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3.1.2概率的意义 教案(人教A版必修3)


3.1.2 概率的意义

●三维目标 1.知识与技能 (1)理解概率的含义并能通过大量重复试验确定概率. (2)能用概率知识正确理解和解释现实生活中与概率相关的问题. 2.过程与方法 (1)经历用试验的方法获得概率的过程培养学生的合作交流意识和动手能力. (2)在由“试验形成概率的定义”的过程中培养学生分析问题能力和抽象思维能力. 3.情感、态度与价值观 (1)利用生活素材和数学史上著名例子,激发学生学习数学的热情和兴趣. (2)结合随机试验的随机性和规律性,让学生了解偶然性寓于必然性之中的辩证唯物主 义思想. ●重点难点 重点:理解概率的意义. 难点:用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 教学时要抓知识选择的切入点, 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手, 引导学 生结合初中学习过的概率知识,不断地观察、比较、分析身边的具体实例总结出概率的实际 意义从而强化了重点. 在课堂上, 对于教师或学生提出的数学问题, 通过学生与学生或学生与教师之间相互讨 论、相互学习,在问题解决过程中发现规律、建立概念,通过例题与练习让学生在应用概率 解决问题的过程中更深入地理解概率在现实生活中的作用从而化解了难点.

●教学建议 本节课建议主要采用实验探究式的教学方法,引导学生对身边的事件加以注意、分析, 指导学生做简单易行的实验.为了达到好的教学效果,以启发为主,分层次设置问题,加入 适量的情景设置,运用实验探究展开课堂,对问题采用多种展示手法,以学生为主,让学生 分组讨论,合作学习,探究学习.课堂是个不断变化的过程,要因时因事而变,灵活把握, 因材施教.

逐步完善学生对数据处理的认知结构.让学生动口说、动脑想、自主探究、合作交流, 初步形成用数据进行推断的思考方式,养成尊重事实、用数据说话的态度,能明智地应付变 化和不确定性,自信而理智地面对充满信息和变化的世界. ●教学流程 创设情境引入新课:明天下雨的可能性为95%,明天一定下雨吗?怎样理解这句话 ? 引导学生结合初中所学的概率知识分析、思考概率的意义 ?

通过引导学生回答所提问题给出概率的意义 ?通过例 1 及其变式训练学生能初步掌握现实 生活中的一些概率问题的合理解释 ? 通过例2及变式训练使学生掌握现实生活中的公平性的判断方法 ?通过例 3 及变式 训练,进一步巩固了概率与频率的关系掌握了求概率的基本方法? 归纳整理,进行小结,使学生从整体上把握本节知识 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈矫正 ?

课标解读

1.通过实例进一步理解概率的意义.(重点) 2.能用概率的意义解释生活中的事例.(难点) 3.了解概率在其他领域中的统计规律.

对概率的正确理解 【问题导思】 有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 0.5,那么连续两次掷一枚质地均匀的硬 币一定是一次正面朝上,一次反面朝上.你认为这种想法正确吗? 【提示】 这种想法是错误的.概率是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次 试验不一定体现出这种规律. 随机事件在一次试验中发生与否是随机的, 但随机性中含有规律性, 认识了这种随机 性中的规律性,就能比较准确地预测随机事件发生的可能性. 游戏的公平性 【问题导思】 甲、乙两人做游戏,从装有 3 个白球 1 个黑球的袋子中任取 1 球,如果是白球,甲胜; 否则乙胜.试问这个游戏对两个人来说公平吗?

【提示】 不公平.甲获胜机会大. 1.裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员先猜,猜中并取得发球的概率均 为 0.5,所以这个规则是公平的. 2.在设计某种游戏规则时,一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则. 天气预报的概率解释 【问题导思】 “昨天没有下雨,而天气预报说昨天降水的概率为 90%.这说明预报是错误的”这种说 法科学吗? 【提示】 不科学. 天气预报的“降水”是一个随机事件,“概率为 90%”指明了“降水”这个随机事 件发生的概率为 90%.在一次试验中,概率为 90%的事件也可能不出现,因此,“昨天没有 下雨”并不能说明“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是错误的. 决策中的概率思想 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务, 那么“使得样本出现的 可能性最大”可以作为决策的准则, 这种判断问题的方法称为极大似然法, 极大似然法是统 计中重要的统计思想方法之一.

