tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2012高考数学不等式及答案


2012 年高考文科数学解析分类汇编:不等式
一、选择题 1 . (2012 年高考(重庆文) 已知 a ? log 2 3 ? log 2 )

3 , b ? log 2 9 ? log 2 3 , c ? log 3 2 则
( ) D. a ? b ? c ( )

a,b,c 的大小关系是 A. a ? b ?

c B. a ? b ? c
2 . (2012 年高考(重庆文) 不等式 )

C. a ? b ? c

x ?1 ? 0 的解集是为 x?2
C.(-2,1)

A. (1, ??)

B. (??, ?2)

D. (??, ?2) ∪ (1, ??) ( )

3 . (2012 年高考(浙江文) 若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 )

A.

24 5

B.

28 5
1.2

C.5

D.6

4 . (2012 年高考(天津文) 已知 a ? 2 , b ? ( ) )

1 2

? 0.2

, c ? 2 log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为
( ) D. b ? c ? a

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

C. b ? a ? c

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5 . 2012 年 高 考 ( 天 津文 ) 设变 量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则目标函 数 ( ) ?x ? 1 ? 0 ?
z ? 3x ? 2 y 的最小值为
A. ?5 B. ?4 C. ?2 D.3 ( )

? x ? y ? ?3, ? x ? 2 y ? 12, ? ? 6 . (2012 年高考(四川文) 若变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 12 ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大 ) ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
B.26 C.28 D.33 7 . (2012 年高考(陕西文) 小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 ) 速为 v,则 ( ) A.a<v< ab B.v= ab C. ab <v< 值是 A.12 ( )

a?b 2

D.v=

a?b 2

? x ? 2 y ? 2, ? 8 . (2012 年高考(山东文) 设变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4, 则目标函数 z ? 3 x ? y 的 ) ?4 x ? y ? ?1, ?

取值范围是





3 A. [? ,6] 2

3 B. [? , ?1] 2

C. [ ?1, 6]

3 D. [?6, ] 2

? ? x ? y ? 10, ? ? 9 . (2012 年高考(辽宁文) 设变量 x,y 满足 ?0 剟x ? y ? 20,则 2x+3y 的最大值为 ) ? 0 剟y ? 15, ? ?
( A.20 B.35 1 2
x



C.45

D.55 ( )

10. (2012 年高考(课标文) 当 0< x ≤ 时, 4 )

? loga x ,则 a 的取值范围是
C.(1, 2) D.( 2,2)

A.(0,

2 ) 2

B.(

2 ,1) 2

11. (2012 年高考(课标文) 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限, )

若点(x,y)在△ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是 B.(0,2) C.( 3-1,2) D.(0,1+ 3) 12. (2012 年高考(湖南文) 设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: ) ① A.(1- 3,2)





c c > a b

;② a < b

c

c

; ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) , ( D.① ②③ ) C.② ③

其中所有的正确结论的序号是 __ .[中*国教育@^出~版网、] A.① B.① ②

?x ? y ? 1 ? 13. (2012 年高考 (广东文) (线性规划)已知变量 x 、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y ) ?x ?1 ? 0 ?
的最小值为 A.3 ( B.1 C. ?5 D. ?6 )

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? 14. (2012 年高考(福建文) 若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ) ? ?x ? m ?
则实数 m 的最大值为 A.-1 B.1 ( )

3 C. 2
? 1 2

D.2 ,则 D. y ? z ? x ( )

15. (2012 年高考(大纲文) 已知 x ? ln ? , y ? log5 2 , z ? e )

A. x ? y ? z

B. z ? x ? y

C. z ? y ? x

? x?0 ? 16. 2012 年高 考 (安徽文) 若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的最小值是 ( ) ?2 x ? y ? 3 ?
( A. ?3
二、填空题



B. 0

3 C. 2

D. 3

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 17. (2012 年高考(浙江文) 设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足 ? ) , 则 z 的取值范围 x?0 ? ?y ? 0 ?
是_________.
18. (2012 年高考(四川文) 设 a , b 为正实数,现有下列命题: )

①若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ; ④若 | a3 ? b3 |? 1 ,则 | a ? b |? 1 . 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
19. (2012 年高考(上海文) 满足约束条件 | x | ?2 | y |? 2 的目标函数 z ? y ? x 的最小值是 )

_________ .
20. (2012 年高考(陕西文) 观察下列不等式 )

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
照此规律,第五个不等式为 ...
21. (2012 年高考(江西文) 不等式 )



x2 ? 9 ? 0 的解集是___________. x?2
2

22. (2012 年高考(湖南文) 不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为______。 )

? x ? y ? ?1 ? ? 23. (2012 年高考(湖北文) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y ) ? ?3x ? y ? 3 ?
的最小值是________.

?x ? y ?1 ? 0 ? 24. (2012 年高考(大纲文) 若函数 y ? ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为_____. ) ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

2012 年高考文科数学解析分类汇编:不等式参考答案 一、选择题 1.

【答案】B 【解析】: a ? log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3 ?

1 3 log 2 3 ? log 2 3 , 2 2

1 3 log 2 2 1 b ? log 2 9 ? log 2 3 ? 2 log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3 , c ? log 3 2 ? 则 ? 2 2 log 2 3 log 2 3

a?b?c
2.

【考点定位】本题考查对数函数运算. 【答案】:C 【解析】:

x ?1 ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ?2 ? x ? 1 x?2

【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解. 3. 【答案】C 【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧. 【解析】? x+3y=5xy,

1 3 1 1 3 1 3x 12 y 13 ? ? 5 , (3x ? 4 y ) ? ( ? ) ? ( ? )? ? 5 y x 5 y x 5 y x

1 13 ? 2 ? 36 ? ? 5 . 5 5
4.













1 b ? ( ) ?0.2 ? 2 0.2 ? 212 2

,





1 ? b ? a , c ? 2 log5 2 ? log5 22 ? log5 4 ? 1,所以 c ? b ? a ,选 A.
5. 【解析】 做出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3x ? 2 y 得 y ?

3 z x? , 2 2 3 z 3 z 由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C (0,2) 时,直线 y ? x ? 2 2 2 2
的截距最大,而此时 z ? 3x ? 2 y 最小为 z ? 3x ? 2 y ? ?4 ,选 B.

6.

[答案]C [解析]目标函数 z ? 3x ? 4 y 可以变形为

3 z 3 y ? ? x ? ,做函数 y ? ? x 的平行线, 4 4 4
当其经过点 B(4,4)时截距最大时, 即 z 有最大值为 z ? 3x ? 4 y = 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 28 . [点评]解决线性规划题目的常规步骤: 一列(列出约束条件)、 二画(画出可行域)、 三作(作目标函数变形式的平行线)、 四求(求出最优解).

7.

解析:设从甲地到乙地距离为 s ,则全程的平均时速 v =

2s s s + a b

=

2 1 1 + a b

,因为 a < b ,

a=

2 1 1 + a a

=<

2 1 1 + a b

<

ab ,故选 A.

8.

解析:作出可行域,直线 3x ? y ? 0 ,将直线平移至点 ( 2,0) 处有最大值, 点 ( ,3) 处有最小值,即 ?

1 2

3 ? z ? 6 .答案应选 A. 2

【答案】D 【解析】画出可行域,根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55,故选 D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中. 该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可 以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验 证确定出最值. 10. 【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图 像与性质及数形结合思想,是中档题.
9.

4 x ? y ? ?1

O

x ? 2y ? 2 2x ? y ? 4

?0 ? a ? 1 2 ? 1 ,解得 0 ? a ? 【解析】由指数函数与对数函数的图像知 ? ,故选 A. 1 2 log a ? 4 2 ? ? 2
11. 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.

【解析】有题设知 C(1+ 3 ,2),作出直线 l0 : ? x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,有

? y 图 像 知 , 直 线 l: z ? x? 过

B

点 时 , zmax =2, 过

C

时, zmin = 1 ? 3 ,∴ z ? ? x ? y 取值范围为(1- 3,2),故选 A.
12. 【答案】D

1 1 c c ? ,又 c ? 0 ,所以 > ,①正确;由指数函数的图像 a b a b 与性质知②正确;由 a>b>1, c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的图像与性质
【解析】由不等式及 a>b>1 知 知③正确. 【点评】 本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、 对数函数的 图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函 数Ⅰ是常考知识点. 13. 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点 A 时,取到最小值.联立

? x ? ?1 ? x ? ?1 ,解得 ? ,所以 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?5 . ? ? y ? x ?1 ? y ? ?2
14. 【答案】B

【解析】 x ? y ? 3 ? 0 与 y ? 2 x 的交点为 (1, 2) ,所以只有 m ? 1 才能符合条件,B 正确. 【考点定位】 本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理 能力和求解能力. 15.答案 D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方 法. 【解析】 ln ? ? ln e ? 1 , log 5 2 ? log 5 5 ?
16. 【解析】选 A
1 ? 1 1 1 1 ,z ?e 2 ? ? ? ,故选答案 D. 2 e 4 2

【解析】 x ? y 的取值范围为 [?3, 0] 约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1)
二、填空题 17. 【答案】

3 2

则 t ? x ? y ?[?3,0]

7 2

【命题意图】本题主要考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确,表示出区域,然后 借助于直线平移大得到最值. 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时, 目标函数最小,当目标函数过点 ?
18. [答案] ①④

7 ?1 3? , ? 时最大值为 . 2 ?2 2?

[解析]若 a,b 都小于 1,则 a-b<1 若 a,b 中至少有一个大于等于 1, 则 a+b>1, 2 2 由 a -b =(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确. 3 3 2 2 对于|a -b |=|(a-b)(a +ab+b )|=1, 2 2 若 a,b 中至少又一个大于等于 1,则 a +ab+b >1,则|a-b|<1 若 a,b 都小于 1,则|a-b|<1,所以④正确. 综上,真命题有 ① ④ . [点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎 实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.
19. [解析] 可行域 | x | ?2 | y |? 2 是如图的菱形 ABCD,代入计算,
y B 1 C
-2

知 z A ? 0 ? 2 ? ?2 为最小.
20.解析:第四个不等式为 1 ? ...

A O
-1 D 2

x

1 1 1 1 9 ? ? ? ? 22 32 42 52 5 1 1 1 1 11

第五个不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... 2 3 4 5 6 6
21. 【答案】 (?3, 2) ? (3, ??)

1

【解析】不等式可化为 ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 3) ? 0 采用穿针引线法解不等式即可. 【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式,考查高次不等式的解法.
22. 【答案】 x 2 ? x ? 3
2

?

?
2

【解析】由 x -5x+6≤0,得 ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,从而的不等式 x -5x+6≤0 的解集为

? x 2 ? x ? 3? .
【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力.

? x ? y ? ?1, ? 23. 2 【解析】作出不等式组 ? x ? y ? 1, 所表示的可行 ?3 x ? y ? 3 ?
域 ( 如 下 图 的 ?ABM 及 其 内 部 ). 目 标 函 数

z ? 2x ? 3 y



?ABM











A? 2,3? , B ? 0,1? , M ?1,0? 处取的值分别为 13,3,2,
比较可得目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 2. [来源: 学。科。网] 【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线 性规划求解最值时,关键是要搞清楚目标函数所表示 的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小 关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值;在哪个端点,目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用. 24.答案: ?1 【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表 示出区域,然后借助于直线平移法得到最值. 【解析】 做出做出不等式所表示的区域如图,由 z ? 3x ? y 得 y ? 3x ? z , 平移直线 y ? 3x ,由图象可知当直线经过点 C (0,1) 时,直线 y ? 3x ? z 的截距最 大,此时 z 最小,最小值为 z ? 3x ? y ? -1 .

2012 年高考文科数学解析分类汇编:导数
一、选择题 25 . (2012 年高考(重庆文) 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 )

x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

26 . (2012 年高考(浙江文) 设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 )





A.若 e +2a=e +3b,则 a>b a b B.若 e +2a=e +3b,则 a<b a b C.若 e -2a=e -3b,则 a>b a b D.若 e -2a=e -3b,则 a<b
27 . (2012 年高考(陕西文) 设函数 f(x)= )

a

b

A.x=

1 为 f(x)的极大值点 2

2 +lnx 则 x 1 B. x= 为 f(x)的极小值点 2





D.x=2 为 f(x)的极小值点 1 28 . (2012 年高考 (山东文) 设函数 f ( x) ? , g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) ) x 的图象有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 A. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0
29 . (2012 年高考(辽宁文) 函数 y= )

C.x=2 为 f(x)的极大值点





B. x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D.错误!不能通过编辑域代码创建对象。

A.( ? 1,1]

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
C.[1,+∞) D.(0,+∞)





B.(0,1]

30 . (2012 年高考(湖北文) 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA, OB 为直径 )

作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )

1 1 ? A. 2 ?

B.

1

?

C. 1 ?

2

?

D.

2

?

31 . (2012 年高考(福建文) 已知 )

f ( x) ? x3 ? 6x2 ? 9x ? abc, a ? b ? c ,且
现 给 出 如 下 结

f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0

.

论:① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 . 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ ( C.②③ D.②④ )

二、填空题 32 . 2012 年 高 考 ( 上 海 文 ) 已 知 函 数 y ? f (x) 的 图 像 是 折 线 段 ABC, 若 中 ( )

A(0,0),B( 1 ,1),C(1,0). 2
函数 y ? xf ( x) (0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为_______ .
33 . (2012 年高考(课标文) 曲线 y ? x(3ln x ?1) 在点(1,1)处的切线方程为________ ) 三、解答题 34. (2012 年高考(重庆文) 已知函数 )

f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16

(1)求 a、b 的值;(2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值.

35. (2012 年高考(浙江文) 已知 a∈R,函数 )

f ( x) ? 4x3 ? 2ax ? a

(1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0.

36. (2012 年高考(天津文) 已知函数 f ( x) ? )

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a(a ? 0) 3 2

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 在区间 (?2, 0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 时,设函数 f (x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M (t ) ,最小值为 m(t ) ,记

g (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 g (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值.

37. (2012 年高考(陕西文) 设函数 )

fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N? , b, c ? R)

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;

38. (2012 年高考(山东文) 已知函数 f ( x) ? )

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828 是自然对数的底 ex

数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

39. (2012 年高考(辽宁文) 设 )

f ( x) ? ln x ? x ?1,证明:

3 ( x ?1 ) 2 9( x ? 1) (Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x?5
(Ⅰ)当 x﹥1 时, f ( x ) ﹤

40. (2012 年高考(课标文) 设函数 f(x)= e -ax-2 )

x

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

41. (2012 年高考(江西文) 已知函数 )

f ( x) ? (ax2 ? bx ? c) ex 在 ?0,1? 上单调递减且满足

f (0) ? 1, f (0) ? 0.
(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f (? x) ? f ?( x) ,求 g ( x) 在 ?0,1? 上的最大值和最小值.

42. (2012 年高考(湖南文) 已知函数 f(x)=e -ax,其中 a>0.[@、中国^教育出版&网~] )

x

(1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为

k,证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.

43. (2012 年高考(湖北文) 设函数 )

f ( x) ? axn (1 ? x) ? b( x ? 0) , n 为正整数, a , b 为常数,

曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 . (1)求 a , b 的值;
44 .( 2012

(2)求函数 f ( x ) 的最大值;

(3)证明: f ( x ) ?

1 . ne

年 高 考 ( 广 东 文 )) ( 不 等 式 、 导 数 ) 设 a ? 1 , 集 合

A ? ? x ? R 0? , B ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 , D ? A ? B . x ?
(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2x3 ? 3?1 ? a ? x2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

?

?

45. (2012 年高考(福建文) 已知函数 f ( x ) ? ax sin x ? )

? ?3 , 2
(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

3 ? (a ? R ), 且在 [0, ] 上的最大值为 2 2

(2)判断函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明.

