tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中物理竞赛讲义——微积分初步


物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

高中物理竞赛讲义——微积分初步
一:引入
【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。 分析:
①根据对称性,可知立方体的八个角点电势相等;将原立 方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于 八个小立方体角点位置;而根据电势叠加原理,其电势即 为八个小立方体角点位置的电势之和,即

U1=8U2 ; ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ ;二立方体的边长 a;三立方体的形状; KQ 根据点电荷的电势公式 U= 及量纲知识,可猜想边长为 a 的立方体角点电势为 r U= CKQ 2 =Ckρ a ;其中 C 为常数,只与形状(立方体)及位置(角点)有关,Q 是总电量, a
3 2

ρ 是电荷密度;其中 Q=ρ a

a 2 2 CKρ a ③ 大立方体的角点电势:U0= Ckρ a ;小立方体的角点电势:U2= Ckρ ( ) = 2 4 大立方体的中心点电势:U1=8U2=2 Ckρ a
2

1 ;即 U0= U1 2

【小结】我们发现,对于一个物理问题,其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联, 或者用数学语言来说,所求的物理量就是其他物理量(或者说是变量)的函数。如果我们 能够把这个函数关系写出来,或者将其函数图像画出来,那么定量或定性地理解物理量的 变化情况,帮助我们解决物理问题。

二:导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理, 比如 v-t 图像, 求其斜率可 以得出加速度 a,求其面积可以得出位移 s,而斜率和面积是几何意义上 的微积分。我们知道,过 v-t 图像中某个点作出切线,其斜率即 a= 下面我们从代数上考察物理量的变化率:
△v △t

v

. t

【例】若某质点做直线运动,其位移与时间的函数关系为上 s=3t+2t2,试求其 t 时刻的速
度的表达式。(所有物理量都用国际制单位,以下同) △s 分析:我们知道,公式 v= △t 一般是求△t 时间内的平均速度,当△t 取很小很小,才可近 似处理成瞬时速度。 2 s(t)=3t+2t s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)
1
2

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)

2

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写 2 2 -3t-2t =3△t+4t△t+2△t

3△t+4t△t+2△t v= = =3+4t+2△t △t △t 当△t 取很小,小到跟 3+4t 相比忽略不计时,v=3+4t 即为 t 时刻的瞬时速度。

△s

2

【练】假设一个闭合线圈匝数为 100 匝,其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随 时间 t 的函数关系。
【小结】回顾我们求物理量 y=f(t)的变化率瞬时值 z 的步骤: ①写出 t 时刻 y0=f(t)的函数表达式; ②写出 t+△t 时刻 y1=f(t+△t)的函数表达式; ③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t); ④求出 z=
△y △t

=

f(t+△t)- f(t) ; △t

⑤注意△t 取很小,小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡ 无穷小
当△t 取很小时, 可以用 V=
△s △t

求瞬时速度, 也可用 i=

△Q

N△φ 求瞬时电流,用ε = 求 △t △t

瞬时感应电动势。下面,我们来理解△t: △t 是很小的不为零的正数,它小到什么程度呢?可以说,对于我们任意给定一个不 为零的正数ε ,都比△t 大,即:ε >△t 。或者从动态的角度来看,给定一段时间 t,我 们进行如下操作: t 第一次,我们把时间段平均分为 2 段,每段时间△t= ; 2 t 第二次,我们把时间段平均分为 3 段,每段时间△t= ; 3 t 第三次,我们把时间段平均分为 4 段,每段时间△t= ; 4 ???? t 第 N 次,我们把时间段平均分为 N+1 段,每段时间△t= ; N+1 ???? 一直这样进行下去,我们知道,△t 越来越小,虽然它不为零,但永远逼近零,我们 称它为无穷小,记为△ t→0。或者,用数学形式表示为 lim 表示极限,意思是△t 的极限值为 0。常规计算: ① lim (△ t+C)=C
?t? 0 ?t? 0

△ t=0。其中“

?t? 0

lim ”

