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三角函数的图像基础+复习+习题+练习)


课题:三角函数的图象
考纲要求:1. 掌握正弦、余弦、正切、余切函数的图象 2. 会用“五点法”画正弦、余弦 函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图. 3. 了解 y ? A sin(? x ? ? ) 的物理意义,了解参数 A, ? , ? 对函数变化的影响. 自主学习 1. 用五点法画 y ? A sin(? x ? ? ) 一个周期内的简图时,

要找五个特征点如下表所示:

x
?x ??

0
0

? 2
A

?
0

3? 2
?A

2?
0

y

2? 来确定. 即五点的横坐标总由 ?x ? ? = 0、 、?、 、 2
2. 函数 y ? sin x 的图象变换得到 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的步骤:

?

3? 2

由于 y ? sin x 的图象得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有下列两种方法: ① y ? sin x (相位变换) ? ② y ? sin x (周期变换) ? (周期变换) ? (相位变换) ? (振幅变换) ? (振幅变换) ? ; .

3. 当函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0 , x ? ?0, ??? 表示一个振动时, A 叫做振幅,

T?

2?

?

叫做周期, f ?

1 叫做频率, ? x ? ? 叫做相位, ? 叫做初相. T

基本知识方法 1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,五个特殊点通常都是取
2. 给出图象求 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的解析式的难点在于 ? , ? 的确定,本质为待定系数
不会学会,会的做对. “数学是 229 思维的体操.” (苏联教育家加里宁). 三个平衡点,一个最高、一个最低点;

法,基本方法是:①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考 察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的, 通常可由平衡点或最值点确定周期 T , 进而确定 ? ;③“对应点法” .

? k ? Z ? 解出;对称 2 中心的横坐标是方程 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? 的解,对称中心的纵坐标为 0 .( 即整体代换法)
? 2 ? 函数 y ? Acos ?? x ? ? ? 对称轴可由 ? x ? ? ? k? ? k ? Z ? 解出;对称中心的纵坐标是 ? 方程 ? x ? ? ? k? ? ? k ? Z ? 的解,对称中心的横坐标为 0 .( 即整体代换法)
2

3. 对称性: ?1? 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 对称轴可由 ? x ? ? ? k? ?

?

正、余弦函数在对称轴处(最值处)的导数值为零.

? 3? 函数 y ? A tan ??x ? ? ? 对称中心的横坐标可由 ? x ? ? ? k ? ? k ? Z ? 解出,对称中心的
纵坐标为 0 ,函数 y ? tan ??x ? ? ? 不具有轴对称性.

2

4. A ? 0 时, y ? Asin ??x ? ? ? ,当 ? x ? ? ? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? 时,有最大值 A ,

当 ? x ? ? ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时,有最小值 ? A ; A ? 0 时,与上述情况相反. 2

典例分析:
考点一:利用“五点法”作图 x x 问题 1. 已知函数 y ? 3 sin ? cos ? x ? R? . 2 2 ?1? 用“五点法”画出它的图象; ? 2 ? 求它的振幅、周期和初相;

? 3? 说明该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

考点二:利用图像求三角函数解析式
不会学会,会的做对. “数学是 230 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).

问题 2. ?1? ( 2013 四川)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)
(? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值
B. 2, ?

分别是 A. 2, ?

?
3

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

? 2 ? ( 05 天津文)函数 y ? A sin(? x ? ?) ?? ? 0, ?
的部分图象如图所示,则函数表达式为

?? 2 , x ? R?
4

y

A. y ? ?4 sin(

?
8

x? x?

?
4

) )

B. y ? 4 sin(

?
8

x?

?
4

) )

C. y ? ?4 sin(

?
8

?
4

D. y ? 4 sin(

?
8

x?

?
4

?2 O ?4

6

x

考点三:三角函数的图像变换

问题 3. ?1? 将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移
得到图象对应解析式是

A. y ? 5sin(

C. y ? 5sin(

?
6

3? 3x ? ) 2 2

? 6 x)

7? 3x ? ) 10 2 3x D. y ? 5 cos 2
B. y ? 5sin(

? , 3

不会学会,会的做对.

“数学是 231 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).

? 2 ? ( 07 山东文)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? ?x?
?
A. 向右平移

?? ? 的图象 ??

? ? 个单位; B. 向右平移 个单位; ? ? ? ? C. 向左平移 个单位; D. 向左平移 个单位 ? ?