46. (2012 年高考(大纲文) 已知函数 f ( x ) ? )

1 3 x ? x 2 ? ax . 3

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的 交点在曲线 y ? f ( x) 上,求 a 的值.

47. (2012 年高考(北京文) 已知函数 )

f ( x) ? ax2 ? 1 ( a ? 0 ), g ( x) ? x3 ? bx .

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a , b 的 值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 28,求 k 的取值 范围.

48. (2012 年高考(安徽文) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? )

1 ? b(a ? 0) ax

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (II)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

3 x ,求 a , b 的值. 2

2012 年高考文科数学解析分类汇编:导数参考答案 一、选择题 25.

【答案】:C 【 解 析 】 : 由 函 数 f ( x ) 在 x ? ?2 处 取 得 极 小 值 可 知 x ? ?2 , f ?( x) ? 0 , 则

xf ?( x) ? 0 ; x ? ?2 , f ?( x) ? 0 则 ?2 ? x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 , x ? 0 时 xf ?( x) ? 0
【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 26. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定 函数的单调性. 【 解 析 】 若 e a ? 2a ? eb ? 3b , 必 有 e a ? 2a ? eb ? 2b . 构 造 函 数 : f ? x ? ? ex ? 2x , 则
f ? ? x ? ? e x ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? ex ? 2x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余

选项用同样方法排除.
27.

x?2 1 ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 2 , x < 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? ? ln x 为 2 x x 1 函数; x > 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? ? ln x 为增函数,所以 x ? 2 为 f ( x ) 的极小值点, x
解析: f ?( x) ? 选 D.

28.

解析:设 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x ) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不

2 2 零点 x1 , x2 .由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 3 3 2 3 2 F (0) ? 1 , 故 必 有 F ( b ) ? 0 由 此 得 b ? 3 2 . 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 x2 ? b ? 3 2 . 所 以 3 2 3
2 ,比较系数得 ? x1 3 4 ? 1 ,故 x1 ? ? F ( x) ? ( x ? 1 ) ( x?3 2 ) x

13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此 y 2 2

知 y1 ? y2 ?

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 0 ,故答案应选 B. x1 x2 x1 x2

y ?? ? ? x ? b

1 另解:令 f ( x) ? g ( x) 可得 2 ? ? x ? b . x 1 设 y ? ? 2 , y ?? ? ? x ? b x
不妨设 x1 ? x 2 ,结合图形可知, x1 ? x2 , 即 0 ? ? x1 ? x2 ,此时 x1 ? x2 ? 0 , y 2 ? B. 29. 【答案】B 【

x1

x2

x

1 1 ? ? ? ? y1 ,即 y1 ? y2 ? 0 .答案应选 x2 x1







?y ?

1 2 1 x ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1,故选 B 2 x

【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. 30. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为 2a,如图,记两块白色区域的面积分别为 S1,S2, 两块阴影部分的面积分别为 S3,S4, 则 S1+S2+S3+S4=S 扇形 OAB= ? (2a ) ? ? a ①,
2 2

1 4

而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆,即 S1+S3 +S2+S3 ? ? a ②.
2

①-②



S3=S4,









S3= ( S扇形EOD ? S扇形COD ) ? S正方形OEDC ?

1 2 ? a ? a2 , 所 以 . 2

S阴影 ? ? a2 ? 2a2 .
由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=

S阴影 S扇形OAB

?

? a 2 ? 2a 2 2 ? 1? . 2 ?a ?

【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的 面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何 概型在实际生活中的应用. 31. 【答案】C 【解析】? f (0) ? ?abc, f (1) ? 4 ? abc, f (3) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ? ?abc ? f (0) , 又 f ?( x) ? 3( x ?1)( x ? 3) ,所以 f ( x ) 在 (??,1) 和 (3, ??) 上单调增加,在 (1,3) 上单调 递减,故 a ? 1 ? b ? 3 ? c ,? f (0) f (1) ? 0, f (0) f (3) ? 0 【考点定位】 本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、 必然与或然 的思想.
二、填空题 32.

[解析] 如图 1, f ( x) ? ?
2

0? x? 1 ?2 x , 2 , 1 ? 2 ? 2 x, 2 ? x ? 1
1 2

y 1 A (O) 图1 B C 1 P x O

y M N D 1 图2 x

? 2x , 0 ? x ? 所以 y ? xf ( x) ? ? , 2 1 ?? 2 x ? 2 x , 2 ? x ? 1

易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置 不同,如图 2,封闭图形 MND 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ? 1 ? 2 2
33.
1 4

.

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 .

三、解答题 34. 【答案】:(Ⅰ)

13 4 (Ⅱ) 27 27
由于 f ( x ) 在点 x ? 2

【解析】::(Ⅰ)因 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax 2 ? b 处取得极值 故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
f ( x) ? x3 ?12x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, ?2) 上 为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, ??) 上为增函数. 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x2 ? 2 处取得极 小 值

f ( 2? c ? ) c ? 9

由 6 设 条 件 知 16 ? c ? 28 1 题

得 c ? 12

此 时

f (? 3 ? )

? 2 1 , ? ( ?, f)(2) ? c ?16 ? ?3 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最 f 3 ? c ? 9 4

小值为 f (2) ? ?4 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1) 先对函数 f ( x ) 进行求导,根据 f ?(2) ? 0 =0, f (2) ? c ? 16 ,求出 a,b 的值.(1)根据函数

f ( x) =x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1 先求出函数中的参数 a,b 的值,再令导数等于
0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时 有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的 大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为 函数的最小值. 35. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区 间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力. 【解析】(1)由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2a ,
2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, ??? . 当 a ? 0 时 , f ?( x) ? 12( x ?

a a )( x ? ) , 此 时 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 6 6

? a a? ?? , ?. ? 6 6?
(2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x3 ? 2ax ? 2 ? 4x3 ? 4x ? 2 . 当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x3 ? 2a(1 ? x) ? 2 ? 4x3 ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4x3 ? 4x ? 2 . 设 g ( x) ? 2 x3 ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 6 x ? 2 ? 6( x ?
2

3 3 )( x ? ). 3 3
? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增 1 1

则有

x

0

? 3? ? 0, ? 3 ? ? ? ?
0

3 3

g ?( x )
g ( x)
1



极小值

所以 g ( x)min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ?0. 3 9

3 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 .

故 f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 ? 0 .
3

36.解:(1)

f ?( x) ? x2 ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? a ? 0

37.

1 ? ln x ? k 1? k ?( x) ? x 38.解:(I) f ,由已知, f ?(1) ? ? 0 ,∴ k ? 1 . x e e
1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x 由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .
设 k ( x) ? (III)证明:由(II)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在
0 ? x ? 1 时成立.

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex 设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) ,
当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . 另证:因为 g ( x) ? xf ?( x) ?

1 (1 ? x ? x ln x), ( x ? 0) , ex
?2

设 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h?( x) ? ? ln x ? 2 ,令 h?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0, x ? e , 当 x ? (0, e ) 时 h ?( x) ? 0 , h(x) 单调递增;当 x ? (e ,??) 时 h ?( x) ? 0 , h(x) 单调递
?2 ?2 ?2 ?2 减.所以当 x ? 0 时, h( x) ? h(e ) ? 1 ? e ,

1 ? 1, ex 1 ?2 所以当 x ? 0 时 g ( x) ? x (1 ? x ? x ln x) ? 1 ? e ,综上可知结论成立. e
而当 x ? 0 时 0 ?
39. 【答案与解析】

【点评】 本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式, 考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大.
40. (Ⅰ) 解:

f ?x ? 的定义域为 R , f ??x ? ? e x ? a ;

若 a ? 0 ,则 f ??x ? ? 0 恒成立,所以 f ?x ? 在 R 总是增函数 若 a ? 0 ,令 f ??x ? ? 0 ,求得 x ? ln a ,所以 f ?x ? 的单增区间是 ?ln a , ? ? ? ; 令 f ??x ? ? 0 , 求得 x ? ln a ,所以 f ?x ? 的单减区间是 ?? ? , ln a (Ⅱ) 把

?

?a ? 1 ? x ? f ??x ? ? e ? a
x





?x ? k ? f ??x? ? x ? 1 ? 0

得: ?x ? k ? e ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,
x x 因为 x ? 0 ,所以 e ? 1 ? 0 ,所以: ?x ? k ? e ? 1 ? ? x ? 1 , x ? k ?

?

?

?

?

k?x?

x ?1 x ?1 ?x ,所以: k ? x x e ?1 e ?1

? x ?1 , ex ?1

( x ? 0) ? (*)

令 g ?x ? ?

x ?1 ex ex ? x ? 2 ? x , 则 g ??x ? ? , 由 (Ⅰ) 知 : h?x? ? e x ? x ? 2 在 2 x ex ?1 e ?1

? ?

?

?

?

?

?0 , ? ??
单调递增,而 ?

?h?1? ? 0 ,所以 h?x ? 在 ?0 , ? ?? 上存在唯一零点 ? ,且 ? ? ?1 , 2 ? ; ?h?2? ? 0

故 g ?? x ? 在 ?0 , ? ?? 上 也 存 在 唯 一 零 点 且 为 ? , 当 x ? ?0 , ? ? 时 , g ??x ? ? 0 , 当

x ? ?? , ? ?? 时 , g ??x ? ? 0 , 所 以 在 ?0 , ? ?? 上 , g ?x?min ? g ?? ? ; 由 g ??? ? ? 0
得: e ? ? ? 2 ,所以 g ?? ? ? ? ? 1 ,所以 g ?? ? ? ?2 , 3 ? ,
?

由于(*)式等价于 k ? g ?? ? ,所以整数的最大值为 2
41.

【 解 析 】 (1) 由

f (0) ? c ? 1 ,

f (1) ? 0 ? c ? 1, a ? b ? ?1 , 则

f ( x) ? [ax2 ? (a ? 1) x ? 1]ex , f '( x) ? (ax2 ? (a ?1) x ? a)e x , 依 题 意 须 对 于 任 意
x ? (0,1) ,有 f ?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时,因为二次函数 y ? ax2 ? (a ?1) x ? a 的图像开口向
e 上 , 而 f ?(0) ? ?a ? 0 , 所 以 须 f ?(1) ? (a ? 1) ? 0 即 0 ? a ? 1 , 当 a ? 1 时 , 对 任 意 ,

x ? (0,1) , 有 f ?( x) ? ( x2 ?1)e x ? 0 , 符 合 条 件 ; 当 a ? 0 时 , 对 任 意 x ? (0,1) , f ?( x) ? ? xex ? 0 , f ( x) 符合要求,当 a ? 0 时,因 f ?(0) ? a ? 0 , f ( x) 不符
合条件,故 a 的取值范围为 0 ? a ? 1 . (2)因 g ( x) ? (?2ax ? 1)e , g ?( x) ? (?2ax ? 1 ? a)e
x x

x 当 a ? 0 时, g ?( x) ? e ? 0 , g ( x) 在 x ? 0 上取得最小值 g (0) ? 1 ,在 x ? 1 上取得最大

值 g (1) ? e ;
x 当 a ? 1 时, 对于任意 x ? (0,1),有 g ?( x) ? ?2 xe ? 0 , g ( x) 在 x ? 0 上取得最大 值

g (0) ? 2 ,在 x ? 1 上取得最小值 g (1) ? 0 ;
当 0 ? a ? 1 时,由 g ?( x) ? 0 ? x ?

1? a ? 0, 2a

42. 【解析】解:

f ?( x) ? e x ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增,故当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a.
于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1 e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e x ?

e x1 ?e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? , ? ( x1 ) ? ? ? x2 ? x1 ?

? ( x2 ) ?

e x2 ?e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? x2 ? x1 ?
t t

令 F (t ) ? e ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 .

当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , e

x1 ? x2

e x1 e x2 ? 0, ? 0, ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又 x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算 能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 f ( x ) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a. 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x)min ? 1从而得 出求 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程 是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
43. 【解析】(1)因为 f (1) ? b ,由点 (1, b) 在 x ? y ? 1 上,可得 1 ? b ? 1 ? b ? 0

因为 f ?( x) ? axn?1 ? a(n ? 1) xn ,所以 f ?(1) ? ?a 又因为切线 x ? y ? 1 的斜率为 ?1 ,所以 ?a ? ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 1, b ? 0

n ? x) n ?1 n n 令 f ?( x) ? 0 ? x ? ,即 f ?( x ) 在 (0, ??) 上有唯一的零点 x0 ? . n ?1 n ?1 n n ) 上, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递增;而在 ( , ?? ) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单 在 (0, n ?1 n ?1
(2)由(1)可知, f ( x) ? x (1 ? x) ? x ? x
n n n ?1

, f ?( x) ? (n ? 1) x n ?1 (

调递减, 故 f ( x ) 在 (0, ??) 的最大值为 f (

n n n n nn . )?( ) (1 ? )? n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1)n?1
1 1 t ?1 (t ? 0) t t2 t2

(3)令 ? (t ) ? ln t ? 1 ? (t ? 0) ,则 ? ?(t ) ? ?

1 t

在 (0,1) 上, ? ?(t ) ? 0 ,故 ? (t ) 单调递减,而在 (1, ??) 上, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 单调递增, 故 ? (t ) 在 (0, ??) 上的最小值为 ? (1) ? 0 ,所以 ? (t ) ? 0(t ? 1) 即 ln t ? 1 ? (t ? 1) ,令 t ? 1 ?

1 t

1 n ?1 1 n ? 1 n ?1 ? ) ? ln e ,得 ln ,即 ln( n n n ?1 n

所以 (

n ? 1 n ?1 nn 1 ) ? e ,即 ? n ?1 n (n ? 1) ne

由(2)知, f ( x) ?

nn 1 ,故所证不等式成立. ? n ?1 (n ? 1) ne

【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函 数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运 算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解 函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值, 最值等;另外,要注意含有 e x , ln x 等的函数求导的运算及其应用考查.
44.解析:(Ⅰ)考虑不等式 2x2 ? 3?1 ? a ? x ? 6a ? 0 的解.

因为 ? ? ??3 ?1 ? a ? ? ? 4 ? 2 ? 6a ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ,且 a ? 1 ,所以可分以下三种情况: ? ?
2

①当 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R , D ? A ? ? 0, ??? .

1 3

1 时, ? ? 0 ,此时 B ? ?x x ? 1? , D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? . 3 1 ③当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 2x2 ? 3? 1? a? x ? 6a ? 0有两根,设为 x1 、 x 2 ,且 x1 ? x2 ,则 3
②当 a ?

x1 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

, x2 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

,于是

B ? ?x x ? x1或x ? x2 ? .
当 0?a?

3 1 时 , x1 ? x2 ? ?1 ? a ? ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 , 所 以 x2 ? x1 ? 0 , 此 时 2 3

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ;当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,此时 D ? ? x2 , ??? .
综上所述,当 时 ,

1 1 1 ? a ? 1 时, D ? A ? ? 0, ??? ;当 a ? 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ;当 0 ? a ? 3 3 3
; 当
a?0

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ?
?? 4 a ?? ? 3



,

D ? ? x2 , ???

.





x1 ?

3 ? ?1 ? a

3 a 3 3 ?1 ?1 ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? a ? ? , x2 ? . 4

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6x2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a ,令 f ? ? x ? ? 0 可得 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 .因为 a ? 1 ,所以

f ? ? x ? ? 0 有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,且 m1 ? m2 .
①当

1 ? a ? 1 时, D ? A ? ? 0, ??? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,列表 3

可得

x
f ?? x? f ? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a,1?
递减

1 0 极大值

?1,?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?

1 1 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ? ,列表可得 3 3
? 1? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

x
f ?? x? f ? x?

1 3
0 极小值

?1 ? ? ,1 ? ?3 ?
递减

?1,?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?