② lim C·△ t=0
?t? 0

③ lim f(△ t)=f(0)
?t? 0

④ lim f(t+ △ t)=f(t)
?t? 0

⑤ lim

sin( △ t)
△t

?t? 0

=1

『附录』常用等价无穷小关系( x ? 0 )
2

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写 ① sin x ? x ;② tan x ? x ;③ 1 ? c o s x ?
1 2 x
2

x ;④ ln ? 1 ? x ? ? x ;⑤ e ? 1 ? x

㈢ 导数
前面我们用了极限 lim ” “ 的表示方法, 那么物理量 y 的变化率的瞬时值 z 可以写成:
?t? 0

z= lim

△y △t

?t? 0

,并简记为 z=

dy ,称为物理量 y 函数对时间变量 t 的导数。物理上经常用 dt dx dv dq dФ 、a= 、i= 、ε =N 等,甚 dt dt dt dt

某物理量的变化率来定义或求解另一物理量,如 v= 至不限于对时间求导,如 F=

dWF dU dm 、Ex= 、ρ = 等。 dx dx dl

这个 dt(也可以是 dx、dv、dm 等)其实相当于微元法中的时间微元△t,当然每次这 样用 lim 来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了,毕竟微元法只是草创时期的微积分。
?t? 0

如果能把常见导数计算的基本规律弄懂, 那么我们可以简单快速地求解物理量变化率 的瞬时值(导数)了。同学们可以课后推导以下公式: ⑴ 导数的四则运算 d(u± v) du dv ① = ± dt dt dt d(u·v) du dv u ② = ·v + u· dt dt dt v ⑵ 常见函数的导数 ① dC =0(C 为常数); dt
n

du dv u u ·v - u· d( ) dt dt v v ③ = 2 dt v



dcost =-sint; dt
t

dt n-1 ② =nt (n 为实数); dt dsint ③ =cost; dt

de t ⑤ =e ; dt

⑶ 复合函数的导数 在数学上,把 u=u(v(t))称为复合函数,即以函数 v(t)为 u(x)的自变量。 du(v(t)) du(v(t)) dv(t) = · dt d v(t) dt 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量 的导数——称为链式法则。

【练】 某弹簧振子在 X 轴上做直线运动, 1、 其位移 x 与时间 t 的关系为 x=Asin ωt,即,质点在坐标原点附近往复运动,最大位移为 A(A 称为振幅) ,周期
3

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

为 ω (ω 称为角频率),物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问: ①求出 t 时刻的速度 v ②写出合力 F 与位移 x 的关系 ③验证简谐运动中质点的机械能守恒。 【练】2、某矩形线框面积为 S,匝数为 N,处于磁感应强度 为 B 的匀强磁场中,如图所示,线框绕 PQ 轴以角速度ω 匀速转动,从水平位置开始计时,在 t 时刻:①写出磁 通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε
(计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照)



Q θ P

三:微分和积分
㈠ 简单问题 【例】电容器是一种存储电荷的元件,它的基本工作方式为充电和放电,我们 先考察电容器放电时的情况。某电容为 C 的电容器,其已充电的电量为 Q0, 若让该电容与另一个阻值为 R 的的电阻串联起来,该电容器将会放电,其释放 的电能转化电阻的焦耳热(内能) 。试讨论,放电时流过电阻 R 的电流随时间 t 的变化关系如何?
分析:①根据电荷守恒定律,当通过电阻 R 的电量为 q 时,电容 器的电量从 Q0 变成 Q1,满足 Q0=Q1+q ,即 q=Q0-Q1 ; dq ②流过电阻 R 的电流 i 与通过电阻 R 的电量 q 满足关系式: i= dt ③根据电容电量公式 Q=CU,有 Q1=CU=CRi ,那么 q= Q0- CRi ; ④联立上式,有 i= dq d(Q0- CRi) di = = - CR dt dt dt t di di ,则有 i= - CR = CR d t dx di ?,或者说什么函数的导数等于函 dx q

