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2017届高考数学文科一轮总复习单元评估检测试卷(九)含解析


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单元评估检测(九)
第九、十章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016· 青岛模拟)高

三(3)班共有学生 56 人,座号分别为 1,2,3,?,56,现根据 座号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、17 号、45 号同 学在样本中,那么样本中还有一个同学的座号是 ( A.30 B.31 C.32 D.33 )

【解析】选 B.抽取容量为 4 的样本,则要将总体分为 4 组,每组有 14 人,由题意 可知抽取的座号分别为 3,17,31,45,故选 B. 2.某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.2,0.3,0.1,则此射 手在一次射击中不够 8 环的概率为 ( A.0.4 B.0.3 C.0.6 ) D.0.9

【解析】选 A.一次射击不够 8 环的概率为 1-0.2-0.3-0.1=0.4. 【加固训练】(2016·厦门模拟)口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球, 其中红球 45 个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概 率为 ( )

A.0.45

B.0.67

C.0.64

D.0.32

【解析】 选 D.摸出红球的概率为 0.45,摸出白球的概率为 0.23,故摸出黑球的概 率 P=1-0.45-0.23=0.32. 3.(2016·滨州模拟)某单位为了解用电量 y(单位:度)与气温 x(单位:℃)之间的 关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天的气温,并制作了如下对照表: 气温 x(℃) 用电量 y(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64 )

由表中数据得到回归直线方程 =-2x+a,预测当气温为-4℃时,用电量为 ( A.68.2 度 C.69 度 【解析】选 B.由表格知 = = =40(度), B.68 度 D.67 度 =10(℃),

故样本点的中心为(10,40),代入回归直线方程 =-2x+a,得 40=-20+a, 解得 a=60,所以回归直线方程为 =-2x+60,所以当 x=-4 时, =-2×(-4)+60 =68(度). 4.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m),其结果为 n 除以 m 的余数, 例如 MOD(8,3)=2.下面是一个算法的程序框图,当输入的值为 25 时,则输出的结 果为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】选 B.输入 n=25 时,i=2,MOD(25,2)=0 不成立;i=2+1=3,MOD(25,3)=0 不 成立;i=3+1=4,MOD(25,4)=0 不成立;i=4+1=5,MOD(25,5)=0 成立,故输出的结果 为 5. 5.(2016·济宁模拟)某工厂对一批新产品的长度(单位:mm)进行检测,如图是检 测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数为 ( )

A.20

B.25

C.22.5

D.22.75

【解析】 选 C.产品的中位数出现在概率是 0.5 的地方,自左至右样本矩形面积依 次 为 0.1,0.2,0.4, … , 设 中 位 数 是 x, 则 有 0.1+0.2+0.08 〃 (x-20)=0.5 得,x=22.5. 【加固训练】已知样本容量为 30,在样本频率分布直方图(如图)中,各小长方形 的高的比从左到右依次为 2∶4∶3∶1,则第 2 组的频率和频数分别为 ( )

A.0.4,12 C.0.4,16

B.0.6,16 D.0.6,12

【解析】 选 A.因为小长方形的高的比等于面积之比,所以从左到右各组的频率之 比为 2∶4∶3∶1, 因为各组频率之和为 1,

所以第二组的频率为 1× =0.4, 因为样本容量为 30, 所以第二组的频数为 30× =12. 6.从集合 A={-1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={-2,1,2}中随机选取一 个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 A.试验发生包含的条件 k∈A={-1,1,2},b∈B={-2,1,2}, 得到(k,b)的取值的所有可能结果有: (-1,-2),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,1),(2,2) 共 9 种结 果. 而当 时,直线不经过第三象限,

符合条件的(k,b)有 2 种结果, 所以直线不经过第三象限的概率为 . 【加固训练】把标有号码 1,2,3,?,10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中,摇匀后, 从中任意取一个,号码为小于 7 的奇数的概率是 ( A. B. C. D. )

【解析】 选 A.因为所有机会均等的可能共有 10 种,而号码小于 7 的奇数有 1,3,5, 共 3 种,所以抽到号码为小于 7 的奇数的概率是 . 7.(2016· 烟台模拟)某学生寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查, 列出了 2×2 列联表:

偏爱蔬菜

偏爱肉类

总计

50 岁以下 50 岁以上 总计

4 16 20

8 2 10

12 18 30 的前

则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关是在犯错误的概率不超过 提下. ( A.0.10 ) B.0.05 C.0.01 D.0.001

附:参考公式和临界值表 K2= P(K2≥k0) k0 ,其中 n=a+b+c+d. 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 =10>6.635, 0.001 10.828

【解析】选 C.因为 K2 的观测值 k=

所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 8.某教研机构随机抽取某校 20 个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数, 根 据 所 得 数 据 的 茎 叶 图 , 以 组 距 为 5 将 数 据 分 组 成

[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40] 时 , 所 作 的频率分布直方图如图所示,则原始茎叶图可能是 ( )

【解析】选 A.由频率分布直方图可知:

[0,5)的频数为 20×0.01×5=1 个, [5,10)的频数为 20×0.01×5=1 个, [10,15)的频数为 20×0.04×5=4 个, [15,20)的频数为 20×0.02×5=2 个, [20,25)的频数为 20×0.04×5=4 个, [25,30)的频数为 20×0.03×5=3 个, [30,35)的频数为 20×0.03×5=3 个, [35,40]的频数为 20×0.02×5=2 个, 则对应的茎叶图为 A. 9.(2016 · 莱 芜 模 拟 ) 已 知 x ∈ [-1,1],y ∈ [0,2], 则 点 P(x,y) 落 在 区 域 内的概率为 ( A. B. C. ) D.

【解题提示】先作出可行域,判定形状,求其区域面积,再求概率. 【解析】选 B.不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分),

其面积为 ×3×2- ×3×1= ,则所求概率为

= .

【加固训练】已知Ω ={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥ 0},若向区域Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 A.因为区域Ω内的点所围的面积是 18,而集合 A 中的点所围成的面 积 S△OCD=4.所以向区域Ω上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 .

10.我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数), 由 1,2,3,4 四个数组成一个没有重复数字的四位数,则该四位数恰好是 “锯齿数” 的概率为 ( A. ) B. C. D.

【解题提示】通过画树状图计算基本事件总数,通过列举法计算“锯齿数”,进 而由古典概型公式求解. 【解析】选 B.通过画树状图可知由 1,2,3,4 四个数构成的没有重复数字的四位 数共有 24 个,如图,

四位数为“锯齿数”的有:1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412, 4132,4231 共 10 个,所以四位数为“锯齿数”的概率为 = . 二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线 上) 11.某企业三月中旬生产 A,B,C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业 统计员制作了如下的统计表格:

产品类别 产品数量(件) 各层抽取件数

A

B 1 300 130

C

由于不小心,表格中 A,C 产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是 件. 【解析】设样本的总容量为 x,则 ×1300=130,所以 x=300,

所以 A 产品和 C 产品在样本中共有 300-130=170(件), 设 C 产品的样本容量为 y, 则 y+y+10=170,所以 y=80. 所以 C 产品的数量为 答案:800 12.(2016·枣庄模拟)某工厂为了了解一批产品的净重(单位:克)情况,从中随机 抽测了 100 件产品的净重,所得数据均在区间[96,106]中,其频率分布直方图如 图 所 示 , 则 在 抽 测 的 100 件 产 品 中 , 净 重 在 区 间 [100,104) 上 的 产 品 件 数 是 . ×80=800.

【解析】产品净重在区间[100,104)上的频率为(0.15+0.125)×2=0.55,所以产 品数为 100×0.55=55. 答案:55

13.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字 被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .

【解题提示】由茎叶图先求出被污损数字的范围,进而确定其取值的个数,最后 由古典概型的概率公式得所求概率. 【解析】设被污损的数字为 a, 由茎叶图,得 = 令 > ,得 a<8, = , =90,

即被污损的数字∈{0,1,2,3,4,5,6,7},所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为 = . 答案: 14. 在 区 间 [-5,5] 内 随 机 地 取 出 一 个 数 a, 使 得 1 ∈ {x|2x2+ax-a2>0} 的 概 率 为 .