1 时, D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ,此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 (可用分析法证明),于是 3

f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ,列表可得

x
f ?? x? f ? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a, x1 ?
递减

? x2 , ???
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ④当 a ? 0 时, D ? ? x2 , ?? ? ,此时 x2 ? 1 ,于是 f ? ? x ? 在 D 内恒大于 0, f ? x ? 在 D 内没有 极值点. 综上所述,当 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a ;当 0 ? a ?

1 3

1 时, f ? x ? 3

在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.当 a ? 0 时, f ? x ? 在 D 内没有极值点.
45. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、

运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:? f ?( x) ? a (sin x ? x cos x ), x ? (0,

?
2

),? sin x ? x cos x ? 0

当 a ? 0 时, f ( x) ? ?

3 不合题意; 2 3 ,不合题意; 2 ? ? 3 ? ?3 ? f( )? a? ? 2 2 2 2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, [ f ( x)]max ? f (0) ? ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, [ f ( x)]max

? a ? 1 ,所以综上 f ( x) ? x sin x ?

3 2

(2) f ( x ) 在 (0, ? ) 上有两个零点.证明如下: 由(1)知 f ( x ) ? x sin x ? ∴ f ( x ) 在 [0,

?

3 3 ? ? ?3 ?0 , f (0) ? ? ? 0, f ( ) ? 2 2 2 2

] 上至少有一个零点,又由(1)知 f ( x) 在 [0, ] 上单调递增, 2 2

?

故在 [0,

?

?? ? ] 上只有一个零点,当 x ? ? ,? ? 时,令 g ( x) ? f ?( x) ? sin x ? x cos x , 2 ?2 ?
,

( g ) 1 ? 0,(? ) ? ?? ? 0 ? g 2
续,∴ m ? ? ,? ? , g (m) ? 0 2

?

g ( x)



?? ? ? 2 ,? ? ? ?





?? ?

? ?

?? ? ?? ? g ' x) ? 2cos x - x sin x ? 0 ,∴ g ( x) 在 ? ,? ? 上递减,当 x ? ? ,m ? 时, ( ?2 ? ?2 ?
g ( x) ? g (m) ? 0 ,

? ? ? ?3 ' ?0 f(x) ? 0 , f ( x) 递增,∴当 m ? ( , m) 时, f ( x) ? f ( ) ? 2 2 2
∴ f ( x ) 在 (m, ? ) 上递增,∵ f (m) ? 0, f (? ) ? 0 ∴ f ( x ) 在 (m, ? ) 上只有一个零点,综上 f ( x ) 在 (0, ? ) 上有两个零点.

46. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导

数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用. 解:(1)依题意可得 f ?( x) ? x ? 2 x ? a
2

当 ? ? 4 ? 4a ? 0 即 a ? 1 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立,故 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在
2

R 上单调递增; 当 ? ? 4 ? 4a ? 0 即 a ? 1 时,

f ?( x) ? x2 ? 2 x ? a ? 0















x1 ?

?2 ? 4 ? 4a ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a 且 x1 ? x2 2

2 故 由 f ?( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 ? x ? (?? ,? 1?

1 a )或 x ? (?1 ? 1 ? a , ??) , 此 时 ?

f ( x) 单调递增
由 f ?( x) ? x2 ? 2x ? a ? 0 ? ?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a ,此时此时 f ( x ) 单调递增 递减 综上可知 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 R 上单调递增;当 a ? 1 时, f ( x ) 在 x ? (??, ?1 ? 1 ? a ) 上单调递 增,在 x ? (?1 ? 1 ? a , ??) 单调递增,在 (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ) 单调递减. (2)由题设知, x1 , x2 为方程 f ?( x) ? 0 的两个根,故有

a ? 1, x12 ? ?2x1 ? a, x22 ? ?2x2 ? a [来源:数理化网]
因 此
1

f(

1 ? 3

3

x)

1

?

2

a 1 3

2 a (a ? 1) x2 ? 3 3 2 a 因此直线 l 的方程为 y ? (a ? 1) x ? 3 3
同理 f ( x2 ) ? 设 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ,0) ,得 x0 ?

a 2( a ? 1)

而 f ( x0 ) ?

1 a a a2 a2 ( )3 ? ( )2 ? ? (12a 2 ? 17a ? 6) 3 3 2(a ? 1) 2(a ? 1) 2(a ? 1) 24(a ? 1)
2 3 或a ? 3 4

由题设知,点 ( x0 ,0) 在曲线 y ? f ( x) 的上,故 f ( x0 ) ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 所以所求 a 的值为 a ? 0 或 a ?

2 3 或a ? . 3 4

【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没 有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区 间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值. 47. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极 值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占 能够发现 F (?3) ? 28 和分析出区间 [ k , 2] 包含极大值点 x1 ? ?3 ,比较重要. 解:(1) f ?( x) ? 2ax , g ?( x)=3x2 ? b .因为曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点

?1,c ? 处具有公共切线,所以 f (1) ? g (1) , f ?(1) ? g ?(1) .即 a ? 1 ? 1 ? b 且 2a ? 3 ? b .解得
a ? 3, b ? 3 (2)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x)

当 a ? 3, b ? ?9 时, h( x) ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? 1 , h?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 9 令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ?3 , x2 ? 1 ;

h( x) 与 h?( x) 在 (??, 2] 上的情况如下: ?3 x (??, ?3) h( x ) h?( x)
+ 0 28

(?3,1)


1 0 4

(1,2 ) +

2

?

?

?

3

由此可知: 当 k ? ?3 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ; 当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值小于 28. 因此, k 的取值范围是 (??, ?3]

48. 【解析】(I)

f ( x) ? ax ?

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a 3 1 3 (II)由题意得: f (1) ? ? a ? ? b ? ① 2 a 2 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? ② ax a 2
当且仅当 ax ? 1( x ? 由①②得: a ? 2, b ? ?1

2012 年高考文科数学解析分类汇编:概率
一、选择题 49 . (2012 年高考(辽宁文) 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长 )

分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为 ( A. )

2

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5
D. 在区域 )

50 . (2012 年高考(北京文) 设不等式组 ? )

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 ?0 ? y ? 2

D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (

A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

51 . (2012 年高考(安徽文) 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个 )

白球和 3 个黑球,从袋中 任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 A.





1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

二、填空题 52 . (2012 年高考(浙江文) 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取 )

两点,则该两点间的距离为

2 的概率是___________. 2

53 . (2012 年高考(上海文) 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一 )

个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).
三、解答题 54 . (2012 年高考(重庆文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分) )

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人都已投球 3 次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投 3 2

篮互不影响.(Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率.

55 . (2012 年高考(天津文) 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的 )

方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果; (2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

56 . 2012 年高考 ( (四川文)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B , )

系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1 和p. 10 49 (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (Ⅱ)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

57 . (2012 年高考(陕西文) 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为 )

了解他们的使用寿命,现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计 如下:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (Ⅱ)这两种品牌产品中,,某个产品已使用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概率.

58. (2012 年高考(山东文) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡 )

片两张,标号分别为 1,2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率.

59. (2012 年高考(课标文) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后 )

以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式. (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日 需 求 14 15 16 17 18 19 20 量

n
频 10 20 16 16 15 13 10 数 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均 数;

(ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率,求当天的利润不少于 75 元的概率.

60

如 图 , 从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点.
. ( 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) )

(1) 求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这 3 点与原点 O 共面的概率.

61. (2012 年高考(湖南文) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工 )

随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.[来源:数理化网] 一次购物 量 1 至 4 件 5 至 8 件 30 1.5 9至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件 及以 上 10 3

顾 客 数 (人) 结算时间 ( 分 钟 / 人 )[ 来 源:数理 化网]

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率) ...

62. (2012 年高考(大纲文) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续 )

发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲. 乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、 乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲.乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率.

63. (2012 年高考(安徽文) 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视 )

为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中, 随机抽取 5000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品.计算这 50 件不合格品的直径长 与标准值的差(单位:mm), 将所得数据分组, 得到如下频率分布表: 分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 50 1 10 8 0.5 频数 频率 0.1

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的 概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品.据此估算这批 产品中 的合格品的件数.

2012 年高考文科数学解析分类汇编:概率参考答案 一、选择题 49.

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为

x(12 ? x) cm2,
由 x(12 ? x) ? 20 ,解得 2 ? x ? 10 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率为
2

2 ,故选 C 3
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问 题的能力,属于中档题. 50. 【答案】D 【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公 式、概率.
51.

【解析】选 B

1 个红球,2 个白球和 3 个黑球记为 a1 , b1 , b2 , c1 , c2 , c3

从袋中任取两球共有

a1 , b1 ; a1 , b2 ; a1 , c1; a1 , c2 ; a1 , c3 ; b1 , b2 ; b1 , c1; b1 , c2 ; b1 , c3 b2 , c1; b2 , c2 ; b2 , c3 ; c1 , c2 ; c1 , c3 ; c2 , c3
6 2 ? 15 5

15 种;

满足两球颜色为一白一黑有 6 种,概率等于
二、填空题 52.

【答案】

2 5

【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题. 【解析】若使两点间的距离为
1 C4 4 2 ? ? . C52 10 5

2 ,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为 2

53.

1 1 1 [解析] 设概率 p= k ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 ,求 k,分三步:①选项目相同的二人,有 n 1 种;②确定上述二人所选相同的项目,有 C3 种;③确定另一人所选的项目,有 C2 种. 所 2 1 1 以 k ? C3 ? C3 ? C2 ? 18,故 p= 18 ? 2 . 27 3
1

三、解答题 54.

【答案】:(Ⅰ)

13 4 (Ⅱ) 27 27

独立事件同时发生的概率计算公式知 p( D) ? p( A B1 A2 B2 ) ? p( A B1 A2 B2 A3 ) 1 1

? p( A1 ) p(B1 )P( A2 )P(B2 ) ? p( A1) p(B1)P( A2 )P(B2 ) p( A3 )
2 1 2 1 1 4 ? ( )2 ( )2 ? ( )2 ( )2 ? 3 2 3 2 3 27
55.

解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1 (2)①在抽取到的 6 年学校中,3 所小学分别记为 A1 , A2 , A3 ,2 所中学分别记为 A4 , A5 , 大 学 记 为

A6 , 则 抽 取

2

所 学 校 的 所 有 可 能 结 果 为

?A1, A2 ?, ?

A ? ?A3 , 1,

? A1, ?

A4 ?, ? A , ?A5 , 1

A , A6 1

, ,

?A2 , A3?,?A2 , A4?,?A2 , A5?,?A2 , A6?,?A3 , A4?,?A3 , A5? ?A3 , A6?,?A4 , A5?,?A4 , A6?,?A5 , A6? ,共 15 种.

②从 6 年学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B )的所有可能结果为

?A1, A2?,?A1, A3?,?A2 , A3? ,共 3 种,所以 P( B) ? 15 ? 5 .
56.

3

1

[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P(C)=1-

1 49 P= 10 50

,解得 P=

1 6 分 5

(2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件 D,
2 那么 P(D)= C3

1 1 1 972 243 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 3 ? ? 10 10 10 1000 250 243 . 250

答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为

[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、 互斥事件等概念及相关计算,考查 运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

57. 58.解:(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红
1

蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标

号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

3 . 10 (II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外, 多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜色不
同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ?

8 . 15 59. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事 件的和概率,是简单题.
【解析】(Ⅰ)当日需求量 n ? 17 时,利润 y =85; 当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17, (n ? N ) ; n ? 17, ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为

1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4; 100
(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝,故当天的利润不少于 75 元的概率为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
60. 【解析】(1)总的结果数为 20 种,则满足条件的种数为 2 种所以所求概率为

2 1 ? [ 20 10


(2)















( A1 , A2 , B1 ) , ( A1, A2 , B2 ) , ( A1 , A2 , C1 ) , ( A1, A2 , C2 ) , ( B1 , B2 , A1 ),( B1 , B2 , A2 ) , ( B1 , B2 , C1 ) , ( B1, B2 , C2 ) ,, (C1, C2 , A1 ),(C1, C2 , A2 ),(C1, C2 , B1 ),(C1 , C2 , B2 ) , 所 以 所 求 概 率 为
12 3 ? . 20 5
61. 【解析】(Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 ,该超市所有顾客

一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一 个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计, 其估计值为:

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1 , A2 , A3 分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分 钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

? A ? A1 ? A2 ? A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件, ? P( A) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?
3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10
【点评】 本题考查概率统计的基础知识,考查运算能力、 分析问题能力.第一问中根据统 计 表 和 100 位 顾 客 中 的 一 次 购 物 量 超 过 8 件 的 顾 客 占 55%, 知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,再用样本估计总体,得出顾客一次
购物的结算时间的平均值的估计值;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而 求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. ...
62. 【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解.首先要理解发球的具体

情况,然后对于事件的情况分析,讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解 : 记

Ai 为 事 件 “ 第

i

次 发 球 , 甲 胜 ”,i=1,2,3, 则

P( A1 ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.4 .
(Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 由互斥事件有一个发生的概率加法公式得

A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3

,

P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )

? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4

? 0.352 .
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)五次发球甲领先时的比分有: 3:1, 4 : 0 这两种情况 开始第 5 次发球时比分为 3 :1 的概率为:
2 1 1 2 C2 0.62 ? C2 0.4 ? 0.6 ? C2 0.6 ? 0.4 ? C2 0.42 ? 0.1728 ? 0.0768 ? 0.2496

开始第 5 次发球时比分为 4 : 0 的概率为:
2 2 C2 0.62 ? C2 0.42 ? 0.0576

故求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率为 0.2496 ? 0.0576 ? 0.3072 . 【点评】 首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上 求解进行分类讨论的思想的运用.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时间,容 易丢情况. 63.【解析】(I) 分组 [-3, -2) [-2, -1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 频数 频率 0.1

5
8

0.16
0.5

25
10

2
50

0.2 0.4
1

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.5 ? 0.2 ? 0.7 (Ⅲ)合格品的件数为 20 ?

5000 ? 20 ? 1980 (件) 50

答:(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.7 (Ⅲ)合格品的件数为 1980 (件)

2012 年高考文科数学解析分类汇编:函数
一、选择题 64 .( 2012 年 高 考 ( 重 庆 文 )) 设 函 数

f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, g ( x) ? 3x ? 2, 集 合
( )

M ? { x ? R| f( g x ? ( ))
A. (1, ??)

0 } ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ? N 为 N ,
C.(-1,1)

B.(0,1)

D. (??,1) )

65 . 2012 年高考 ( (天津文) 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为 ) (

A. y ? cos 2 x

B. y ? log 2 | x |
x

C. y ?

e x ? e? x 2

D. y ? x ? 1
3

66 . (2012 年高考(四川文) 函数 y ? a )

? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是

67 . (2012 年高考(陕西文) 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 )





[来源:www.shulihua.net] A. y ? x ? 1 B. y ? ? x2 C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

68 . (2012 年高考(山东文) 函数 y ? )

cos6 x 的图象大致为 2x ? 2? x

69 . (2012 年高考(山东文) 函数 f ( x ) ? )

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)





A. [?2, 0) ? (0, 2]

B. (?1, 0) ? (0, 2]

C. [?2, 2]

D. (?1, 2]

70 . (2012 年高考(江西文) 如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为 )

? , 6

? 以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线交与点

C.甲.乙两质点同时从

? 点 O 出发,甲先以速度 1(单位:ms)沿线段 OB 行至点 B,再以速度 3(单位:ms)沿圆弧 BDC
行至点 C 后停止,乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至 A 点后停止.设 t 时刻甲、乙所 到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的 图像大致是

x 71 . 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) 已 知 f ( x) ? s i n ( ? ( )
2

?
4

) 若 a=f(lg5), b ? f (lg ) 则

1 5

( A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1



? x2 ? 1 x ? 1 ? 72 . (2012 年高考(江西文) 设函数 f ( x) ? ? 2 ) ,则 f ( f (3)) ? x ?1 ? ?x
A.