正确理解概率的意义

某种病治愈的概率是 0.3,那么前 7 个人没有治愈,后 3 个人一定能 治愈吗?如何理解治愈的概率是 0.3? 【思路探究】 正确理解随机事件概率的意义, 纠正日常生活中出现的一些错误认识是 解决本题的关键. 【自主解答】 如果把治疗一个病人作为一次试验,“治愈的概率是 0.3”指随着试验 次数的增加,即治疗人数的增加,大约有 30%的人能够治愈,对于一次试验来说,其结果 是随机的,因此前 7 个病人没有治愈是可能的,对后 3 个人来说,其结果仍然是随机的,有 可能治愈,也可能没有治愈. 治愈的概率是 0.3,指如果患病的人有 1 000 人,那么我们根据治愈的频率应在治愈的 概率附近摆动这一前提,就可以认为这 1 000 个人中大约有 300 人能治愈.

随机事件在一次试验中发生与否是随机的, 但随机中含有规律性, 而概率恰是其规律性 在数量上的反映,概率是客观存在的,它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系.

某射手击中靶心的概率是 0.9,是不是说明他射击 10 次就一定能击中 9 次靶心了? 【解】 概率是经过大量的重复试验得出的一个统计值, 但作为单独的一次或多次试验 而言, 很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大. 从概率统计的定义 出发,击中靶心的概率是 0.9,并不意味着射击 10 次就一定能击中 9 次,只有进行大量射击 9 9 试验时,击中靶心的次数约为 n(其中 n 为射击次数)且 n 越大,击中的次数就越接近 n. 10 10

游戏公平性的判断

如图 3-1-1 所示,有两个可以自由转动的均匀转盘 A、B.转盘 A 被 平均分成 3 等份,分别标上 1,2,3 三个数字;转盘 B 被平均分成 4 等份,分别标上 3,4,5,6 四 个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则:自由转动转盘 A 与 B,转盘停止后,指 针各指向一个数字, 将指针所指的两个数字相加, 如果和是 6, 那么甲获胜; 否则乙获胜. 你 认为这样的游戏规则公平吗?如果公平,请说明理由;如果不公平,怎样修改规则才能使游 戏对双方公平?

图 3-1-1 【思路探究】 因为只有甲、乙二人参加游戏,所以要判断规则是否公平,只需看两转 1 盘数字和为 6 的概率是否为 ,若是,则公平;若不是,则不公平. 2

【自主解答】 列表如下: A 3 4 5 6

B 1 2 3 4 5 6 5 6 7 6 7 8 7 8 9

由表可知,等可能的结果有 12 种,和为 6 的结果只有 3 种. 3 1 因为 P(和为 6)= = ,即甲、乙获胜的概率不相等,所以这种游戏规则不公平. 12 4 如果将规则改为“和是 6 或 7,则甲胜,否则乙胜”,那么游戏规则就是公平的.

1.由题意列出表格,各种结果在表中一目了然,使得本题的解答更简易、方便. 2.利用概率的意义可以判定游戏规则,在各类游戏中,如果每个人获胜的概率相等, 那么游戏就是公平的.这就是说,要保证所制定的游戏规则是公平的,需保证每人获胜的概 率相等.

元旦就要到了,某校将举行庆祝活动,每班派 1 人主持节目.高一(2)班的小明、小华 和小利实力相当, 又都争着要去, 班主任决定用抽签的方式决定, 机灵的小强给小华出主意, 要小华先抽,说先抽的机会大,你是怎样认为的?说说看. 【解】 其实抽签不必分先后,先抽后抽,中签的机会是一样的.我们取三张卡片,上 面标上 1,2,3,抽到 1 就表示中签,设抽签的次序为甲、乙、丙,则可以把情况填入下表: 情况人名 甲 乙 丙 一 1 2 3 二 1 3 2 三 2 1 3 四 2 3 1 五 3 1 2 六 3 2 1

从上表可以看出:甲、乙、丙依次抽签,一共有六种情况,第一、二两种情况,甲中签; 第三、五两种情况,乙中签;第四、六两种情况,丙中签.甲、乙、丙中签的可能性都是相 同的,即甲、乙、丙的机会是一样的,先抽后抽,机会是均等的,不必争先后. 概率的应用