【解析】由 1∈{x|2x2+ax-a2>0},得 a2-a-2<0, 解得-1<a<2,所以所求概率为 . 答案: 【加固训练】(2016·沧州模拟)已知函数 f(x)=ax2-bx-1,其中 a∈(0,2],b ∈ (0,2],在其取值范围内任取实数 a,b,则函数 f(x)在区间[1,+∞)上为增函数的 概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 D.由 f′(x)=2ax-b>0 得 x> ,从而 ≤1,即 b≤2a.因为点集(a,b) 在区域 a∈(0,2],b∈(0,2]中,故可行区域的面积为 S=4,而满足条件 b≤2a 的区 域面积为 S′=4- ×2×1=3,从而所求概率为 P= . 15.甲,乙两位同学 5 次考试的数学成绩(单位:分)统计结果如下: 学生 甲 乙 第一次 77 89 第二次 81 90 第三次 83 92 . 第四次 80 91 第五次 79 88

则成绩较为稳定的那位同学成绩的方差为 【解析】根据题意,得:

甲同学的 5 次成绩分布在 77~83 之间,数据较分散些, 所以方差大些; 乙同学的 5 次成绩分布在 88~92 之间,数据较集中些, 所以方差小些; 所以乙同学 5 次成绩的平均数是 = (89+90+92+91+88)=90; 所以方差为 s2= [(90-89)2+(90-90)2+(90-92)2+(90-91)2+(90-88)2]=2. 答案:2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 16.(12 分)(2016·临沂模拟)某地举行了一场小型公车拍卖会,轿车拍卖成交了 4 辆,成交价格分别为 3 万元,x 万元,7 万元,9 万元;货车拍卖成交了 2 辆,成交 价格分别为 7 万元,8 万元.总平均成交价格为 7 万元.

(1)求该场拍卖会成交价格的中位数. (2)某人拍得两辆车,求拍得轿车、货车各一辆且总成交价格不超过 14 万元的概 率. 【解析】(1)由已知 则成交价格的中位数为 =7,解得 x=8, =7.5.

(2)设轿车分别为 a3,a7,a8,a9,货车分别为 b7,b8,则从中任拍得两辆的情形 为:a3a7,a3a8,a3a9,a3b7,a3b8,a7a8,a7a9,a7b7,a7b8,a8a9,a8b7,a8b8,a9b7,a9b8,b7b8 共 15 种. 拍得轿车、货车各一辆且总成交价格不超过 14 万元的情形有:a3b7,a3b8,a7b7,共 三种. 所以所求概率为 = . 17.(12 分)关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个实数,b 是从区间[0,2]任取的一个实数,求上 述方程有实根的概率. 【解析】(1)基本事件共 12 个: (0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(3,0)、 (3,1)、(3,2), 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件“方程有实根”中包含 9 个基本事件, 事件“方程有实根”发生的概率为 = . (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},

构成事件“方程有实根”的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 所以所求的概率为 = .

18.(12 分)某车间要加工某种零件,现将 10 名技工平均分为甲,乙两组,分别标记 为 1,2,3,4,5 号,在单位时间内每个技工加工零件若干,其中合格零件的个数如 下表: 1号 技工 甲组 乙组 4 5 2号 技工 5 6 3号 技工 7 7 4号 技工 9 8 5号 技工 10 9

(1)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差,并由 此比较两组技工的技术水平. (2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行 检测,若两人完成合格零件个数之和超过 12 件,则称该车间“质量合格”,求该 车间“质量合格”的概率. 【解题提示】(1)先比较 与 ,再比较 与 的大小.

(2)利用古典概型的概率公式求解. 【解析】(1)依题意, = (4+5+7+9+10)=7, = (5+6+7+8+9)=7,

= [(4-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(10-7)2]= =5.2, = [(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=2, 因为 = , > ,

所以两组技工的总体水平相同,甲组技工的技术水平差异比乙组大,乙组更稳 定.