1 5

B.3

C.

2 3

D.

13 9

73. (2012 年高考 (湖南文) 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x ) )

是 f ( x ) 的 导 函 数 , 当 x ??0, ? ? 时 , 0 ? f ( x) ? 1 ; 当 x ? (0, ? ) 且 x ? 时 , (x ? A.2

?
2


?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) ? sin x 在 [?2? , 2? ] 上的零点个数为 (
B.4 C.5 D.8

74. (2012 年高考(湖北文) 已知定义在区间 (0, 2) 上的函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,则 )

y ? ? f (2 ? x) 的图像为

75. (2012 年高考(湖北文) 函数 f ( x) ? x cos 2 x 在区间 [0, 2? ] 上的零点个数为 ( )



B.3 C.4 76. (2012 年高考(广东文) (函数)下列函数为偶函数的是 ) A. y ? sin x B. y ? x3 C. y ? e x

A.2

D.5 ( D. y ? ln x2 ? 1 )

?1, x ? 0 ? ?1, ( x为有理数) ? ? 77. (2012 年高考(福建文) 设 f ( x) ? ?0, ( x ? 0) , g ( x ) ? ? ) ,则 f ( g (? )) 0, ( x为无理数) ? ? ? ??1, ( x ? 0) ?
的值为 A.1 ( B.0 C. ?1 D. ? )

78. (2012 年高考(大纲文) 函数 y ? )

x ?1( x ? ?1) 的反函数为
B. y ? x2 ? 1( x ? 1) D. y ? x2 ? 1( x ? 1)





A. y ? x2 ? 1( x ? 0) C. y ? x2 ? 1( x ? 0)

79. (2012 年高考(北京文) 函数 )

1 1 f ( x) ? x 2 ? ( ) x 的零点个数为 2

( D.3 (



A.0

B.1

C.2

80. (2012 年高考(安徽文) log 2 9 ? log3 4 ? )



A.

1 4

B.

1 2

C. ?

D. ?

81. (2012 年高考(安徽文) 设集合 A ? {x )

?3 ? 2x ?1 ? 3} ,集合 B 是函数 y ? lg( x ? 1) 的
( )

定义域;则 A ? B ? A. (1, 2)
二、填空题

B. [1, 2]

C. [?, ?)

D. (?, ?]

82. (2012 年高考(重庆文) 函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________ ) 83. (2012 年高考(浙江文) 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1] )

时,f(x)=x+1,则 f( ) =_______________.

3 2

84. (2012 年高考 (天津文) 已知函数 y )

?

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,

则实数 k 的取值范围是________.
85. (2012 年高考(四川文) 函数 )

f ( x) ?

1 的定义域是____________.(用区间表示) 1? 2x

86. (2012 年高考(上海文) 已知 y ? f (x) 是奇函数. 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 .,则 )

g (?1) ? _______ .
87. (2012 年高考(上海文) 方程 4 ? 2 )
x x ?1

? 3 ? 0 的解是_________.

ì x , x ? 0, ? ? ? 88. (2012 年高考(陕西文) 设函数发 f ( x) = í 1 ) ,则 f ( f (- 4)) =_____ ? ( ) x , x < 0, ? ? 2 ? ?
89. (2012 年高考(山东文) 若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4,最小值 )

为 m,且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.
90. 2012 年高考 ( (课标文) 设函数 f ( x ) = )

(x+1) +sinx 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____ x2+1

2

91. (2012 年高考(广东文) (函数)函数 y ? )

x ?1 的定义域为__________. x
2

92. (2012 年高考(福建文) 已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a )

的取值范围是_________.
93 . 2012 年 高 考 ( 北 京 文 ) 已 知 f ( x) ? m( x? 2 m) ( x m 3) g ( x) ? 2 ( ) ? ? ,
x

?2 .若

?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是________.
94 .( 2012 年 高 考 ( 北 京 文 )) 已 知 函 数 f ( x)?

l g , 若 f (ab) ? 1 , 则 x

f (a 2 ) ? f (b2 ) ? _________.
95. (2012 年高考 (安徽文) 若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ ) 三、解答题 96. (2012 年高考(上海文) 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . )

(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g (x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g (x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

97. (2012 年高考(福建文) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事 )

先拟定的价格进行试销,得到如下数据:

单阶

x (元
) 销量

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

75[来 9 6 84 0 83 80 源:www.shulihua.ne 8 t]

y (件
)

? ? (I)求回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? ?20, a ? y ? bx ;
(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

98. (2012 年高考(北京文) 设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表, )

a
d

b
[ 来 源:www.shulihua.net]

c
f

e

满足:性质 P: a, b, c, d , e, f ?[?1,1] ,且 a ? b+c+d +e+f =0 .[来源:www.shulihua.net]

( ( 记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之和 i=1, 2) c j ( A) 为 A 的第 j 列各数之和 j =1, 2,3) , ;
记 k ( A) 为 | r ( A) , | r2 ( A) , | c1 ( A) , | c2 ( A) , | c3 ( A) 中的最小值. | | | | | 1 (1)对如下数表 A,求 k ( A) 的值; 1 0.1 (2)设数表 A 形如 1[ 来 源 :www.shulihua.netwww.shulihua .net] 1 -1-2 1 -0.3 -0.8 -1

d

d
其中 -1 ? d ? 0 .求 k ( A) 的最大值;

d

-1

(3)对所以满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A,求 k ( A) 的最大值.

2012 年高考文科数学解析分类汇编:函数参考答案 一、选择题 64.

【答案】:D 【解析】:由 f ( g ( x)) ? 0 得 g 2 ( x) ? 4 g ( x) ? 3 ? 0 则 g ( x) ? 1 或 g ( x) ? 3 即 3x ? 2 ? 1 或 3x ? 2 ? 3 所 以 x ? 1 或 x ? log 3 5 ; 由 g ( x) ? 2 得 3x ? 2 ? 2 即 3x ? 4 所 以 x ? l o g 4 故 3

M ? N ? (??,1)
【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本 题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.
65. 【解析】函数 y ? log2

x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log2 x ? log2 x 为增函数,

所以在 (1,2) 上也为增函数,选 B.
66.

[答案]C [解析]采用特殊值验证法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),只有 C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易 用.

1 和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确. x cos 6 x cos 6 x ? ? f ( x) 为奇函数, 68. 解析:函数 f ( x) ? x , f (? x) ? ? x ?x 2 ?2 2 ? 2x
67.

解析:运用排除法,奇函数有 y ?

当 x ? 0 ,且 x ? 0 时 f (x) ? ?? ;当 x ? 0 ,且 x ? 0 时 f (x) ? ?? ; 当 x ? ?? , 2 ? 2
x ?x

? ?? , f ( x) ? 0 ;当 x ? ?? , 2 x ? 2 ? x ? ?? , f ( x) ? 0 .

答案应选 D.
69.

解析:要使函数 f (x) 有意义只需 ?

?ln(x ? 1) ? 0 ? x ? ?1, x ? 0 ,即 ? ,解得 ? 1 ? x ? 2 , 2 ?4 ? x ? 0 ? ?2? x ? 2

且 x ? 0 .答案应选 B. 70. 【答案】A 71. 【答案】C 【解析】本题可采用降幂处理,则

1 ? cos(2lg 5 ? ) 2 ? 1 ? sin(2lg 5) a ? f (lg 5) ? sin 2 (lg 5 ? ) ? 4 2 2 1 ? 1 ? cos(2lg ? ) 1 1 ? 5 2 ? 1 ? sin(2lg 5) b ? f (lg ) ? sin 2 (lg ? ) ? 5 5 4 2 2

?

?

,







a ? b ? 1.
【考点定位】本题主要考查函数的概念,三角函数的恒等变化及对数,属综合应用题.
72.

【答案】D 【解析】考查分段函数, f ( f (3)) ? f ( ) ? ( ) ? 1 ?
2

2 3

2 3

13 . 9

73. 【答案】B

【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,知 2 2

? ?? ?? ? x ? ?0, ?时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 x ? 2? ?2 ?
又 x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐 标系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的 零点个数为 4 个.
y

1

y ? f ( x)
?2?

o
?1

2?

x

y ? sin x

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.
74. B【解析】特殊值法:当 x ? 2 时, y ? ? f

? x ? 2? ? ? f ? 2 ? 2? ? ? f ?0? ? 0 ,故可排除 D

项;当 x ? 1 时, y ? ? f ? x ? 2? ? ? f ? 2 ?1? ? ? f ?1? ? ?1 ,故可排除 A,C 项;所以由排 除法知选 B. 【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作 为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法 求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有 e 的指数型函数或含有 ln x 的对数型函数的图象的识别.
x

2 75. D 【 解 析 】 由 f ( x ) ? x cos x ?
2 x ? k? ?

0 得 x ? 0 或 cos 2 x ? 0 ; 其 中 , 由 cos 2 x ? 0 , 得 ,
k? ? ? ? k ? Z ? . 又 因 为 x ??0 , π2 , 所 以 ? 2 4

?

2 π 3π 5π 7π x ? , , , .所以零点的个数为 1 ? 4 ? 5 个.故选 D. 4 4 4 4

?k ? Z?

, 故 x?

【点评】 本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图 象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果 定义域是 R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在 的区间等问题.
76.解析:D. f ? ? x ? ? ln 77. 【答案】B

??x?

2

? 1 ? ln x 2 ? 1 ? f ? x ? .

【解析】因为 g (? ) ? 0

所以 f ( g (? )) ? f (0) ? 0 . B 正确

【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.
78.答案 A

【命题意图】 本试题主要考查了反函数的求解,利用原函数反解 x ,再互换 x, y 得到结论, 同时也考查了函数值域的求法. 【解析】由 y ?

x ?1 ? x ? 1 ? y 2 ? x ? y 2 ?1 ,而 x ? ?1 ,故 y ? 0

互换 x, y 得到 y ? x 2 ? 1( x ? 0) ,故选答案 A
79. 【答案】B
1 1 x 1 x 【解析】函数 f ( x) ? x ? ( ) 的零点,即令 f ( x ) ? 0 ,根据此题可得 x 2 ? ( ) ,在平 2 2 1 2

面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故 选答案 B. 【考点定位】 本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及 到图像幂函数和指数函数.
80. 【解析】选 D

log 2 9 ? log3 4 ?

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? ?4 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

81. 【解析】选 D 二、填空题 82. 【答案】4

A ? {x ?3 ? 2x ?1 ? 3} ? [?1,2] , B ? (1, ??) ? A ? B ? (1, 2]

【解析】由函数 f ( x ) 为偶函数得 f (a) ? f (?a) 即 (a ? a)(a ? 4) ? (?a ? a)(?a ? 4)

? a ? 4.
【考点定位】 本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关 于原点对称,且对定义域内的一切 a 都有 f (a) ? f (?a) 成立.
83. 【答案】

3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 ?1 ? . 2 2

【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】 f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ?

84. 【 解 析 】 函 数

y?

x2 ?1 x ?1

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1

,当

x ?1时, y ?

x2 ?1 x ?1

? x ?1 ? x ?1 , 当 x ? 1

时, y ?

x2 ?1

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? , x ?1 ? x ? 1, x ? ?1

? x ? 1,x ? 1 ? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 , 做 综上函数 y ? x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
出函数的图象,要使函数 y 与 y ? kx 有两个不同的交点,则直线 y ? kx 必须在蓝色或黄 色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时 B(1,2) , k 满足 1 ? k ? 2 ,当经过蓝色区 域时, k 满足 0 ? k ?1 ,综上实数的取值范围是 0 ? k ?1 或 1? k ? 2 . [来 源:www.shulihua.net]
85. [答案]( - ?, )

1 2

[解析]由分母部分的 1-2x>0,得到 x∈( - ?, ). [点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有: 分母不为 0;偶次根下的式子大于等于 0;对数函数的真数大于 0;0 的 0 次方没有意义.
86. [解析] y ? f (x) 是奇函数,则 f (?1) ? ? f (1) , g (1) ? g (?1) ? f (1) ? f (?1) ? 4 ? 4 ,

1 2

所以 g (?1) ? 4 ? g (1) ? 3 .

87. [解析]

(2x )2 ? 2 ? 2x ? 3 ? 0 , (2x ? 1)(2x ? 3) ? 0 , 2 x ? 3 , x ? log2 3 .
1 2
- 4

88.解析: f (- 4) = ( ) 89.答案:

= 16 , f ( f (- 4)) = f (16) = 16 = 4

1 1 解析:当 a ? 1 时,有 a2 ? 4, a?1 ? m ,此时 a ? 2, m ? ,此时 g ( x) ? ? x 为减函数, 4 2

1 1 不合题意.若 0 ? a ? 1 ,则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16
另解:由函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数可知 1 ? 4m ? 0, m ?

1 ; 4 1 2

?1 2 当 a ? 1 时 f ( x) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得 a ? 2 ,最小值为 m ? a ?

?1 不符合题 意,舍去; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? a x 在 [-1,2]上的 最大值为 a ? 4 ,解 得

1 1 1 2 ? ,符合题意, ,此时最小值为 m ? a ? 4 16 4 1 故 a= . 4 a?
90. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

2 x ? sin x , x2 ? 1 2 x ? sin x 设 g ( x ) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, x2 ? 1
【解析】 f ( x ) = 1 ? ∵ f ( x ) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1, ∴ M ? 1 ? m ? 1 ? 0 , M ? m =2.
91.解析: ? ?1,0? ? ? 0, ??? .由 ?

?x ?1 ? 0 解得函数的定义域为 ??1,0? ? ? 0, ??? . ?x ? 0

92. 【答案】 (0,8)
2 【解析】因为 不等式恒成立,所以 ? ? 0 ,即 a ? 4 ? 2a ? 0 ,所以 0 ? a ? 8

【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根 本.
93. 【答案】 (?4, 0)
x x 【 解 析 】 首 先 看 g ( x )? 2 ? 2 有 参 数 , 从 g ( x) ? 2 ? 2 入 手 , 显 然 x ? 1 没

时, g ( x) ? 0 , x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,而对 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立即可,故只要

?x ? 1 时, f ( x) ? 0 (*)恒成立即可.当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ,不符合(*),所以舍去;当 m ? 0 时,由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 得 ?m ? 3 ? x ? 2m ,并不对 ?x ? 1 成立,

x 舍 去 ; 当 m ? 0 时 , 由 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ? 0 , 注 意 ?2m ? 0 , ? 1 故 ,
x ? 2m ? 0 ,所以 x ? m ? 3 ? 0 ,即 m ? ?( x ? 3) ,又 x ? 1 ,故 ?( x ? 3) ? (??, ?4] ,所
以 m ? ?4 ,又 m ? 0 ,故 m? (?4,0) ,综上, m 的取值范围是 (?4, 0) . 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小, 涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对 m 进行 讨论. 94. 【答案】 2 【解析】? f ( x) ? lg x, f (ab) ? 1 ,? lg(ab) ? 1

? f (a2 ) ? f (b2 ) ? lg a2 ? lg b2 ? 2lg(ab) ? 2

【考点定位】 本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时 也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.
95. 【解析】 ?6 三、解答题 96. [解](1)由 ?

由对称性: ?

a ? 3 ? a ? ?6 2

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
2?2 x x ?1 2 3

?2 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ?1x ? 1 得 1 ?

? 10
? x? 1. 3

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 由?

? ?1 ? x ? 1 得? 2 ? x ? 1 3 3 ?2?x?1 3 ? 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
由单调性可得 y ? [0, lg 2] . 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ? [0, lg 2]
y

97. 【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意

识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1)? x ?

