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圆锥曲线1(学生)


解析几何专题训练

解析几何解答题模拟训练一
x2 y 2 1、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a > b > 0) 与直线 l : x ? m(m ? R ) . a b 1) , (3 , ? 1) ,(?2 2 , 四点 (3 , 0) , ( 3 , 3) 中有三个点在椭圆 C 上,剩余一个点在直线 l 上

. (1)求椭圆 C 的方程; N 两点,使得 PM ? PN ,再过 P (2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , 作直线 l ? ? MN .证明:直线 l ? 恒过定点,并求出该定点的坐标.

1

解析几何专题训练

x2 y 2 2、如图,椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )和圆 C2 : x 2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭圆 a b

C1 的长轴三等分,椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为

2 ,椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐标 4

原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A 、 B . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P 、 M . ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问:是否存在以 (m,0) 为圆心,

3 2 为半径的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都 5

与圆 G 相交?若存在,请求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由。

y
M A O B E x P

2

解析几何专题训练

3 、如图,已知椭圆 M :

3 x2 y2 , 两条准线之间的距离为 ? 2 ? 1( a ? b ? 0), 其率心率为 2 2 a b

8 3 , B , C 分别为椭圆 M 的上、下顶点,过点 T ( t ,2)( t ? 0) 的直线 TB , TC 分别与椭圆 M 交 3

于 E , F 两点. (1)椭圆 M 的标准方程; (2)若△ TBC 的面积是△ TEF 的面积的 k 倍,求 k 的最大值.

3

解析几何专题训练

x2 y 2 6 4、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l a b 3
与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦 点时, 弦 AB 的长为

2 6 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原点 O 2

的直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积; (3)是否存在点 E ,使得

1 1 ? 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出 2 EA EB 2
y A

该定值;若不存在,请说明理由.

F1 P

O

E

F2

x

B

第4题

4

解析几何专题训练

解析几何解答题模拟训练二
1、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 a 2 b2

( 2,

6 )。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若点 A.B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上 异于 A,B 的任意一点,直线 AP 交于点 M。 (1)设直线 OM 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k2 ,证明 k1 ? k2 的定值; (2)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,证明:直线 m 过定点,并求出定点的坐标。

5

解析几何专题训练

x2 y 2 2、 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中, 过 F2 作直线 l 交椭圆于 A, B F1 , F2 是椭圆的左焦点, a b
两点,若 ?F1 AB 得周长为 8,离心率为 (1) 求椭圆方程; (2)若弦 AB 的斜率不为 0,且它的中垂线与 y 轴交于 Q ,求 Q 的纵坐标的范围; (3)是否在 x 轴上存在点 M (m,0) ,使得 x 轴平分 ? AMB ?若存在,求出 m 的值,若 不存在,请说明理由. 3、已知椭圆 C :

1 . 8

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 椭 圆 的 短 轴 端 点 与 双 曲 线 2 a b 2

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点。 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8

??? ? ??? ?

x2 y 2 13 【答案】 【解析】 (1) (2) [?4, ) ? ? 1; 4 3 4
解析: (1)由题意知 e ?

c 1 c2 a 2 ? b2 1 ? ,? e 2 ? 2 ? ? , a 2 a a2 4

4 a 2 ? b 2 。又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 3
? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3
??? ? ??? ?

(2)若直线 l 的倾斜角为 0? ,则 A(?2, 0), B (2, 0), OA ? OB ? ?4 , 当直线 l 的倾斜角不为 0? 时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,

? x ? my ? 4 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? 0 ? (24m) 2 ? 4 ? (3m 2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m 2 ? 4
设 A(my1 ? 4, y1 ), B (my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m 2 y1 y2 ? 4my1 y2 ? 16 ? y1 y2
6

24m 36 , , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

解析几何专题训练

?

??? ? ??? ? 116 13 13 ? 4 ,? m 2 ? 4,? OA ? OB ? (?4, ) ,综上所述:范围为 [?4, ) , 2 3m ? 4 4 4
=1 得焦点 , 得 b= . 又 , a =b +c ,
2 2 2

【思路点拨】 (1) 由双曲线

联立解得即可; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆 方程联立得到, (4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0,由△>0 得 y 2) ,利用根与系数的关系可得
2 2 2 2

.设 A(x1,y1) ,B(x2,

=x1x2+y1y2,进而得到取值范围.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】20. (本题满分 13 分)已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点与抛 2 2 a b

物线 y2 = 4x 的焦点 F 重合. (1)求椭圆的方程; (2)过 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,椭圆的左焦点力 F ? ,求△AF'B 的面积的最大 值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2)3 4 3

解析: (1)抛物线的焦点 F(0,1)

1 ? e = ,\ a = 2 ,\ b2 = a 2 - c2 = 3 2

\ 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)显然 l 的斜率不为 0,设 l:x=my+1

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 ? 3m 2 ? 4 ? y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D> 0 恒成立,

y1 ? y2 ? ? S? AFB

6m 9 , y1 ? y2 ? ? 2 , 2 3m ? 4 3m ? 4
2

1 6m ? 36 12 m 2 ? 1 ? ? FF ? ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? ? ? 2 ? ? , ? 2 2 3m 2 ? 4 ? 3m ? 4 ? 3m ? 4

2 2 令 t ? m2 ? 1, t ? 1 ,则 m ? t ? 1

7

解析几何专题训练

则 S? AFB ?

12 3t ?

1 t 1 令 u ? t ? ? 3t ? ? t ? 1? t

? 3 ?? 3? 3? t ? ?? t ? ? 3 ?? 3 ? 3t ? 1 ? u? ? t ? ? 2 ? ?0, t t2
2

\ 当 t ? 1 即 m ? 0 时, ? S? AFB ?max ? 3
【思路点拨】 (1)利用已知条件求出基本量,进而写出标准方程; (2) (i)结合已知条件求 出直线方程的解析式,然后作出判断即可; (ii)把直线与椭圆方程联立,利用还原法转化成

S? AFB ?

12 1 3t ? t

,在利用导数求出最值即可。

8

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9


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