(2)记该车间“质量合格”为事件 A,则从甲、乙两组中各抽取 1 名技工完成合格 零件个数的基本事件为: (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,5),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(7,5), (7,6),(7,7),(7,8),(7,9),(9,5),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10,5),(10,6), (10,7),(10,8),(10,9)共 25 种. 事件 A 包含的基本事件为:(4,9),(5,8),(5,9),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9), (9,5),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9)共 17 种, 所以该车间“质量合格”的概率为 P(A)= . 【加固训练】1.(2016·福州模拟)某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试, 甲、乙两人参加了 5 次考试,成绩如下: 第一次 甲的 82 成绩 乙的 75 成绩 (1)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人 选并说明理由. (2)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 5 分,则称该次考试两人 “水平相当” . 由上述 5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两 人“水平相当”的概率. 【解析】(1)依题意有 90 91 74 95 87 86 80 90 第二次 第三次 第四次 第五次

= =

=85, =85,

= [(82-85)2+(87-85)2+(86-85)2+(80-85)2+(90-85)2]= , = [(75-85)2+(90-85)2+(91-85)2+(74-85)2+(95-85)2]= 答案一:因为 = =85, < , ,

所以从稳定性角度选甲合适. 答案二:因为 = =85, < ,

乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适. (2)依题意知 5 次摸底考试,“水平相当”的考试是第二次,第三次,第五次,记为 A,B,C.“水平不相当”的考试是第一次,第四次,记为 a,b. 从这 5 次摸底考试中任意选取 2 次有 ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC 共 10 种 情况, 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括 aA,aB,aC,bA,bB,bC 共 6 种情况. 所以 5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人 “水 平相当”的概率= = . 2.(2016·淄博模拟)五一期间,高速公路车辆较多,交警部门通过路面监控装置 抽样调查某一山区路段汽车行驶速度,采用的方法是:按到达监控点先后顺序, 每隔 50 辆抽取一辆,总共抽取 120 辆,分别记下其行车速度,将行车速度(km/h) 分 成 七 段 [60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95] 后 得 到如图所示的频率分布直方图,据图解答下列问题: (1)求 a 的值,并说明交警部门采用的是什么抽样方法. (2)求这 120 辆车行驶速度的众数和中位数的估计值(精确到 0.1). (3)若该路段的车速达到或超过 90km/h 即视为超速行驶,试根据样本估计该路段

车辆超速行驶的概率.

【解析】 (1) 由频率分布直方图知 :(a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005) × 5=1, 所以 a=0.06, 该抽样方法是系统抽样. (2)根据众数是最高矩形底边中点的横坐标, 即众数的估计值为 77.5km/h. 因为前三个小矩形的面积和为 0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325, 第四个小矩形的面积为 0.06×5=0.3, 所以中位数在第四组,设中位数为 75+x,则 0.325+0.06×x=0.5? x≈2.9, 所以数据的中位数估计为 77.9km/h. (3)样本中车速在[90,95]的有 0.005×5×120=3(辆),所以估计该路段车辆超速 的概率 P= = .

19.(12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从 中抽取 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在 “25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分成两组,并将两组工人的日平均生 产件数分成 5 组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到 如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周岁以下的工人的概率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件作出 2×2 列联表,并判断是否有充分的证据显示“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公式: P(K2≥k0) k0 K2= 【解析】 (1)由已知得,样本中 25 周岁以上的工人有 60 名,25 周岁以下的工人有 40 名,所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上的工人有 60 ×0.05=3(名),记为 A1,A2,A3,25 周岁以下的工人有 40×0.05=2(名),记为 B1,B2. 从中随机任取 2 名工人,所有可能的结果 为:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2), (B1,B2),共 10 种. 其中,至少抽到一名 25 周岁以下的工人的可能的结果为 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共 7 种. 故所求概率 P= . (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,25 周岁以上的生产能手有 60×0.25=15(名),25 周岁以下的生产能手有 40×0.375=15(名). 据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上 25 周岁以下 总计 所以 K2 的观测值 k= 15 15 30 = ≈1.79. 非生产能手 45 25 70 总计 60 40 100

因为 1.79<2.706,所以没有充分的证据显示“生产能手与工人的年龄有关”. 20.(13 分)(2016·菏泽模拟)某高三年级从甲、乙两个班级中各选出 7 名学生参 加高校自主招生数学选拔考试,他们取得的成绩(满分:100 分)的茎叶图如图所 示,其中甲组学生的平均分是 85,乙组学生成绩的中位数是 83.