1 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ) ? 8.5 6

1 y ? ( y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ) ? 80 [来源:www.shulihua.net] 6

? ?a ? y ? bx ? 80 ? 20 ? 8.5 ? 250 , 回 归 直 线 方 程 为 : y ? ?20 x ? 250 [ 来
源:www.shulihua.net] (2)设工厂获利润为 L 元,依题意:

L ? x(?20 x ? 250) ? ?4(?20 x ? 250) ? ?20 x 2 ? 330 x ? 1000 33 2 ) ? 361.25 4 当单价定为 x ? 8.25 时,工厂获利最大. ? ?20( x ?
98. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严

谨的逻辑思维能力. (1) 因 为 r1 ( A) =1.2, r2 ( A) ? ?1.2 , c1 ( A) ? 1.1 , c2 ( A) ? 0.7 , c3 ( A) ? ?1.8 , 所 以

k( A )? 0 . 7 (2) r ( A) ? 1 ? 2d , r2 ( A) ? ?1 ? 2d , c1 ( A) ? c2 ( A) ? 1 ? d , c3 ( A) ? ?2 ? 2d . [ 来 1
源:www.shulihua.net] 因 为 ?1 ? d ? 0 , 所 以 | r ( | )= | r2 ( A) ? d ? 0 , | c3 ( A) ? d ? 0 . 所 以 | | 1 A

k ( A) ? 1 ? d ? 1 . 当 d ? 0 时, k ( A) 取得最大值 1. (3)任给满足性质 P 的数表 A (如图所示) a d

b

e

c f
*

任意改变 A 的行次序或列次序,或把 A 中的每个数换成它的相反数,所得数表 A 仍满足 性质 P ,并且 k ( A) ? k ( A* ) ,因此,不妨设 r ( A) ? 0, c1 ( A) ? 0, c2 ( A) ? 0 ,由 k ( A) 的定 1 义 知 ,

k ( A) ? r1 ( A), k ( A) ? c1 ( A), k ( A) ? c2 ( A)
1

,





3k

?( A 1

) r ?

(A

?) 2 c

(A ?

) c ?

(A ?

) ?a

(

? b

c? )

(

? ( a ? b ? c ? d ? e ? f ) ? (a ? b ? f ) ? a ? b ? f ? 3
因此 k ( A) ? 1 ,由(2)知,存在满足性质 P 的数表 A ,使 k ( A) ? 1 ,故 k ( A) 的最大值为 1.

2012 年高考文科数学解析分类汇编:集合与简易逻辑
一、选择题 99 . (2012 年高考(浙江文) 设全集 U={1,2,3,4,5,6} ,设集合 P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5}, )

则 P∩(CUQ)= A.{1,2,3,4,6} C.{1,2,5}

( B.{1,2,3,4,5} D.{1,2} (



100 . (2012 年高考(四川文) 设集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,则 A ? B ? )



A. {b}

B. {b, c, d}

C. {a, c, d}

D. {a, b, c, d} ) )

101 . 2012 年高考 ( (陕西文) 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N )

? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? (


A. (1, 2)

B. [1, 2)

C. (1, 2]

D. [1, 2]

102 . (2012 年高考(山东文) 已知全集 U ? {0,1, 2, 3, 4} ) ,集合 A ? {1, 2, 3}, B ? {2, 4} ,则

(? A) ? B 为 U





B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} 103 . (2012 年高考(辽宁文) 已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8}, ) 集合 B={2,4,5,6,8},则 (CU A) ? (CU B) ? A.{5,8} A.A?B ? ( )

A.{1,2,4}

B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} 2 104 . (2012 年高考(课标文) 已知集合 A={x|x -x-2<0},B={x|-1<x<1},则 ) ( B.B?A ? C.A=B
2



D.A∩B=? A={x∈R||x+1|≤1}的补集 CuA 为

105 . (2012 年高考(江西文) 若全集 U={x∈R|x ≤4} )

( A.|x∈R |0<x<2| C.|x∈R |0<x≤2| B.|x∈R |0≤x<2| D.|x∈R |0≤x≤2|



1 , 106 . 2012 年 高 考 ( 湖 南 文 ) 设 集 合 M ? ? ?1, 0, ? N ? x |x ? x , 则 M ? N ? ( )
2

?

?

( A. ??1,0,1?
107 . ( 2012



B. ?0,1?
年 高 考 (

C. ?1?
湖 北 文

D. ?0?
) )









A ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R? , B ? ? x | 0 ? x ? 5, x ? N ? ,则满足条件 A ? C ? B 的
集合 C 的个数为 A.1 ( B.2 C.3 D.4 )

108. (2012 年高考(广东文) (集合)设集合 U ? ?1,2,3,4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? )

( A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1,2,4? D. U



109. (2012 年高考(福建文) 已知集合 M )

? ?1, 2,3, 4? , N ? ??2, 2? ,下列结论成立的是
( ) C. M ? N ? N
大 纲 文

A. N ? M
110 . ( 2012

B. M ? N ? M
年 高 考 (

D. M ? N ? ?2?
) )







合 , )

A ?? | x 是平行四边形? x D ? ?x | x是菱形? ,则
[来源:学。科。网] A. A ? B

,

B ? ?x | x是矩形?

,

C ? ?x | x是正方形?


B. C ? B

C. D ? C

D. A ? D

111. (2012 年高考 (北京文) 已知集合 A ? x ? R 3 x ? 2 ? 0 , B ? x ? R ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 , )

?

?

?

?

则 A ? B =( A. (??, ?1)

) B. ( ?1, ? ) B.若 ? p 则 ? q

2 3

C. (? ,3) C.若 ? q 则 ? p

2 3

D. (3, ??) ( D.若 p 则 ? q ( ) )

112. (2012 年高考(重庆文) 命题“若 p 则 q”的逆命题是 )

A.若 q 则 p

113. (2012 年高考(天津文) 设 x ? R ,则“ x ? )

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 件

D.既不充分也不必要条

114. (2012 年高考(上海文) 对于常数 m 、 n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx )

2

? ny2 ? 1 的曲线
( )

是椭圆”的

A.充分不必要条件. C.充分必要条件.

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件.

115. (2012 年高考(山东文) 设命题 p:函数 y ? sin 2x 的最小正周期为 )

? ;命题 q:函数 2
( )

y ? cos x 的图象关于直线 x ?
A.p 为真

?
2

对称.则下列判断正确的是 C. p ? q 为假

B. ?q 为假

D. p ? q 为真

116. (2012 年高考(辽宁文) 已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 )

( A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0
117. (2012 年高考(湖南文) 命题“若 α = )



? ,则 tanα ≠1 4 ? C.若 tanα ≠1,则 α ≠ 4
A.若 α ≠

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4 ? B.若 α = ,则 tanα ≠1 4 ? D.若 tanα ≠1,则 α = 4





118.2012 年高考 ( (湖北文)设 a, b, c ? R ,则“ abc ? 1 ”是“ )

1 1 1 ? ? ? a?b ? c ” a b c

的 ( ) A.充分条件但不是必要条件, B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件 119. (2012 年高考(湖北文) 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ) ( ) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 120. (2012 年高考(安徽文) 命题“存在实数 x ,,使 x ? 1 ”的否定是 ) ( ) A.对任意实数 x , 都有 x ? 1 B.不存在实数 x ,使 x ? 1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1
二、填空题 121. (2012 年高考(天津文) 集合 A ? x ? R| x ? 2 ? 5 中最小整数位_________. ) 122 .( 2012 年 高 考 ( 上 海 文 )) 若 集 合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} ,

?

?

B ? {x | x ? 1} , 则

A ? B =_________ .

2012 年高考文科数学解析分类汇编:集合与简易逻辑参考答案 一、选择题

【答案】D 【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算. 【解析】? Q{3,4,5},? CUQ={1,2,6},? P∩(CUQ)={1,2}. 100. [答案]D [解析]集合 A 中包含 a,b 两个元素,集合 B 中包含 b,c,d 三个元素,共有 a,b,c,d 四个元
99.

素,所以 A ? B ? {a、b、c、d } [点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难 度不大,重点是掌握好课本的基础知识.
101.

解析: M ? {x | lg x ? 0} ? {x | x ? 1} , N ? {x | ?2 ? x ? 2} , M ? N ? {x 1 ? x ? 2} ,

选 C.
102. 103.

解析: CU A ? {0,4}, (CU A) ? B ? {0,2,4}.答案选 C. 【答案】B 【 解 析 一 】 因 为 全 集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集 合 A={0,1,3,5,8}, 集 合 B={2,4,5,6,8}, 所 以

CU A ? ?2,4,6,7,9?, CU B ? ?0,1,3,7,9?

,





(CU A) ? (CU B) {7,9}.故选 B
【解析二】 集合 (CU A) ? (CU B) 即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素,所剩 的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选 B 【点评】 本题主要考查集合的交集、 补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到 答案. 104. 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系,是简单题. 【解析】A=(-1,2),故 B?A,故选 B. ?
105. 106.

C【解析】 U ? {x | ?2 ? x ? 2} , A ? {x | ?2 ? x ? 0} ,则 CU A ? {x | 0 ? x ? 2} . 【答案】 B 【解析】? N ? ?0,1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出 N ? ?0,1 ,再利用交集定 ?

义得出 M∩N. 107. D【解析】求解一元二次方程,得

A ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R? ? ? x | ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0, x ? R?

? ?1, 2? ,易知 B ? ? x | 0 ? x ? 5, x ?N? ??1, 2,3, 4 .因为 A ? C ? B ,所以根据子集 ?
的定义,集合 C 必须含有元素 1,2,且可能含有元素 3,4,原题即求集合 ?3, 4? 的子集个

数,即有 2 ? 4 个.故选 D.
2

【点评】 本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用 列举法.列出集合 C 的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查 频度极高.
108.解析:A. CU M ? ?2,4,6? . 109. 【答案】D

【解析】显然 A, B, C 错,D 正确 【考点定位】考查集合包含关系与运算,属基础题. 110.答案 B 【命题意图】本试题主要考查了集合的概念,集合的包含关系的运用. 【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形,矩形是特殊的平行 四边形,可知集合 C 是最小的,集合 A 是最大的,故选答案 B. 111. 【答案】D 【解析】 A ? ? x | x ? ? ? ,利用二次不等式的解法可得 B ? x | x ? 3或x ? ?1 ,画出数轴易 得 A? ? ?x | x ? 3? . 【考点定位】本小题考查的是集合(交集)运算和一次和二次不等式的解法. 112. 【答案】A 【解析】 根据原命题与逆命题的关系可得:“若 p,则 q”的逆命题是“若 q,则 p”,故选 A. 【考点定位】要题主要考查四种命题之间的关系.
113. 【 解 析 】 不 等 式 2 x ? x ? 1 ? 0 的 解 集 为 x ?
2 2 “ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”成立的充分不必要条件,选 A.

? ?

2? 3?

?

?

1 1 或 x ? ?1 , 所 以 “ x ? ” 是 2 2

114. [解析] 取 m=n=-1,则方程不表示任何图形,所以条件不充分;

反之,当然有 mn ? 0 ,即条件必要,故选 B. 115.解析:命题 p 和命题 q 都是假命题, 依据“或”“且”“非”复合命题的真假性真假性 判断可知 p ? q 为假命题.故答案应选 C.
116. 【答案】C

【解析】 命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于容易题. 117. 【答案】 C 【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ”,所以 “若 α = tanα =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则 α ≠

? ”. 4

? ,则 4

【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析

问题的能力.
118.

A











abc ? 1

时,

1 1 1 abc abc abc ? ? ? ? ? ? ab ? bc ? ca , a b c a b c

而 2 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ( 当 且 仅 当

a?b?c

,



abc ? 1

,



a?b?c











),



1 1 1 ? ? ? ab ? bc ? ca ? a ? b ? c ; 但 当 取 a ? b ? c ? 2 , 显 然 有 a b c 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ,但 abc ? 1 ,即由 ? ? ? a ? b ? c 不可以推得 a b c a b c
abc ? 1 ;综上, abc ? 1 是

1 1 1 ? ? ? a ? b ? c 的充分不必要条件.应选 A. a b c

【点评】本题考查充要条件的判断,不等式的证明.判断充要条件,其常规方法是首先需 判断条件能否推得结论,然后需判断结论能否推得条件;来年需注意充要条件与其他知 识(如向量,函数)等的结合考查. [来源:数理化网]
119. B【解析】根据特称命题的否定,需先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故该命

题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选 B. 【点评】 本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定,千万别忽视了改变 量词;另外,要注意一些量词的否定的书写方法,如:“都是”的否定为“不都是”,别弄 成“都不是. 120. 【解析】选 C 存在---任意, x ? 1 --- x ? 1
二、填空题 121.

【 解 析 】 ? 3 不 等 式 x?2 ?5 , 即 ?5 ? x ?2 ? 5 , ?3? x ? 7 , 所 以 集 合

A ? {x ? 3 ? x ? 7} ,所以最小的整数为 ? 3 .
122. [解析]

A ? ( 1 , ? ?) , B ? (?1, 1) ,A∩B= ( 1 , 1) . 2 2
2012 年高考文科数学解析分类汇编:计数原理

一、选择题 123 . (2012 年高考(重庆文) (1 ? 3x) )
5

的展开式中 x 的系数为 C.90
2 2

3

( D.270



A.-270

B.-90

124 . (2012 年高考(四川文) 方程 ay ? b )

x ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不
( D.48 条 )

相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 A.28 条 B.32 条 C.36 条

125 . (2012 年高考(四川文) (1 ? x) 的展开式中 x 的系数是 )
7
2





B.28 C.35 D.42 126 . (2012 年高考(大纲文) 6 名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演 ) 讲,则不同的演讲次序共有 ( ) A.240 种 B.360 种 C.480 种 D.720 种
二、填空题 127 . (2012 年高考(重庆文) 某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文 )

A.21

化课和其它三门艺术课各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课 的概率为________(用数字作答).
128 . (2012 年高考(上海文) 在 ( x ? )

1 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 _________ . x

129 . (2012 年高考(湖南文) 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培 )

养温度,实验范围定为 29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到 最佳培养温度需要最少实验次数为_______.
130 . (2012 年高考(福建文) 某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点 )

表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路 的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如:在三 个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图 1,则最优设计方案如图 2,此时 铺设道路的最小总费用为 10.

现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3,则铺设道路的最小总费用为____________.

131 . (2012 年高考(大纲文) ( x ? )

1 8 ) 的展开式中 x 2 的系数为____. 2x

2012 年高考文科数学解析分类汇编:计数原理参考答案 一、选择题 123.

【答案】A
3 【解析】 T4 ? C5 (?3x)3 ? ?270x3

【考点定位】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定问题. 124. [答案]B [解析]方程 ay ? b2 x2 ? c 变形得 x ?
2

a c y ? 2 ,若表示抛物线,则 a ? 0, b ? 0 2 b b

所以,分 b=-2,1,2,3 四种情况:

?a ? 1, c ? 0, 或2, 或3 ? (1)若 b=-2, ?a ? 2, c ? 0, 或1, 或3 ; (2)若 b=2, ?a ? 3,c ? 0, 或1, 或2 ?

?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1 ?

以上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条; 同理 若 b=1,共有 9 条; 若 b=3 时,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举 法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 125. [答案]A
k 2 [解析]二项式 (1 ? x) 展开式的通项公式为 Tk ?1 = C7 x k ,令 k=2,则 T3 ? C7、 2 x
7
2 ? x 2的系数为C7 ? 21

[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项 展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 126. 答案 C 【命题意图】本试题考查了排列问题的运用.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得 到结论.
1 【解析】 甲先安排在除开始与结尾的位置还有 C4 个选择,剩余的元素与位置进行全排列 1 5 5 有 A5 ,故不同的演讲次序共有 C4 A5 ? 480 种.