Q0→Q1

⑤进行公式变形,令 x= -

同学们思考一下,i 应该是什么函数,才能满足 i= 数本身? 我们观察到,只有 y=Ce 形式的函数才满足 i= 故可以知道,i = Ce = Ce 当 t=0 时,U0=
x -t/CR x

di 关系,C 为待定常数。 dx

Q0 U0 Q0 Q0 -t/CR , i0= = ;而把 t=0 代人,得 i = Ce =C;故 C= C R CR CR Q0 -t/CR e CR

所以,流过电阻 R 的电流随时间 t 的变化关系为:i =

【练】对于上例电容器放电问题,试讨论,放电时电容器的电量 Q 随时间 t 的
4

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

变化关系如何? ㈡微分
1、从上面式子可以看出,理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电,电流 为零,但实际上只需要电流减少足够小时,电流计就检测不到有电流了。 di di 2、对于 i= - CR 或 i= ,我们称之为微分方程,最直观的解决方法是观察有哪些函 dt dx 数满足该微分方程的函数关系,当然,我们要注意比如上题中的 t=0 之类的初始条件。 3、一般来说,微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式,但微元法可以帮助同学 们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。 在△t 的时间内,通过电阻 R 的电量为△q。虽然电流随时间 发生变化,但在很短的时间△t 内,可以认为电流几乎不变,当 成恒定电流处理,故有△q= i△t 。对电容有 Q=CU=CiR,△Q=C R△i;由电量守恒,△Q= -△q ,故-i△t=CR△i,然后把 “△”形式改写成微积分语言的“d”形式,就有-idt=CR di di (dt 和 di 称之为微分),数学变形为 i= - CR ,即以上 dt 解法中的微分方程。 微分与导数有什么关系呢?对某自变量为时间 t 的函数 F(t),它的极其微小的变化, dF dF 我们记它为微分 dF,它与时间微分 dt 满足关系式:dF= dt,其中 为 F 对 t 的导数。 dt dt 下面是常见的微分公式与微分运算法则: ①d ?c? ? 0 ④ d ? co s x ? ? ? sin xd x ⑦ d ? cu ? ? cd u ②d ? x ⑤d ?e
n

? ? nx ??e
x

n ?1

dx

③ d ? sin x ? ? co s xd x ⑥ d ?u ? v ? ? du ? dv
? u ? vdu ? udv ?? 2 v ?v ?

x

dx

⑧ d ? u v ? ? vd u ? u d v

⑨d ?

㈢积分
在上例问题中,在△t 的时间内,通过电阻 R 的电量为△q= i△t,△q 称为电量微元。 如果我们把 0 到 t 时间内的△q 加起来,用求和符号“∑”表示,则有:q=∑i△t。由于 t=N△t,当△t 取无穷小时,那么 i△t 就有 N→∞个,也就是,我们要把无穷个 i△t 进行相 加操作,为了方便,我们用微积分符号 ? id t 表示 q= lim ∑i△t= ? id t ,称为对 i 在时间上
?t? 0

求积分。我们来看一下这么做有什么意义:

5

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写 ①从几何上看,对于 i-t 图像,q= lim ∑i△t= ? id t
?t? 0

就是图像中的面积。对于恒定电流,很简单,△q= i△t, 即小块矩形面积; 对于变化的电流, △q= i△t 来计算, 用 发现有一小块近似三角形面积的误差, 不过当我们取当 △t 取无穷小时,用极限处理后,该误差会无穷逼近零, 可以忽略不计, 那么计算的面积就无限精确接近实际面 积了。 dq ②前面我们求导用了 i= ,积分用了 q= ? id t 。可以 dt 看出,从某种程度上说,积分实际是求导的逆运算,比 如:q=Q0-Q=Q0(1-e
-t/CR

), i =

Q0 -t/CR e 满足求导和积 CR

dq 分的运算关系 i= 、q= ? id t 。 dt 对于一般函数 F,如果有 f= dF ,那么就有 ? f d t =F+C。请思考,为什么积分中会出 dt