(1)求 x 和 y 的值. (2)计算甲组 7 位学生成绩的方差 s2. (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机取两名学生,求甲组至少有一名学生的概 率.

【解析】(1)因为甲组学生的平均分是 85, 所以 所以 x=5. 因为乙组学生成绩的中位数是 83, 所以 y=3. (2)甲组 7 位学生成绩的方差为: s2= [(79-85)2+(78-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(92-85)2+(96-85)2]=40. (3)甲组成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙组成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E. 从这五名学生中任意抽取两名学生共有 10 种情况: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E), 其中甲组至少有一名学生共有 7 种情况: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E). 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生”为 事件 M,则 P(M)= . 21.(14 分)(2016·青岛模拟)某校高三年级文科学生 600 名,从参加期末考试的 学生中随机抽出某班学生(该班共 50 名同学),并统计了他们的数学成绩(成绩均 为整数且满分为 150 分),数学成绩分组及各组频数如下表: 分组 [45,60) [60,75) [75,90) 频数 2 4 8 频率 0.04 0.08 0.16 =85,

[90,105) [105,120) [120,135) [135,150] 合计 (1)写出 a,b 的值.

11 15 a 4 50

0.22 0.30 b 0.08 1

(2)估计该校文科生数学成绩在 120 分及以上的学生人数. (3)该班为提高整体数学成绩,决定成立“二帮一”小组,即从成绩在[135,150] 中选两位同学,来帮助成绩在[45,60)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 56 分,乙同学的成绩为 145 分,求甲乙在同一小组的概率. 【解析】(1)因为 2+4+8+11+15+a+4=50,所以 a=6, 因为 0.04+0.08+0.16+0.22+0.30+b+0.08=1, 所以 b=0.12. (2)成绩在 120 分及以上的有 6+4=10 人, 所以估计该校文科生数学成绩在 120 分及以上的学生有 ×600=120(人). (3)[45,60)内有 2 人,记为甲,A.[135,150]内有 4 人,记为乙,B,C,D. “二帮一” 小组有以下 6 种分组办法:(甲乙 B,ACD)、 (甲乙 C,ABD)、 (甲乙 D,ABC)、 (甲 BC,A 乙 D)、(甲 BD,A 乙 C)、(甲 CD,A 乙 B). 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法:(甲乙 B,ACD)、(甲乙 C,ABD), (甲乙 D,ABC), 所以甲、乙分到同一组的概率为 P= = . 【加固训练】 (2016· 临沂模拟)某校从参加考试的学生中抽取 50 名,将其成绩(均

为整数)分成六组[40,50),[50,60),?,[90,100],其样本频率分布表如下: 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 (1)试把给出的样本频率分布表中的空格都填上. (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分. (3)从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中选两名,求他们在同一分数段的概率. 【解析】(1) 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 6 8 12 18 4 2 50 频率 0.12 0.16 0.24 0.36 0.08 0.04 1 4 2 0.08 0.04 频数 6 8 12 频率 0.12 0.16 0.24

(2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)为 1-0.12-0.16=72%,

平均分为 45×0.12+55×0.16+65×0.24+75×0.36+85×0.08+95×0.04=67.4. (3)成绩在 80 分以上(包括 80 分)的学生人数为 4+2=6, 设成绩在[80,90)内的学生为 a1,a2,a3,a4,成绩在[90,100]内的学生为 b1,b2. 则从该 6 名学生中任选两人的情形有:a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1, a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2 共 15 种, 在同一分数段的情形有:a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4,b1b2 共 7 种,故在同一分数段 的概率为 .

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