2

→ → → 直线 l 的斜率存在或不存在两种情况讨论.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由条件OP=OA+OB可 得 P 点坐标,结合 A、B、P 在椭圆上列等式消元求解. 解 |0-0-c| (1)设 F(c,0), 当 l 的斜率为 1 时, 其方程为 x-y-c=0, O 到 l 的距离为 = 2

c c 2 ,故 = ,c=1. 2 2 2 c 3 由 e= = ,得 a= 3,b= a2-c2= a 3 2.

→ → → (2)C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OP=OA+OB成立.由(1)知 C 的 方程为 2x2+3y2=6.设 A(x1,y1),B(x2,y2). (i)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1). → → → C 上的点 P 使OP=OA+OB成立的充要条件是 P 点的坐标为(x1+x2,y1+y2),且 2(x1 + x2)2+3(y1+y2)2=6,
2 2 2 整理得 2x2 1+3y1+2x2+3y2+4x1x2+6y1y2=6, 2 2 2 又 A、B 在椭圆 C 上,即 2x2 1+3y1=6,2x2+3y2=6,

故 2x1x2+3y1y2+3=0.① 将 y=k(x-1)代入 2x2+3y2=6,并化简得 (2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0, 3k2-6 6k2 于是 x1+x2= ,x · x= , 2+3k2 1 2 2+3k2 -4k2 y1· y2=k2(x1-1)(x2-1)= . 2+3k2 3 代入①解得 k2=2,此时 x1+x2= . 2 3 k? k 于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=- ,即 P? ?2,-2?. 2 因此,当 k=- 3 2 2时,P? , ?,l 的方程为 2x+y- ?2 2 ? 2=0;

3 2 当 k= 2时,P? ,- ?,l 的方程为 2x-y- 2=0. 2? ?2 → → → → → (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由OA+OB=(2,0)知,C 上不存在点 P 使OP=OA+OB成立.综 3 2 → → → 上,C 上存在点 P? ,± ?使OP=OA+OB成立,此时 l 的方程为 2x± y- 2=0. 2? ?2 本小题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知识,考查学生综合运用数学 知识进行推理的运算能力和解决问题的能力.此题的第(2)问以向量形式引进条件,利用向 量的坐标运算,将“形”、“数”紧密联系在一起,既发挥了向量的工具性作用,也让学生 明白根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法. x2 y2 【突破训练 4】 设椭圆 E: 2+ 2=1(a,b>0)过点 M(2, 2),N( 6,1)两点,O 为坐 a b 标原点. (1)求椭圆 E 的方程;

(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, → → 且OA⊥OB?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由. 解 4
2

(1)将 M,N 的坐标代入椭圆 E 的方程得 2
2

?a +b =1, ?6 1 ?a +b =1,
2 2

解得 a2=8,b2=4.

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 8 4 (2)假设满足题意的圆存在,其方程为 x2+y2=R2,其中 0<R<2. 设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当直线 AB 的斜率 存在时,令直线 AB 的方程为 y=kx+m,① 将其代入椭圆 E 的方程并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. 由方程根与系数的关系得 x1+x2=- 2m2-8 4km ,x1x2= 2 .② 2 2k +1 2k +1

→ → 因为OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0.③ 将①代入③并整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 8 联立②得 m2= (1+k2).④ 3 因为直线 AB 和圆相切,因此 R= 2 由④得 R= 6 3 |m| . 1+k2

8 ,所以存在圆 x2+y2= 满足题意. 3

8 2 当切线 AB 的斜率不存在时,易得 x2 1=x2= , 3 8 → → 2 由椭圆 E 的方程得 y1 =y2 2= ,显然OA⊥OB. 3 8 综上所述,存在圆 x2+y2= 满足题意. 3

讲讲离心率的故事 椭圆、 双曲线的离心率是一个重要的基本量, 在椭圆中或在双曲线中都有着极其特殊的 应用,也是高考常考的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率的值;二是求椭圆 和双曲线离心率的取值范围. 一、以离心率为“中介”

x2 y2 【示例 1】? (2012· 湖北)如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两 a b 端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A, B,C,D.则

(1)双曲线的离心率 e=________; S1 (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =________. S2 解析 (1)由题意可得 a b2+c2=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2=

3+ 5 1+ 5 ,∴e= . 2 2 (2)设 sin θ= b2+c2 2 1 b c S1 2bc 2bc , cos θ = , = = = =e - = 2 2a2 2 b2+c2 b2+c2 S2 4a sin θcos θ 4a2 bc 2 2 b +c

2+ 5 . 2 答案 1+ 5 (1) 2 2+ 5 (2) 2

老师叮咛:离心率是“沟通”a,b,c 的重要中介之一,本题在产生关于 a,b,c 的关 系式后,再将关系式转化为关于离 心率 e 的方程,通过方程产生结论. 【试一试 1】A,B 是双曲线 C 的两个顶点,直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P,Q, → → 且与实轴垂直,若PB· AQ=0,则双曲线 C 的离心率 e=________. x2 y2 解析 不妨设双曲线 C 的方程 2- 2=1(a>0,b>0),则 A(-a,0),B(a,0).设 P(x,y), a b Q(x,-y), → → 所以PB=(a-x,-y),AQ=(x+a,-y), → → 由PB· AQ=0,得 a2-x2+y2=0. a2+y2 y2 x2 y2 又 2- 2=1,所以 2 - 2=1, a b a b 1 1? 2 1 1 即? ?a2-b2?y =0 恒成立,所以a2-b2=0. 即 a2=b2,所以 2a2=c2.从而 e= 2. 答案 2
[来源:学科网] [来源:学科网 ]

二、离心率的“外交术” b+c x2 y2 【示例 2】已知 c 是椭圆 2+ 2=1(a >b>0)的半焦距,则 的取值范围是( a b a A.(1,+∞) C.(1, 2) B.( 2,+∞) D.(1, 2 ]
[来源:学,科,网]

).

b+c a2-c2+c 解析 由 = = 1-e2+e,又 0<e<1,设 f(x)= 1-x2+x,0<x<1,则 a a 1-x2-x x 2 2? ? f′(x)=1- 2= 2 . 令 y′= 0,得 x= 2 ,则 f(x )在?0, 2 ? 上单调递增,在 1-x 1-x

? 2,1?上单调递减,∴f(x) = max ?2 ?
b+c < ≤ 2. a 答案 D

1 2 1- + = 2,f(0)=1,f(1)=1.∴1<f(x)≤ 2,故 1 2 2

老师叮咛:离心率“外交”在于它可以较好地与其他知识交汇,本题中,如何求\f(b+ c,a)的取值范围?结合离心率及关系式 a2=b2+c2,将待求式子转化为关于 e 的函数关系式, 借助函数的定义域?即 e 的范围?产生函数的值域,从而完成求解. x2 y2 【试一试 2】 (2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率 m m +4 为 5,则 m 的值为________. 解析 由题意得 m>0,∴a= m,b= m2+4. m2+m+4 c ∴c= m +m+4,由 e= = 5,得 =5,解得 m=2. a m
2

答案 2


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