? 3? ( 04 山东)为了得到函数 y ? sin(2x ? ?6 ) 的图象,可以将函数 y ? cos2 x 的图象
? 个单位长度 6 ? C. 向左平移 个单位长度 6
A. 向右平移 B. 向右平移 D. 向左平移

? 个单位长度 3

? 个单位长度 3

考点三:三角函数的图像对称性的考查

?? 问题 4. ?1? ( 07 福建)已知函数 f ( x) ? sin ? ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 ? ?? ?? ? A. 关于点 ? , 0 ? 对称 ?? ? ?? ? C. 关于点 ? , 0 ? 对称 ?? ?
?
B. 关于直线 x ?

该函数的图象

? 对称 ? ? 对称 ?

D. .关于直线 x ?

? 2 ? ( 05 山东)已知函数 y ? sin( x ? 12 ) cos( x ? 12 ) ,则下列判断正确的是
?? ? A. 此函数的最小正周期为 2 ? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ? 12 ? ?? ? B. 此函数的最小正周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ? 12 ? ?? ? C. 此函数的最小正周期为 2 ? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ?6 ? ?? ? D. 此函数的最小正周期为 ? ,其图象的一个对称中心是 ? , 0 ? ?6 ?
不会学会,会的做对. “数学是 232 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).

?

考点四:三角函数的图像的综合应用

问题 5. ( 07 陕西)设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m , cos2x) , b ? (1 ? sin 2x, 1) ,
?π ? x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经过点 ? , (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小 2? . ?4 ?
值及此时 x 值的集合.

课外作业:
1. 要得到 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象,只需将 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象 π π π π A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 8 8 4 4 2. 如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?

?
8

对称,则 a ?

3. 函数 y ? tan x cos x 的部分图象是

A.

B.

C.

D.

不会学会,会的做对.

“数学是 233 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).

4. ( 2013 昆明调研)已知 a ? R ,则函数 f ( x) ? a cos ax 的图象可能是

A.

B.

C.

D.

?? ? 5.( 2013 浙江六校联考) 函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 与函数 g ( x) ? cos ? 2x ? ? ? , 4? ?
(? ≤

? ? 的对称轴完全相同,则 ? 的值为 A. 2 4

B. ?

?
4

C.

? ? D. ? 2 2

走向高考:
6. ( 05 天津)要得到函数 y ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ?
图象上所有的点的

?
4

)的

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B. 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4
A. 横坐标缩短到原来的 C. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动

? 个单位长度 4 ? D. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 8

x ? 7.( 06 江苏)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的 3 6
图像上所有的点

A. 向左平移 B. 向右平移

?
6

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3

?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
“数学是 234 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).

不会学会,会的做对.

C. 向左平移 D. 向右平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

?
6

?? ? 8. ( 07 安徽)函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象为 C , ?? ?
①图象 C 关于直线 x ?

11 ? ? 5? ? ? 对称;②函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; 12 ? ?? ?? ?

? 个单位长度可以得到图象 C . ? A. 0 B. 1 C. 2 以上三个论断中,正确论断的个数是
③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

D. 3

9. ( 06 安徽)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量

? ? ? a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示, ? 6 ?
则平移后的图象所对应函数的解析式是

y

1

A. y ? sin( x ?

?
6

)

B. y ? sin( x ?

?
6

7 ? 12

)

O
?1

x

C. y ? sin(2 x ?

?

) D. y ? sin(2 x ? ) 3 3

?

10. ( 05 福建)函数 y ? sin(? x ? ?) ( x ? R, ? ? 0 , 0 ? ? ? 2? )的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?

y

? ?
2 4

,? ? ,? ?

? ?
4 4

B. ? ?

?

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

?

3

,? ?

?

1

O

1

3

x

不会学会,会的做对.

“数学是 235 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).

π? ?π ?? 11. ( 07 广东文)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, 1) ,则 2? ?3 ??
该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为

A. T ? 6 , ? ?

π π π π ; B. T ? 6 , ? ? ; C. T ? 6 π , ? ? ; D. T ? 6 π , ? ? 6 3 6 3

12. ( 2011 辽宁)已知函数 f ( x) ? A tan ??x ? ? ?

?? ? ? ? ? 0, ? ? ? , y ? f ( x) 的部分图像如下图, 2? ?
则f?

?? ? ? ? ________. ? 24 ?

π? ? ? π ? 13. ( 07 海南 ) 函数 y ? sin ? 2x ? ? 在区 ? ? ,π ? 的 3? ? ? 2 ? y y 1 简图是 1 ?
?

? ? 2

3

O
?1 A. y

? 6

?

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

B. y
?
? 3

1
? ? 2 ? ? O 6

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

? x

?1

C.

D.

13. ( 2013 湖北)将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度
单位后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

不会学会,会的做对.

“数学是 236 思维的体操.” (苏联教育家加里宁).


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