现常数 C? 下面是常见的积分公式,请同学们对照求导公式理解: ① ? kd x ? kx ? c ③ ? co s xd x ? sin x ? c ⑤ ? e dx ? e ? c
x x

② ? x dx ?
n

x

n ?1

n ?1

?c

f

④ ? sin xd x ? ? co s x ? c

现在我们用微积分书写方式来来解答上题。 由 Q0=Q+q ; Q=Q0-q ; 则 dQ= - dq = - idt= 即 dQ 1 = dt ; CR Q U Q dt= dt ; R CR

de t 怎么来求 ? d Q 呢?我们知道 =e , dt Q
1

t

令 F(t)= e ,有 t=lnF; dF dF 则有 =F,即 =dt=d(lnF) ; dt F 那么 ? d Q =
Q 1

t

对等号两边积分:

? QdQ = ? ? C R dt ;

1

1

有 ln Q = -

t -t/CR C`,或者 Q=Ce ; CR
-t/CR

?

d(lnQ) =

lnQ+C。

当 t=0 时,Q(0)=C=Q0 ; 所以电容器电量为 Q= Q0e 。
6

??

1 CR

d t =?请同学们自己推导。

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

㈣ 定积分 【例】某质点在 X 轴上做直线运动,其速度 v 满足函数关系 v=3t2,求从 t=1s 到 t=3s 时间内质点发生的位移。 分析:在 dt 时间内,质点可以认为做匀速直线运动,即 ds=vdt,那么对等号两边积分,
有 ? ds ?

? vd t ? ? 3 t

2

d t ,则有:s=

t3 +C ;

现在有问题了:当 t=0 时,S(0)等于多少我们不知道! 而且已知条件中的时间“从 t=1s 到 t=3s”也没有用上! 下面我们从物理上考察 C 这个常数的意义。 t=0 时,s(0)=C。当我们令 C=0 时,相当于质点在零时 刻从坐标原点开始运动;当我们令 C=1 时,相当于质点在 零时刻从坐标位置 X=1m 处开始运动;??。 我们发现, 这常数的取值相当于选取观察质点运动的 C 静止参考系位置,然而所求的从 t=1s 到 t=3s 时间内质点 发生的位移应该与所选取的静止参考系无关,也就是对任 意静止参考系,质点发生的位移应该是一致的,如图所示。 那么我们就随便选取某一参考系,使质点在零时 刻从坐标位置 X=Cm 处开始运动,则位移与时间的函数 3 关系式为:s(t)= t +C。题目中所求的 1 到 3 秒的位移 3 3 为:s1=s(3)-s(1)=(3 +C)-(1 +C)=8m 。 题目中所要求的位移(速度积分)与积分式

?

f d t =F+C 中的 C 无关, 当要求 t=t1 到 t=t2 时间内位

移时,s(t1→t2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用 s=∑ v△t 来求 v-t 图像中的从 t=t1 到 t=t2 范围内的面积。 我们用一种简单符号表示这种关系: ? f d t =F(b) – F(a)。这种积分叫定积分。
a b

【练】1、已知导线中的电流按 I = t3-0.5t+6 的规律随时间 t 变化,式中电流和 时间的单位分别为 A 和 s。计算在 t =1s 到 t =3s 的时间内通过导线截面的电荷 量。 【练】2、某质量为 m 的均匀细杆,长为 L,绕其一端点做角速度为ω的匀速 转动,试求其动能。 【练】3、某弹簧劲度系数为 K,原长为 L,若将弹簧从 2L 长拉伸至 3L 长处, 问应克服弹簧弹力做多少功? 【练】4、对于某电路,通过电阻 R=2Ω 的电流 i=2t+1(A),问从 t=0 时刻开始 经过 4s 后,电阻产生的焦耳热是多少?