二、填空题 127.

【答案】:

1 5

【解析】语文、数学、外语三门文化课两两不相邻排法可分为两步解决,先把其它三门
3 艺术课排列有 A3 种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入那三个隔开的四个 3 3 3 空中,有 A4 种排法,故所有的排法种数有 A3 A4 ? 144 种,在课表上相邻两节文化课之间

至少间隔 1 节艺术课的概率为 p ?

144 1 ? . 6 A6 5

【考点定位】本题在计数时根据具体情况选用了插空法,做题时要注意体会这些方法的 原理及其实际意义.
128.
r r [解析] 展开式通项 Tr ?1 ? (?1)r C6 x6?r x?r ? (?1)r C6 x6?2r ,令 6-2r=0,得 r=3, 3 故常数项为 ? C6 ? ?20 .

【答案】7 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为 7. 【点评】本题考查优选法中的分数法,考查基本运算能力. 130. 【答案】16 【解析】走线路 E ? A ? F ? G ? C ? B 消费最少,用 16. 【考点定位】本题考查实际应用能力,创新能力,分析问题解决问题的能力. 131. 答案 7 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用.利用二项式系数相 等,确定了 n 的值,然后进一步借助通项公式,得到项的系数.
129.

【 解 析 】 根 据 已 知 条 件 可 得 (x ?

1 8 ) 展 开 式 的 通 项 公 式 为 2x

Tr ?1 ? C r x8?r ( 8 1 C83 ( )3 ? 7 . 2

1 r 1 ) ? C r ( 8 )r x 2x 2

? r 2 8

2 , 令 8 ? 2r ? 2 ? r ? 3 , 故 所 求 x 的 系 数 为

2012 年高考文科数学解析分类汇编:立体几何
一、选择题 132 . (2012 年高考(重庆文) 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, )

2 和 a 且长为 a 的
( )

棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 A. (0, 2) B. (0, 3) C. (1, 2) D. (1, 3)

133 . (2012 年高考(浙江文) 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 )

( ) A.若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B.若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β C.若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β D.若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β 134 . (2012 年高考(浙江文) 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体 ) 积是 ( ) 3 . 3 3 3 A.1cm B 2cm C.3cm D.6cm
135 . (2012 年高考(四川文) 如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作 )

平面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作平面

A B D

? 成 45? 角的平面与半球面相交,所得交线上到平面 ? 的距
离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60 ,则
?

P α C

O

A 、 P 两点间的球面距离为
A. R arccos

( C. R arccos



2 4

B.

?R
4

3 3

D.

?R
3

136 . (2012 年高考(四川文) 下列命题正确的是 )





A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直 线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则 这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两 个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
137 . (2012 年高考(陕西文) 将正方形(如图 1 所示)截去两 )

个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为

138 . (2012 年高考(课标文) 平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距 )

离为 2,则此球的体积为 ( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π 139 . (2012 年高考(课标文) 如图,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的 ) 三视图,则几何体的体积为 C .12 D .18 A .6 B .9 140 . (2012 年高考(江西文) 若一个几何体的三视图如图所示,则此几何 ) 体的体积为 ( ) A.

11 2

B.5

C.4

D.

9 2

141. (2012 年高考(湖南文) 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示, )

则该几何体的俯视图不可能是 ...

正、侧视图

A

B

C

D

142. (2012 年高考(广东文) (立体几何)某几何体的三视图如图 1 所示, )

它的体积为 A. 72? B. 48? C .
30?





D. 24?
143. (2012 年高考(福建文) 一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体 )

不可以是 A.球 C.正方体

( B.三棱锥 D.圆柱 、



144. (2012 年高考 (大纲文) 已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2 , CC1 ) 1

?2 2,E
( )

为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 B. 3 C. 2 D.1

145. (2012 年高考(北京文) 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ( )



A. 28 ? 6 5
二、填空题

B. 30 ? 6 5

C. 56 ? 12 5

D. 60 ? 12 5

146. (2012 年高考(天津文) 一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积 )

________ m3 .

D1 A1 B1

C1 N

D

147. (2012 年高考(四川文) 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别是 ) 1
A

M B

C

CD 、 CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是____________.
148. (2012 年高考(上海文) 一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2?,该圆柱的表面积为 )

_________.
149. (2012 年高考(山东文) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上 )

的一点,则三棱锥 A ? DED1 的体积为_____.
150. (2012 年高考(辽宁文) 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 )

ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________.

151 . 2012 年 高 考 ( 辽 宁 文 ) 一 个 几 何 体的 三 视 图如 图 所 示 , 则 该 几何 体 的体 积 为 ( )

_______________.

152. (2012 年高考(湖北文) 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 )

____________.

153 . 2012 年 高 考 ( 大 纲 文 ) 已 知 正 方 形 ( )

ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为 BB1 , CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角
的余弦值为____.
154 .( 2012 年 高 考 ( 安 徽 文 )) 若 四 面 体 ABCD 的 三 组 对 棱 分 别 相 等 , 即

AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC ,
则________.(写出所有正确结论编号) ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90? 而小于 180? ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 155. (2012 年高考(安徽文) 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体 ) 积是 _____
三、解答题 156. (2012 年高考(重庆文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小 )



8



)













ABC ? A1B1C1

中 , AB ? 4 , AC ? BC ? 3 , D 为

AB 的中点.(Ⅰ)求异面直线 CC1 和 AB 的距离;(Ⅱ)若 AB1 ? AC ,求二 1

面角 A1 ? CD ? B1 的平面角的余弦值.

157. (2012 年高考(浙江文) 如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD )

⊥AB,AB= 2 .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明:(i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

158 . 2012 年 高 考 ( 天 津 文 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D 矩 ( ) 是

形, AD ? PD, BC ? 1, PC ? 2 3 , PD ? CD ? 2 . (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC ? 平面 ABCD ; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.[来源:数理化网]

159 . ( 2012

年 高 考 ( 四 川 文 ) ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P?

A B C

? ? 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA ,点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在

AB 上.

(Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小.

P C

A

B

160. (2012 年高考(上海文) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 ) P

PC 的中点.已知∠BAC= PA=2.求:

? 2

,AB=2,AC=2 3 , D A B C

(1)三棱锥 P-ABC 的体积; (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三 角函数值表示).

161. (2012 年高考(陕西文) 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1 , ?CAB = )

? 2

(Ⅰ)证明 CB1 ? BA1 ; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 的体积.

162 . 2012 年 高 考 ( 山 东 文 ) 如 图 , 几 何 体 E ? ABCD 是 四 棱 锥 , △ ABD 为 正 三 角 ( )

形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC .

163. (2012 年高考(辽宁文) 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , )
/ / / ?

AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A/ ACC / ;
/ (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积.

(椎体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3

164 . 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) 如 图 , 三 棱 柱 ( )

A B C? A B C , 侧 棱 垂 直 底 面 , ∠ 1 1 1中

1 ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. 2 (I) 证明:平面 BDC1 ⊥平面 BDC1 (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

165. (2012 年高考(江西文) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE )

⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G,得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求多面体 CDEFG 的体积.

166. (2012 年高考(湖南文) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰 )

梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
P

A

D

167. (2012 年高考(湖北文) 某个实心零部件的形状是 )

B

C

如 图 所 示的 几 何体 , 其下部 是 底 面均 是 正方 形 ,侧面 是 全 等的 等 腰梯 形的四 棱 台

A1B1C1D1 ? ABCD ,上不是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四
棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 . (1) 证明:直线 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 ; (2) 现 需 要 对 该 零 部 件 表 面 进 行 防 腐 处 理 , 已 知

A B 1 0 1, A 1 B ? ?

2 0 A ?A , 2

(单位:厘米),每平方厘米的加 3 1 A, A 0? 1 3

工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

168. 2012 年高考 ( (广东文) (立体几何)如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD )

中 , AB ? 平 面 PAD , AB ∥ CD , PD ? AD , E 是 PB 的 中 点 , F 是 DC 上 的 点 且

DF ?

1 AB, PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高. 2

(Ⅰ)证明: PH ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若 PH ? 1 , AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (Ⅲ)证明: EF ? 平面 PAB .

169 .( 2012

年 高 考 ( 福 建 文 )) 如 图 , 在 长 方 体

ABCD ? A1B1C1D1

中, AB ? AD ? 1, AA ? 2, M 为棱 DD1 上的一点. 1 (1)求三棱锥 A ? MCC1 的体积; (2)当 A M ? MC 取得最小值时,求证: B1M ? 平面 MAC . 1

170. (2012 年高考(大纲文) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 )

ABCD , AC ? 2 2 , PA ? 2 , E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC .
(Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. P

E B C

A D

171. (2012 年高考(北京文) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别是 AC,AB 上的中点, )

点 F 为线段 CD 上的一点.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2.

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

172. (2012 年高考(安徽文) 如图,长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形, )

O 是 BD 的中点, E 是棱 AA 上任意一点. 1
(Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE ? EC1 , 求 AA 的长. 1

2012 年高考文科数学解析分类汇编:立体几何参考答案 一、选择题 132.

【答案】:A 【 析】 BE ? 1 ? ( :



2 2 2 , BF ? BE , AB ? 2BF ? 2 , ) ? 2 2

【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极 限思想的应用,是中档题.. 133. 【答案】B 【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面 平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质. 【解析】 利用排除法可得选项 B 是正确的,∵ l ∥a, l ⊥β ,则 a ⊥β .如选项 A: l ∥a, l ∥β 时, a⊥β 或 a∥β ;选项 C:若 a⊥ β , l ⊥a, l ∥β 或 l ? ? ;选项 D:若若 a⊥β , l ⊥a, l ∥β 或 l ⊥β .
134.

【答案】C 【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题,体现了对学生空间想象能力的综合考 查.【解析】由题意判断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥 的高由侧视图可得为 3,所以三棱锥的体积为 ?

1 1 ? 1? 2 ? 3 ? 1 . 3 2

135.

[答案]A [解析]以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴,则

???? ??? ? AO ? PO 2 2 2 1 3 ,A ( cos ?AOP ? ? R,0, R), P( R, R,0) 2 R 4 2 2 2 2

? ?AOP ? arccos

? 2 2 ? AP ? R ? arccos , 4 4

[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、 立体几何、 三角函 数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎 实的数学基本功. 136. [答案]C [解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也 可能相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两 个平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错; 故选项 C 正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课 本基础知识的定 义、定理及公式. 137. 画出三视图,故 B 138. B 139. 【命题意图】 本 主要考查简单几 何体的三视图及 体积计算,是简单 题.

【解析】由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为 6,这边上高为 3,棱锥 的高为 3,故其体积为 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9,故选 B.
140.

1 1 3 2

【答案】C 【解析】本题的主视图是一个六棱柱,由三视图可得地面为变长为 1 的正六边形,高为 1,则直接带公式可求该直六棱柱的体积是: 2 ?

1 (3 ? 1) ?1?1 ? 4 ,故选 C. 2

【考点定位】 本题是基础题,考查三视图与地观图的关系,注意几何体的位置与放法是解 题的关键,考查空间想象能力,转化思想、计算能力. 141. 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图 均如图 1 所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直 四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是该几何体的俯视 图,D 不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图 的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 是近年来热点题型.
142. 解析:C.该几何体下部分是半径为 3,高为 4 的圆锥,体积为 V ? ? ? ? 32 ? 4 ? 12? ,上

1 3

部分是半球,体积为 V ? ? ? ? ? 33 ? 18? ,所以体积为 30? .
143. 【答案】D

1 4 2 3

【解析】分别比较 A、B、C 的三视图不符合条件,D 符合 【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图,考查空间想象能力、逻辑推理能力. 144. 答案 D 【命题意图】 本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解.体现 了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可. 【解析】连结 AC, BD 交于点 O ,连结 OE ,因为 O, E 是中点,所以 OE // AC1 ,且

OE ?

1 AC 1 ,所以 AC1 // BDE ,即直线 AC1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 2

的距离,过 C 做 CF ? OE 于 F ,则 CF 即为所求距离.因为底面边长为 2,高为 2 2 ,所 以 AC ? 2 2 , OC ?

2, CE ? 2 , OE ? 2 , 所 以 利 用 等 积 法 得 CF ? 1 , 选 D.

145. 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面 的 面 积 之 和 . 利 用 垂 直 关 系 和 三 角 形 面 积 公 式 , 可 得: S底 ? 10, S后 ? 10, S右 ? 10, S左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积 S ? 30 ? 6 5 ,故选 B. 【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体 积而今年者的是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力.
二、填空题 146. 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合

体.长方体的体积为 3 ? 4 ? 2 ? 24 ,五棱柱的体积是

(1 ? 2) ? 1 ? 4 ? 6 ,所以几何体的 2

总体积为 30 . 147. [答案]90? [解析]方法一:连接 D1M,易得 DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以,DN⊥平面 A1MD1, 又 A1M ? 平面 A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为 90? 方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 D—xyz. 设正方体边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, DN ? 0,2,1 MA ? 2, 1,2) ( ), 1 ( ? 所以,cos< ? DN, 1 ? ? MA

DN ? MA1 = 0,故 DN⊥D1M,所以夹角为 90? | DN || MA1 |

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平 面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 2 148. [解析] 2?r=2?,r=1,S 表=2?rh+2?r =4?+2?=6?.
149. 答案:

1 6

解析: V A? DED1 ? VE ? ADD1 ?

1 1 1 ? 1? ? 1? 1 ? . 3 2 6

150. 【答案】 3

3

【解析】点 P、A、B、C、D为球O内接长方体的顶点,

球心O为该长方体对角线的中点, 1 ??OAB的面积是该长方体对角面面积的 , 4
1 ? AB ? 2 3, PA ? 2 6, PB ? 6, OABD面积= ? 2 3 ? 6=3 3 ? ?? 4
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能 力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手, 注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了. 151. 【答案】12+π 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体,其中长方体

的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,高位 1,所以该几何体的体积为

3 ? 4 ?1 ? ? ?1?1 ? 12 ? ?
【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式,考查空间想象能力、运算求 解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状, 然后再根据几何体的形状计算出体积. 152. 12? 【解析】由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为 2,高为 1) 与 中 间 一 个 圆 柱 ( 底 面 圆 半 径 为 1, 高 为 4) 组 合 而 成 , 故 该 几 何 体 的 体 积 是

V ? ? ? 22 ?1? 2 ? ? ?12 ? 4 ? 12? .
【点评】 本题考查圆柱的三视图的识别,圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身 边的实物都是由什么几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图 为背景,考查常见组合体的表面积.
153. 答案

3 5

【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问 题. 【解析 】首先根据已知条件 ,连接 DF ,则 由 D1F / / AE 可知

?DFD 或其补角为异面直线 AE 与 D1F 所成的角,设正方体的 1
棱长为 2,则可以求解得到 DF ? D1F ? 5, DD1 ? 2 ,再由余弦 定理可得 cos ?DFD1 ?