为了估计水库中鱼的尾数,使用以下的方法:先从水库中捕出 2 000 尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中 的其他鱼充分混合,再从水库中捕出 500 尾,查看其中有记号的鱼,有 40 尾,试根据上述 数据,估计水库中鱼的尾数. 【思路探究】 这实际上是概率问题,即 2 000 尾鱼在水库中占所有鱼的百分比.捕出

40 的 500 尾鱼中带记号的鱼有 40 尾,就说明水库所有的鱼中,带记号的鱼的概率约为 ,问 500 题可解. 【自主解答】 设水库中鱼的尾数是 n(n∈N*),每尾鱼被捕到的可能性相等,给 2 000 2 000 尾鱼做上记号后,从水库中任捕一尾鱼,带记号的概率为 .又从水库中捕 500 尾鱼,有 n 40 2 000 40 40 尾带记号,于是带记号的频率为 .则有 ≈ ,解得 n≈25 000.所以估计水库中有 500 n 500 25 000 尾鱼.

此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力, 解题的关键是假定每 个样本被抽取的可能性是相等的,可用样本的频率近似估计总体的概率,或由此列出方程, 求出总体.

某家具厂为某运动中心生产观众座椅.质检人员对该厂所产 2 500 套座椅进行抽检,共 抽检了 100 套,发现有 5 套次品,试问该厂所产 2 500 座椅中大约有多少套次品? 【解】 设有 n 套次品,由概率的统计定义可知, n 5 = ,解得 n=125. 2 500 100 故该厂所产 2 500 套座椅中大约有 125 套次品.

不理解概率的意义致误 已知某厂的产品合格率为 90%,现抽出 10 件产品检查,则下列说法 正确的是( )

A.合格产品少于 9 件 B.合格产品多于 9 件 C.合格产品正好是 9 件 D.合格产品可能是 9 件 【错解】 产品的合格率是 90%,是指产品中有 90%的产品是合格的,故抽出的 10 件 产品中,合格产品正好为 9 件,故应选 C.

【答案】 C 【错因分析】 因不理解概率的意义而错选 C. 【防范措施】 一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的, 其反映了该随机事件发 生的可能性大小, 因此在本题中“抽出 10 件产品”相当于做了 10 次试验, 而每次试验结果 可能是正品,也可能是次品.故只有 D 正确. 【正解】 合格产品可能为 90%×10=9,故选 D. 【答案】 D

1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量,即使是大概率事件,也不能肯定事 件一定会发生,只能认为事件发生的可能性大. 2.孟德尔通过试验、观察、猜想、论证,从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律,这 是一种科学的研究方法,我们应认真体会和借鉴. 3.利用概率思想正确处理和解释实际问题,是一种科学的理性思维,在实践中要不断巩固 和应用,提升自己的数学素养.

1 1.“某彩票的中奖概率为 ”意味着( 1 000 A.买 1 000 张彩票就一定能中奖 B.买 1 000 张彩票中一次奖 C.买 1 000 张彩票一次奖也不中 1 D.购买彩票中奖的可能性是 1 000 【解析】 由概率的意义知 D 正确. 【答案】 D

)

2. 某次考试共有 12 道选择题, 每道选择题有 4 个选项, 其中只有 1 个选项是正确的. 某

1 人说: “每个选项正确的概率是 , 我每题都选择第一个选项, 则一定有 3 题选择结果正确” 4 这句话( ) B.错误 D.无法解释

A.正确 C.不一定

【解析】 解答一道选择题作为一次试验,每次试验选择的正确与否都是随机的,经过 1 大量的试验其结果呈随机性,即选择正确的概率是 .做 12 道选择题,即进行了 12 次试验, 4 每个结果都是随机的, 不能保证每题的结果选择正确, 但有 3 题选择结果正确的可能性比较 大.同时也有可能都选错,亦或 2 题,4 题,甚至 12 个题都选择正确. 【答案】 B 3.2010 年上海世博会前夕,质检部门对世博会所用某种产品进行抽检,得知其合格率 为 99%.若世博会所需该产品共有 20 000 件,则其中的不合格产品约有________件. 【解析】 由合格率为 99%知不合格率为 1%, 故不合格产品约有 20 000×1%=200(件). 【答案】 200 4.如果掷一枚质地均匀的硬币,连续 5 次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概 1 率大于 ,这种理解正确吗? 2 【解】 这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬币,作为一次试验,其结果是随机 的,但通过大量的试验,其结果呈现出一定的规律,即“正面向上”、“反面向上”的可能 1 性都是 ,连续 5 次正面向上这种结果是可能的,但对下一次试验来说,仍然是随机的,其 2 1 1 出现正面向上和反面向上的可能性还是 ,而不会大于 . 2 2