7

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写

四:课后习题
1、质量为 2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动,已知其 x 轴上的坐标为 x=3+5cos2t,y 轴上的坐标为 y=-4+5sin2t,t 为时间物理量,问: ⑴物体的速度是多少? ⑵物体所受的合外力是多少? ⑶该物体做什么样的运动? ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗? 2、一质点在某水平力 F 的作用下做直线运动,该力做功 W 与位移 x 的关系为 W=3x-2x ,试 问当位移 x 为多少时 F 变为零。 KQ 2 , r
2

3、已知在距离点电荷 Q 为 r 处A点的场强大小为 E= 请验证A点处的电势公式为:U = KQ 。 r

4、某复合材料制成的一细杆 OP 长为 L,其质量分布不均匀。在杆上距离 O 端点为 x 处取 点 A,令 M 为细杆上 OA 段的质量。已知 M 为 x 的函数,函数关系为 M=kx ,现定义线密度 dM L ρ = ,问当 x= 处 B 点的线密度为何? dx 2
-5

2

5 、某弹簧振子的 总能量为 2× 10 J,当 振动物体离开 平衡位置 EP= ,动能 Ek= 。

1 振幅处,其势 能 2

6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上, 试问,用电压 U 对电容为 C 的电容器充电,电容器存储的电能为何?开始时电容器存放的 电荷量为零。 7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为 R 的电阻,导轨宽度为 L,整个导轨水平放置在 方向竖直向下的磁场中, 磁场的磁感应强度为 B。 有一导体棒 ab 垂直轨杆并停放在导轨上, 导体棒与导轨有良好的接触。在 t=0 时刻,给导体棒一水平向左的初速度 V0,若其他电阻 不计,则 ⑴求导体棒的速度 v 随时间 t 的函数表达式; ⑵求导体棒从开始运动到停下为止,其滑行的总位移 S; ⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流 I 随时间 t 的函数关系; ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷 Q。

8


推荐相关:

高中物理 微积分竞赛辅导讲义

高中物理竞赛讲义——微积分初步 高中物理竞赛讲义——微积分初步 物理竞赛讲义——微积分 一:引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。 分析:...


修改后。 高中物理竞赛讲义全套

修改后。 高中物理竞赛讲义全套_学科竞赛_高中教育_教育专区。目 录 中学生全国...极限、无限大和无限小的初步概念。 3、不要求用微积分进行推导或运算。 、不...


物理竞赛知识点总结

物理竞赛知识点总结_物理_自然科学_专业资料。一、理论基础 力学 1、运动学 参照...极限、无限大和无限小的初步概念。 3、不要求用微积分进行推导或运算。 二、...


高中物理竞赛的数学基础(自用修改)

普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质...高中物理竞赛的数学基础 45页 免费 高中物理竞赛讲义(完整版... 222页 5下载...


高中物理竞赛的数学基础

普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学 一、微积分初步 物理学研究的是物质...高中物理竞赛讲义 51页 免费 高中物理竞赛公式 8页 免费 物理竞赛专题(高中)...


高中物理竞赛的数学基础(自用)

高中物理竞赛的数学基础(自用)_学科竞赛_高中教育_教育...微积分初步 物理学研究的是物质的运动规律, 因此...2015小升初六年级数学复习必备资料 120份文档 2015...


全国中学生物理竞赛大纲2016版

全国中学生物理竞赛内容提要 (2015 年 4 月修订,2016 年开始实行) 说明:按照...3.※微积分初步及其应用: 含一元微积分的简单规则; 微分:包括多项式、三角函数...


物理奥赛考试大纲

向量的合成和分解 极限、无限大和无限小的初步概念 c) 不要求用复杂的积分进行...高中物理竞赛讲义——微... 8页 2下载券 物理竞赛物理奥林匹克复... 26页 ...


谈高中物理竞赛指导

高中物理竞赛指导_学科竞赛_高中教育_教育专区。谈...直导线的场强可用微积分知识求得.如果教师向学生介绍...高中物理竞赛讲义 51页 免费 高中物理竞赛 动力学...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com