D1F 2 ? DF 2 ? D1D2 5 ? 5 ? 4 3 ? ? . 2D1F ? DF 2?5 5

154. 【解析】正确的是②④⑤

②四面体 ABCD 每个面是全等三角形,面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180? ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 155. 【解析】表面积是 56 该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱几何体的的体 积是 V ?
三、解答题 156. 【答案】:(Ⅰ)(Ⅱ)

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? 4 ? 56 2 1 3
, 所 以 异 面 直 线 CC1 和 AB 的 距 离 为

【解析】:(Ⅰ)如答(20)图 1,因 AC=BC, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB.又直三棱柱 中 , CC1 ? 面 ABC , 故 CC1 ? CD

CD= BC2 ? BD2 ? 5
(Ⅱ):由 CD ? AB,CD ? BB1 , 故 CD ? 面 A ABB1 1 ,从而 CD ? DA1 , CD ? DB1

故 ?A DB1 为所求的二面角 A1 ? CD ? B1 的平面角. 1 因 A D 是 AC 在面 A ABB1 上的射影,又已知 AB1 ? A C, 由三垂线定理的逆定理得 1 1 1 1

AB1 ? A1D, 从而 ?A1 AB1 , ?A1DA 都与 ?B1 AB 互余,因此 ?A1 AB1 ? ?A DA,所以 1 Rt? A AD≌ Rt? B1 A1 A ,因此 1
2 2

AA1 A1B1 得 AA 2 ? AD ? A B1 ? 8 ? 1 1 AD AA1

从而 A1 D = AA1 ? AD ? 2 3, B1 D ? A1D ? 2 3 所以在 ? A DB1 中,由余弦定理得 cos A1DB1 ? 1

A1D2 ? DB12 ? A1B12 1 ? 2 A1D ? DB1 3

157. 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行,线面垂直和线面角的计算,注重

与平面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力. (1)(i)因为 C1B1 / / A D1 , C1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C1 B1 / / 平面 ADD1 A1. 1 又因为平面 B1C1EF ? 平面 ADD1 A1= EF ,所以 C1B1 / / EF .所以 A1D1 / / EF .

(ii)

因为 BB1 ? A B1C1D1 ,所以 BB1 ? B1C1 , 1

又因为 BB1 ? B1 A ,所以 B1C1 ? ABB1 A1 , 1 在 矩 形

ABB1 A1



,F



AA







,



tan ?A1B1F ? tan ?AA1B ?

2 .即 2

?A1B1F ? ?AA1B ,故 BA1 ? B1F .
所以 BA ? 平面 B1C1EF . 1 (2) 设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H . 由(1)知 B1C1EF ,所以 ?BC1 H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 ABB1 A 1 中, AB ? 2 , AA ? 2 ,得 BH ? 1

4 4 ,在直角 ? BHC1 中, BC1 ? 2 3 , BH ? ,得 6 6

sin ?BC1H ?

30 BH 30 ,所以 BC 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 . ? 15 BC1 15

158. 解:(1)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,因为底面

ABCD 是矩形,所以 AD ? BC ,且 AD / / BC ,
又因为 AD ? PD ,故 ? PAD 或其补角是异面 直线 PA 与 BC 所成的角. 在 Rt ?PDA 中, tan ?PAD ?

PD ? 2 ,所以异 AD

面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2. (2) 证 明 : 由 于 底 面 ABCD 是 矩 形 , 故 AD ? CD ,又由于 AD ? PD , CD ? PD ? D ,因此 AD ? 平面 PDC ,而 AD ? 平面 ABCD ,所以平面 PDC ? 平面 ABCD . (3) 在 平 面 PDC 内 , 过 点 P 作 PE ? CD 交 直 线 CD 于 点 E , 连 接 EB . 由 于 平 面 PDC ? 平面 ABCD ,由此得 ?PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 在 ?PDC 中, PD ? CD ? 2, PC ? 2 3 ,可得 ?PCD ? 30? 在 Rt ?PEC 中, PE ? PC sin 30? ? 3 由 AD / / BC, AD ? 平面 PDC ,得 BC ? 平面 PDC ,因此 BC ? PC 在 Rt ?PCB 中, PB ?

PC2 ? BC 2 ? 13 ,在 Rt ?PEB 中, sin ?PBE ?
39 . 13

PE 39 ? PB 13

所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

159. [解析](1)连接 OC. 由已知, ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角

设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 , AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD ? CD ? 1 ? 12 ? 13 .
2 2

在 Rt ?OCP中, ?OPC ? tan

OP 3 39 ? ? OC 13 13

(2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? 平面 PAB. 据三垂线定理可知,CE⊥PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角. 由(1)知,DE= 3

在 Rt△CDE 中,tan ?CED ?

CD 2 3 ? ?2 DE 3

故 二面角B — AP — C的大小为arctan2 [点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象 能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找 现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面 角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).
160. [解](1) S?ABC

? 1 ? 2? 2 3 ? 2 3 , 2

P

三棱锥 P-ABC 的体积为

V ? 1 S?ABC ? PA ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 4 3 3 3 3
(2)取 PB 的中点 E,连接 DE、AE,则 ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角 在三角形 ADE 中,DE=2,AE= 2 ,AD=2,
2 ? cos?ADE ? 2 2?2?2 2 ? 3 ,所以∠ADE= arccos3 . 4 ? 4
2 2

E A B

D

C

因此,异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是 arccos3 4

161.

162. 证明:(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 CO ? BD ,

又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN ,∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB .由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, 所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB ,所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,又 DM ? 平面 MND,故 DM∥平面 BEC. 另 证 : 延 长 AD, BC 相 交 于 点 F , 连 接 EF. 因 为 CB=CD, ?ABC ? 90 .
0

因为△ ABD 为正三角形,所以 ?BAD ? 600 , ?ABC ? 900 ,则 ?AFB ? 300 , 所以 AB ?

1 AF ,又 AB ? AD , 2

所以 D 是线段 AF 的中点,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知 DM // EF , 而 DM ? 平面 BEC, EF ? 平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 163. 【答案与解析】 (1) 证明:取 A ' B ' 中点 P,连结 MP,NP,而 M,N 分别是 A B ' 与 B ' C ' 的中点,所以, MP ∥ A A ' ,PN ∥ A ' C ' , 所 以 ,MP ∥ 平 面 A ' AC C ' ,PN ∥ 平 面

A ' AC C ' ,又 MP ? NP ? p ,因此平面 MPN∥平面 A ' AC C ' ,而
MN ? 平面 MPN,所以,MN∥平面 A ' AC C ' ,

【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考 查空间想象能力、 推理论证能力、 运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行 来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面 是关键,也可以采用割补发来球体积. 164. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积 计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】 (Ⅰ)由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A , 1 ∵ DC1 ? 面 ACC1 A ,∴ DC1 ? BC , 1 由题设知 ?A DC1 ? ?ADC ? 450 ,∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC , 1
0



又∵ DC ? BC ? C , ∴面 BDC ⊥面 BDC1 ;

∴ DC1 ⊥面 BDC ,

∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得, V1 = ? 由三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1,

1 1? 2 1 ? 1? 1 = , 3 2 2

∴ (V ? V1 ) : V1 =1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 法二:(I)证明:设 AC ? BC ? a ,则 AA ? 2a , 1 因侧棱垂直底面,即 DA ? 平面ABC ,所以 DA ? AC , 又 D 是棱 AA1 的中点,所以 DA ?

1 AA1 ? a 2

在 Rt?DAC 中,由勾股定理得: DC ? 同理 DC1 ?

2a ;

2 a ,又 C1C ? A1 A ? 2a ,
2

所以: DC 2 ? DC1 ? C1C 2 , 即有 C1 D ? CD ??(1) 因 A1 A ? 平面 ABC ,所以 A1 A ? BC ,
0 又 ?ACB ? 90 , 所 以

AC ? BC , 所 以 BC ? 侧 面 A C CA1 , 而 C1 D ? 平 面 1

A C CA1 , 1
所以: BC ? C1 D ??(2) ;由(1)和(2)得: C1 D ? 平面 BCD , 又 C1 D ? 平面 BC1 D ,所以平面 BDC1 ? 平面 BDC (II) 平面 BDC1 分此棱柱的下半部分可看作底面为直角梯形 ACC1 D ,高为 BC 的一个 四棱锥,其体积为: V下 ? VB ? ACC1D ?

1 1 ? a ? 2a ? 1 ? S ACC1D ? BC ? ? ? ? a ? ? a ? a3 , 3 3 ? 2 2 ?
1 ? a ? a ? 2a ? a 3 , 2 1 3 a 2

该四棱柱的总体积为 V ? S ?ABC ? A1 A ?

所以,平面 BDC1 分此棱柱的上半部的体积为 V上 ? V - V下 ?

所以 ,所求两部分体积之比为 1 : 1 165. 【解析】(1)由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3,GF=4,又因为 EF=5,所以可得

EG ? GF
又因为 CF ? 底面EGF ,可得 CF ? EG ,即 EG ? 面CFG 所以平面 DEG⊥平面 CFG.

(2) 过 G 作 GO 垂 直 于 EF,GO 即 为 四 棱 锥 G-EFCD 的 高 , 所 以 所 求 体 积 为

1 1 12 S正方形DECF ? GO ? ? 5 ? 5 ? ? 20 3 3 5
166. 【解析】(Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD.

又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30? . 由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30? ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

?

? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形 AOD 中, OD ?

2 , AD ? 2 2, 2

所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?
P

A

D

E B

C

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第 一问只要证明 BD ? 平面 PAC 即可,第二问由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ?

1 ? S ? PA 算得体积. 3

167.

【 解 析 】 (1) 因 为 四 棱 柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 的 侧 面 是 全 等 的 矩 形 , 所 以

AA2 ? AB, AA2 ? AD
又因为 AB ? AD ? A ,所以 AA2 ? 平面 ABCD 连接 BD ,因为 BD ? 平面 ABCD ,所以 AA2 ? BD 因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD .根据棱台的定义可知, BD 与 B1D1 共面. 又 已 知 平 面 ABCD / / 平 面 A1 B1 C1 D1 且 平 面 BB1D1D ? 平 面 ,

ABCD ?

BD

平面 BB1D1D ? A1B1C1D1 ? B1D1 ,所以 B1D1 / / BD ,于是 由 AA2 ? BD, AC ? BD, B1D1 / / BD ,可得 AA2 ? B1D1 , AC ? B1D1 又因为 AA2 ? AC ? A ,所以 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 . (2)因为四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以

S1 ? SA2B2C2D2 ? S四个侧面 ? ( A2 B2 )2 ? 4 AB ? AA2 ? 102 ? 4 ?10 ? 30 ? 1300(cm2 )
又因为四棱台 A B1C1D1 ? ABCD 的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所 1 以

1 S2 ? S A1B1C1D1 ? S四个侧面梯形 ? ( A1B1 ) 2 ? 4 ? ( AB ? A1B1 )h等腰梯形的高 2 1 1 ? 202 ? 4 ? (10 ? 20) 132 ? [ (20 ? 10)]2 ? 1120(cm2 ) 2 2
于是该实心零部件的表面积为 S ? S1 ? S2 ? 1300 ? 1120 ? 2420(cm2 ) ,故所需加工处 理费为 0.2S ? 0.2 ? 2420 ? 484 (元) 【点评】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与 划归的能力.线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方 法;四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各 边长即可.来年需注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查. 168. 解析:(Ⅰ)因为 AB ? 平面 PAD , PH ? 平面 PAD ,所以 AB ? PH .又因为 PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高,所以 PH ? AD . AB ? AD ? A , AB ? 平面 ABCD , AD? 平面 ABCD ,所以 PH ? 平面 ABCD . ( Ⅱ ) S ?BCF ?

1 1 2 FC ? AD ? ? 1 ? 2 ? , 因 为 E 是 PB 2 2 2

的中点, PH ? 平面 ABCD ,所以点 E 到平面 ABCD 的距离等于
E ? BCF 的高 h ?

1 1 PH ? ,即三棱锥 2 2

1 1 2 1 2 1 ? ? ,于是 VE ? BCF ? S ?BCF ? h ? ? . 3 3 2 2 12 2

GE (Ⅲ)取 PA 中点 G ,连接 GD 、 .因为 E 是 PB 的中点,所以 GE ?

1 AB 且 GE ∥ AB . 2

而 F 是 DC 上的点且 DF ?

1 AB , DF ∥ AB ,所以 GE ? DF 且 GE ∥ DF .所以四边形 2 GDFE 是平行四边形,所以 EF ∥ GD .而 PD ? AD ,所以 GD ? PA .又因为 AB ? 平面 PAD , GD ? 平面 PAD ,所以 AB ? GD .而 AB ? PA ? A , AB ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB ,所以 GD ? 平面 PAB ,即 EF ? 平面 PAB .

169. 【考点定位】本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识,

考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想. 【解析】(1)又长方体 AD ? 平面 CDD1C1 .点 A 到平面 CDD1C1 的距离 AD=1, ∴ S? MCC1 =

1 1 1 1 CC1 ? CD = ?2?1=1 ,∴ VA? MCC1 ? AD ? S? MCC1 ? 2 2 3 3

(2)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转动 90°展开,与侧面 ADD1 A 共面.当 A1 ,M,C 共线 1 时,

A1M +MC 取得最小值 AD=CD=1 , AA1 =2 得 M 为 DD1 的中点连接 M C1 在 ? MCC1
中, MC1 =MC= 2 , CC1 =2, ∴ CC12 = MC12 + MC
2

, ∴∠ CMC1 =90°,CM⊥ MC1 , ∵AM∩MC=C

∵ B1C1 ⊥平面 CDD1C1 ,∴ B1C1 ⊥CM

∴CM⊥平面 B1C1M ,同理可证 B1M ⊥AM ∴ B1M ⊥平面 MAC
170. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的

运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加 以证明和求解. 解:设 AC ? BD ? O ,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴建立空间直角坐标系,则

A(? 2,0,0), C( 2,0,0), P(? 2,0,2), 设 B(0, ?a,0), D(0, a,0), E( x, y, z) .
E(


(



)





:



PE ? 2 EC

2 2 , 0, ) 3 3

,





??? ? PC ? (

2

?2

??? ? 2 2 BE ? ( , a, ) ,, 0 , 2 ) 3 3

,

??? ? BD ? (0,2a,0)

,





??? ????? 2 2 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? ( , a, ) ? 0 3 3 ,

??? ??? ? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ? PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 .所以 PC ? BE, PC ? BD ,所以 PC ? 平面
BED ;
( Ⅱ ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 又 AP ? (0,0,2), AB ? ( 2, ?a,0) , 由

?

??? ?

??? ?

? 2 ? ??? ? ? ??? ? ?? n ? (1, , 0) n ? AP ? 0, n ? AB ? 0 得 a , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z), 又

?? 2 ??? ? ??? ? ?? ??? ? ?? ??? ? m ? (1, ? , 2) BC ? ( 2, a,0), CP ? (?2 2,0,2) ,由 m ? BC ? 0, m ? CP ? 0 ,得 a , ?? ? ? m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 . 由于二面角 A ? PB ? C 为 90 ,所以 ??? ? ?? PD ? ( 2 , 2 ? 2) 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? (1,? 1, 2 , 所 以 PD 与 平 面 , , ) 所以
???? ??? ? | PD ? m | 1 ? ???? ??? ? ? ? | PD | ?| m | 2 ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 6 . PBC 所成角的正弦值为
【点评】 试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特 殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点 E 的位置的选择 是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间 直角坐标系解决该问题为好. 171. 【考点定位】本题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利 解决.第三问的创新式问法,难度比较大. 解:(1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC.又因为 DE ? 平面 A1CB,所以 DE∥平 面 A1CB. (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD.所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F ? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE.所以 A1F⊥BE (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图, 分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知 DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP,所以 A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ.
172. 【解析】(I)连接 AC , AE / /CC1 ? E, A, C, C1 共面

长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形

AC ? BD, EA ? BD, AC ? EA ? A ? BD ? 面 EACC1 ? BD ? EC1

(Ⅱ)在矩形 ACC1 A 中, OE ? EC1 ? ?OAE ? ?EAC1 1 1 得:

AE AC1 2 AA1 ? 2 ? 1 ? ? ? AA1 ? 3 2 AO EA1 2 2 2
2012 年高考文科数学解析分类汇编:平面向量

一、选择题 173 . (2012 年高考(重庆文) 设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a )

?

?

?