一、选择题 1.已知某人在投篮时投中的概率为 50%,则下列说法正确的是( A.若他投 100 次,一定有 50 次投中 B.若他投一次,一定投中 C.他投一次投中的可能性大小为 50% D.以上说法均错 【解析】 概率是指一件事情发生的可能性大小. 【答案】 C )

2.气象台预测“本市明天降雨的概率是 90%”.下列对此预测的正确理解是( A.本市明天将有 90%的地区降雨 B.本市明天将有 90%的时间降雨 C.明天出行不带雨具肯定会淋雨 D.明天出行不带雨具可能会淋雨 【解析】 由概率的意义知,D 正确. 【答案】 D

)

3.在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种 手术的成功率大约是 99%,下列解释正确的是( )

A.100 个手术有 99 个手术成功,有 1 个手术失败 B.这个手术一定成功 C.99%的医生能做这个手术,另外 1%的医生不能做这个手术 D.这个手术成功的可能性是 99% 【解析】 成功率大约是 99%,说明手术成功的可能性是 99%. 【答案】 D 4. 同时向上抛掷 100 个质量均匀的铜板, 落地时这 100 个铜板全都正面向上, 则这 100 个铜板更可能是下面哪种情况( )

A.这 100 个铜板两面是一样的 B.这 100 个铜板两面是不一样的 C.这 100 个铜板中有 50 个两面是一样的,另外 50 个两面是不一样的 D.这 100 个铜板中有 20 个两面是一样的,另外 80 个两面是不一样的 1 【解析】 掷一个铜板,正面向上概率为 ,由题意结合极大似然法思想知 A 正确. 2 【答案】 A 5.(2013· 烟台高一检测)一枚质地均匀的硬币如果连续抛掷 100 次,那么第 99 次出现反 面朝上的概率是( 1 A. 100 ) 99 B. 100 1 C. 2 1 D. 99

1 【解析】 由于每次试验出现正、反面朝上的概率是相等的,均为 . 2 【答案】 C 二、填空题 6.小明在抛掷图钉时,在 200 次至 300 次抛掷中钉尖触地的频率约在 35%~35.4%之 间,那么再抛掷 100 次,钉尖触地次数的取值范围是________. 【解析】 由于在抛掷图钉试验中,“针尖触地”这一事件的发生是随机的,故再抛掷

100 次,针尖触地次数的取值范围是[0,100]. 【答案】 [0,100]

图 3-1-2 7.玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如 图 3-1-2 所示的靶中,若射中区域所标的数字大于 3,则我先走第一步,否则你先走第一 步”.你认为这个游戏规则公平吗?________.(填“公平”或“不公平”) 【解析】 如题图所示,所标的数字大于 3 的区域有 5 个,而小于或等于 3 的区域则只 5 3 有 3 个,所以玲玲先走的概率是 ,倩倩先走的概率是 .所以不公平. 8 8 【答案】 不公平 8.管理人员从一池塘中捞出 30 条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合 于鱼群中.10 天后,再捕上 50 条,发现其中带标记的鱼有 2 条.根据以上数据可以估计该池 塘约有________条鱼. 【解析】 设该池塘约有 x 条鱼. 则 50 x = , 2 30

∴x=750. 【答案】 750 三、解答题 9.以下说法正确吗?请说明理由. (1)某厂产品的次品率为 0.02,从该厂产品中任意地抽取 100 件,其中一定有 2 件次品. (2)某销售商为了提高某品牌日用品的销售量,决定在某超市搞促销活动:凡购买该品 牌的日用品一件,就可以抽奖一次,中奖率为 3 .某顾客觉得该品牌的日用品好用也是必需 10

的用品,所以决定购买 10 件,认为肯定有 3 次能中奖的机会,更有优惠. (3)某市气象预报说:“明天本市降雨的概率为 60%”.有人认为明天本市有 60%的区 域要下雨,40%的区域不下雨;也有人认为明天本市有 60%的时间下雨,有 40%的时间不下 雨. 【解】 (1)这种说法不对. 因为产品的次品率为 0.02, 是指产品为次品的可能性为 2%, 所以从该厂产品中任意地抽取 100 件,其中可能有 2 件次品,而不是一定有 2 件次品. (2)不对.购买该品牌的日用品一件,就可以抽奖一次,是做一次试验,试验的结果中

3 7 奖率为 ,不中奖率为 .购买 10 件,抽奖 10 次,相当于做 10 次试验,每一次试验结果中 10 10 3 7 奖率为 ,不中奖率为 . 10 10 (3)不对.明天本市降雨的概率为 60%,是指本市明天下雨的可能性为 60%,不是指下 雨的区域也不是下雨的时间.

图 3-1-3 10.有一个转盘游戏,转盘被平均分成 10 等份(如图 3-1-3 所示),转动转盘,当转 盘停止后, 指针指向的数字即为转出的数字. 游戏规则如下: 两个人参加, 先确定猜数方案, 甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲 获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种: A.猜“是奇数”或“是偶数”; B.猜“是 4 的整数倍数”或“不是 4 的整数倍数” C.猜“是大于 4 的数”或“不是大于 4 的数”. 请回答下列问题: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你会选哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么? (2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么? (3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性. 【解】 (1)可以选择 B 猜“不是 4 的整数倍数”或 C 猜“是大于 4 的数”.“不是 4 8 6 的整数倍数”的概率为 =0.8,“是大于 4 的数”的概率为 =0.6,它们都超过了 0.5,故 10 10 乙获胜希望较大. (2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案 A.因为方案 A 猜“是奇数”或“是偶数”的 概率均为 0.5,从而保证了该游戏是公平的. (3)可以设计为猜“是大于 5 的数”或“小于 6 的数”,也可以保证游戏的公平性. 11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000 个鱼卵能孵化 8 513 尾鱼苗,根据概 率的统计定义解答下列问题: (1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少? (2)30 000 个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗? (3)要孵化 5 000 尾鱼苗,大概需备多少个鱼卵?(精确到百位) 【解】 (1)这种鱼卵的孵化概率

8 513 P= =0.851 3. 10 000 (2)30 000 个鱼卵大约能孵化 8 513 30 000× =25 539 尾鱼苗. 10 000 (3)设大概需备 x 个鱼卵,由题意知, 5 000 8 513 = . x 10 000 5 000×10 000 ∴x= ≈5 900(个). 8 513 ∴大概需备 5 900 个鱼卵.

抛掷 10 枚硬币,全部正面向上,试就这一现象分析,这些硬币的质地是否均匀? 【思路探究】 10枚正面 极大似 假设质地均匀 ― ― → 求概率 ― ― → 判断 向上 然法 1 【自主解答】 对于质地均匀的硬币,则抛掷一次出现正面向上的概率是 ,而对于抛 2 1 掷一次来说,其结果是随机的,则连续抛掷 10 枚硬币全正面向上的概率是 10≈0.000 9766. 2 可见,对质地均匀硬币而言,10 枚全部正面向上的概率很小,几乎是不可能发生的, 但它又确实发生了.根据极大似然法思想,如果就这些硬币是否均匀作出判断,我们更倾向 于认为质地是不均匀的,即硬币的反面可能更重一些.

设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有 99 个白球和 1 个黑球,乙箱有 1 个白球和 99 个黑球,今随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球,问这球是从哪一 个箱子中取出的?

99 【解】 甲箱中有 99 个白球和 1 个黑球,故随机地取出一球,得白球的可能性是 ; 100 1 乙箱中有 1 个白球和 99 个黑球,从中任取一球,得到白球的可能性是 .由此看到,这一 100 白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多. 由极大似然法, 既然在一次抽样中 抽到白球, 当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的. 所以我们作出统计推断该白球是从甲 箱中抽出的.



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