? ? ? ? b ,则 | a ? b |?
( )

A. 5

B. 10

C. 2 5

D. 10 ( )

174 . (2012 年高考(浙江文) 设 a,b 是两个非零向量. )

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|
175 . (2012 年高考 (天津文) 在 ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 1 ,设点 P, Q 满 )

足 AP ? ? AB, AQ ? (1 ? ? ) AC, ? ? R .若 BQ ? CP ? ?2 ,则 ? ? ( A. )

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

? ? ? ? a b 176 . (2012 年高考(四川文) 设 a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? ? 成立的 ) |a| |b|
充分条件是 ( )

1 3

B.

2 3

C.

4 3

D.2

? ? ? ? ? ? A. | a |?| b | 且 a // b B. a ? ?b

? ? C. a // b

? ? D. a ? 2b
( )

177 . (2012 年高考(辽宁文) 已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ?b = 1,则 x = )

A.—1

B.—

178 . (2012 年高考(广东文) (向量、创新)对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 )

1 2

C.

1 2

D.1

? ?? ?

? ?? ? ?? ,若平面向量 a 、 b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ? ,且 a ? b 和 ? ?? ? 4?
?n ? n ? Z ? 中,则 a ? b ? ?2 ?
B.1 C. ( )

b ? a 都在集合 ?

5 2 ???? ??? ? ??? ? 179 . (2012 年高考(广东文) (向量)若向量 AB ? ?1,2? , BC ? ? 3,4? ,则 AC ? )
A. D.

1 2

3 2





A. ? 4,6 ?

B. ? ?4, ?6?

C. ? ?2, ?2?

D. ? 2, 2 ?

180 . (2012 年高考(福建文) 已知向量 a ? ( x ?1, 2),b ? )

?

?

? ? (2,1),则 a ? b 的充要条件是
( ) D. x ? 0

A. x ? ?
181

1 2

B. x ? ?1

C. x ? 5

.( 2012 年 高 考 ( 大 纲 文 )) ?ABC 中 , AB 边 的 高 为 CD , 若 ??? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ( ) CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?

A. a ?
二、填空题

1? 3

1? b 3

B.

2? 2? a? b 3 3

C.

3? 3? a? b 5 5

D.

4? 4? a? b 5 5

182. (2012 年高考 (浙江文) 在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________. ) 183. (2012 年高考(上海文) 在知形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别是 )

??? ???? ?

边 BC、CD 上 的点,且满足

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是_________ . ? | BC | | CD |
0

184. (2012 年高考(课标文) 已知向量 a , b 夹角为 45 ,且| a |=1,| 2a ? b |= )

10 ,则

| b |=_______.
185 . 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) 设 单 位 向 量 ( )

?? ? ?? ? m ? ( x, y) , b? ( 2 , 。 若 m ? b , 则 ? 1)

| x ? 2 y |? _______________。
186. (2012 年高考(湖南文) 如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 )

??? ??? ? ? AP?AC = _____.
A P B C D

187. (2012 年高考(湖北文) 已知向量 a ? (1,0), b ? (1,1) ,则 )

?

?

(Ⅰ)与 2a ? b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b ? 3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________.
188. 2012 年高考 ( (北京文) 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB )

? ? ?

?

?

???? ??? ?

的值为________.

189. (2012 年高考(安徽文) 设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m) ,若 (a ? c) ⊥ b , )

?

?

?

? ?

?

则 a ? _____ .

?

2012 年高考文科数学解析分类汇编:平面向量参考答案 一、选择题 173.

【答案】B
2 2 【解析】a ? b ? a ? b ? 0 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2 , | a ? b |?| (2,1) ? (1, ?2) |? 3 ? (?1) ? 10

?

?

? ?

? ?

【考点定位】 本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题, 只要计算正确即可得到全分. 174. 【答案】C 【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的 垂直关系. 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实 数λ ,使得 a=λ b.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥ b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数λ ,使得 a=λ b,a,b 可为同向的 共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
175.

【 解 析 】 如 图 , 设 AB ? b, AC ? c

, 则 b ? 1, c ? 2, b ? c ? 0 , 又

BQ ? BA ? AQ ? ?b ? (1 ? ?)c , CP ? CA ? AP ? ?c ? ?b , 由 BQ ? CP ? ?2 得
[?b ? (1 ? ? )c] ? (?c ? ?b) ? (? ? 1) c ? ? b ? 4(? ? 1) ? ? ? ?2 ,即 3? ? 2, ? ?
176.
2 2

2 ,选 B. 3

[答案]D

? ? a b [解析]若使 ? ? ? 成立,则 a与b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 D. |a| |b|
[点评]本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考 易错零向量,其模为 0 且方向任意. 177. 【答案】D 【解析】? a ? b ? 2 ? x ? 1,? x ? 1 ,故选 D 【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题.
178.

解 析 :C. a ? b ?

b a ?b a k k ? cos? ? 1 , b ? a ? cos? ? 2 , 两 式 相 乘 , 可 得 b?b b a 2 2

kk 1 ? ?? 因为 ? ? ? 0, ? ,所以 k1 、 k 2 都是正整数,于是 ? cos2 ? ? 1 2 ? 1 ,即 2 ? k1k2 ? 4 ,所以 2 4 ? 4?
k1k2 ? 3 .而 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3 , k2 ? 1 ,于是 a ? b ?
179. 180.

3 . 2

??? ??? ??? ? ? ? 解析:A. AC ? AB ? BC ? ? 4,6? .
【解析】有向量垂直的充要条件得 2(x-1)+2=0 所以 x=0 .D 正确 【答案】D 【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质.

181.

答案 D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角 形求解点 D 的位置的运用. 【解析】 a ? b ? 0 可得 ?ACB ? 90? ,故 AB ? 5 ,用等面积法求得 CD ? 由

? ?

2 5 ,所以 5

AD ?
二、填空题

???? 4 ??? 4 ??? ??? ? ? ? 4? 4? 4 5 ,故 AD ? AB ? (CB ? CA) ? a ? b ,故选答案 D 5 5 5 5 5

182. 【答案】-16

【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用. 【 解 析 】 由 余 弦





A

2

?

B

2

?2A

M2 ?

c

B o?

M s

2 ?A , 5 M 2 ?

3B

?

M

AC 2 ? AM 2 ? CM 2 ? 2 AM ? CM cos ?AMC ? 32 ? 52 ? 2 ? 5 ? 3cos ?AMC

, 为

?AMB ? ?AMC ? 1800

,











AC 2 ? AB2 ? 2 AM 2 ? 2CM 2 ? 2 ? (32 ? 52 ) ? 68 ,
cos ?BAC ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AC 2 ? 102 68 ? 100 ? ? , 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? AC
68 ? 100 ? ?16 . 2 ? AB ? AC

??? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? AB ? AC ? AB AC cos ?BAC ? AB AC ?

183. [解析] 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(2,1).



| BM | | CN | ? ? t ?[0,1],则 | BM |? t , | CN |? 2t , | BC | | CD |

y D 1 A (O) N C M B
2

所以 M(2,t),N(2-2t,1),

x

故 AM ? AN =4-4t+t=4-3t=f(t),因为 t?[0,1],所以 f (t)递减, 所以( AM ? AN )max= f (0)=4,( AM ? AN )min= f (1)=1.
184. 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.
2 b 2 【解析】∵| 2a ? b |= 10 ,平方得 4a ? 4a? + b ? 10 ,即 | b |2 ?2 2 | b | ?6 ? 0 ,解

得| b |= 3 2 或 ? 2 (舍)
185. 【答案】

5
2 2

【解析】由已知可得 2 x ? y ? 0 ,又因为 m 为单位向量所以 x ? y ? 1 ,联立解得

? ?x ? ? ? ?y ? ? ?

? 5 5 ?x ? ? 5 或? 5 代入所求即可. ? 2 5 ? 2 5 ?y ? ? 5 5 ?

【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件. 186. 【答案】18 【解析】设 AC ? BD ? O ,则 AC ? 2( AB ? BO) , AP?AC = AP? 2( AB ? BO) ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? 2 ? 2 AP?AB ? 2 AP?BO ? 2 AP?AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 .
【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思 想、等价转化思想等数学思想方法.
187. ( Ⅰ ) ? ?

? 3 10 10 ? 2 5 , ? ;( Ⅱ ) ? ? 10 ? 5 ? 10

【 解 析 】 ( Ⅰ ) 由 a = ?1,0? , b = ?1,1? , 得

? x 2 ? y 2 ? 1, 2a ? b 同向的单位向量为 c = ? x, y ? ,则 ? 且 x, y ? 0 , 2a ? b = ?3,1? .设与 ?3 y ? x ? 0,

? 3 10 , ?x ? ? 10 故 c = ? 3 10 , 10 ? . 即 与 2a ? b 同 向 的 单 位 向 量 的 坐 标 为 解得 ? ? ? ? 10 10 ? 10 ? ? ?y ? . ? 10 ?
?3 10 10 ? , ? ?. ? 10 1 0? ? ?
(Ⅱ)由 a = ?1,0? , b = ?1,1? ,得 b ? 3a = ? ?2,1? .设向量 b ? 3a 与向量 a 的夹角为 ? ,则

cos ? ?

? b ? 3a ??a ? ? ?2,1???1, 0 ? ? ? 2
b ? 3a a 5 ?1

5 5

.

【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同 向的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般有 2 个,它包含同向与反向 两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性 问题的考查. 188. 【答案】 1 ; 1 【 解 析 】 根 据 平 面 向 量 的 点 乘 公 式 DE? CB? DE DA| ? ?

???? ??? ?
,

???? ????


???? ???? DE?| DA ? , 可 知 | | cos


???? ???? | DE | cos ? |DA | ?
? D ? |
????
2

; E ? DC ?| DE | ? | DCC ? ?| DE1? cos ? B | DE | cos ? 就 ,而 DE ? | | cos ?|

???? ???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

?

??? ?

?

D

是向量 DE 在 DC 边上的射影,要想让 DE ? DC 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点

????

???? ????

重合,射影为 | DC | ,所以长度为 1 【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含 动点问题,考查学生最值的求法.
189. 【解析】a ?

????

?

2

? ? ? ? ? ? 1 a ? c ? (3,3m),(a ? c)?b ? 3(m ? 1) ? 3m ? 0 ? m ? ? ? a ? 2 2 2012 年高考文科数学解析分类汇编:三角函数

一、选择题

sin 47? ? sin17? cos 30? 190 . (2012 年高考(重庆文) ) cos17?
A. ?





3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

191 . (2012 年高考(浙江文) 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 )

倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

192 . (2012 年高考 (天津文) 将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图像向右平移 )

所得图像经过点 ( A.

3? , 0) ,则 ? 的最小值是 4
B.1 C.

? 个单位长度, 4
( )

5 D.2 3 193 . (2012 年高考(四川文) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 , ) 连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( )
D C

1 3

3 10 A. 10

10 B. 10

5 C. 10
2 2

5 D. 15
2

194 . (2012 年高考(上海文) 在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是 B ) E A

A.钝角三角形.

B.直角三角形.

C.锐角三角形.

( D.不能确定.



? ? 195 . (2012 年高考(陕西文) 设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 )
A

2 2

B

1 2

C.0

D.-1

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 196 . (2012 年高考(山东文) 函数 y ? 2sin ? ) 3? ? 6

( A. 2 ? 3 B.0 C.-1 D. ?1 ? 3



197 . (2012 年高考(辽宁文) 已知 sin ? ? cos ? )

? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (
2 2
D.1



A. ? 1

B. ?

2 2

C.

198 . 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) 已 知 ? >0, 0 ? ? ? ? , 直 线 ( )

x=

5? ? 和x= 是函数 4 4
( )

f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 ? =
π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4

199. (2012 年高考(江西文) 若 )

A.-

3 4

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α = sin ? ? cos ? 2 3 4 B. C.4 3

( D.



4 3

200. (2012 年高考(湖南文) 在△ABC 中,AC= )

7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于
( )

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

201. (2012 年高考(湖北文) 设 ?ABC 的内角 A, B, C, 所对的边分别为 a, b, c ,若三边的长 )

为连续的三个正整数,且 A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为 ( A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4



202. (2012 年高考(广东文) (解三角形)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 , )

则 AC ? A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D.





203. (2012 年高考(福建文) 函数 f ( x ) ? sin( x ? )

?
4

3 2
( )

) 的图像的一条对称轴是

A. x ?

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2
( )

3 204. (2012 年高考(大纲文) 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? ) 5 24 12 12 24 A. ? B. ? C. D. 25 25 25 25

205 . 2012 年 高 考 ( 大 纲 文 ) 若函 数 f ( x) ? sin ( )

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 是 偶 函数 ,则 ? ? 3
( ) D.

A.

? 2

B.

2? 3

C.

3? 2

5? 3

206. (2012 年高考(安徽文) 要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的 )

图象 A.向左平移 1 个单位

( B.向右平移 1 个单位 D.向右平移



1 C.向左平移 个单位 2
二、填空题

1 个单位 2

207. (2012 年高考(重庆文) 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,且 )

a =1,b=2, C ? cos

1 ,则 sin B ? ____ 4

208. (2012 年高考(陕西文) 在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 )

a=2 ,B=

? ,c=2 3 ,则 b=______ 6
3 ,则

209. (2012 年高考(福建文) 在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ? )

AC ? _______.
210. (2012 年高考 (大纲文) 当函数 y ? sin x ? )

3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取最大值时, x ? ____.
3 , ?A ?

211. (2012 年高考(北京文) 在△ABC 中,若 a ? 3 , b ? )

?
3

,则 ?C 的大小为

___________.
三、解答题 212. (2012 年高考(重庆文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数 )

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图

? (I) 求 f ( x ) 的 解 析 式 ; (II) 求 函 数 2

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域.

213.2012 年高考 ( (浙江文)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= )

3 acosB.

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

214 . 2012 年 高 考 ( 天 津 文 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 分 别 是 a, b, c . 已 知 ( )

a ? 2, c ? 2 , cos ? ? A
(I)求 sin C 和 b 的值;

2 . 4
(II)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值.

215. (2012 年高考(四川文) 已知函数 f ( x) ? cos )

2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

216. (2012 年高考(上海文) 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原 )

点,以正北方向为 y 轴 正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y P y ? 12 x2 ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 49 援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

O A

x

217. 2012 年高考 ( (陕西文) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? )

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

? , 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

218. (2012 年高考(山东文) (本小题满分 12 分) )

在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan Atan C . (Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列;

(Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

219. (2012 年高考(辽宁文) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等 )

差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

220 . 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) 已 知 a , b , c 分 别 为 ?ABC 三 个 内 角 A , B , C 的 对 ( )

边, c ? 3a sin C ? c sin A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c .
221 . 2012 年 高 考 ( 江 西 文 ) △ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 ( )

3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

222. (2012 年高考(湖南文) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? )

?
2

的部

分图像如图 5 所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

223





2012

























f ( x) ? sin2 ? x ? 2 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x ? ?( x ? R) 的图像关于直线 x ? ? 对称,
其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( ,1) (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期;

1 2

(2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 (

?
4

, 0) ,求函数 f ( x) 的值域.

[来源:数理化网]

224 . 2012 年 高 考 ( 广 东 文 ) ( 三 角 函 数 ) 已 知 函数 f ? x ? ? A cos ? ( )

?x ?? ? ? , x? R , 且 ?4 6?

?? ? f ? ?? 2. ?3?
(Ⅰ)求 A 的值;

4 ? 30 2 ? 8 ? ?? ? ? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f ? 4? ? ? ? ? ? , f ? 4 ? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 3 ? 17 3 ? 5 ? 2? ? ?

225. (2012 年高考(福建文) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 )

一个常数. (1) sin 13? ? cos17? ? sin13? cos17?
2

(2) sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15?
2

(3) sin 18? ? cos12? ? sin18? cos12?
2

(4) sin (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?)cos 48?
2

(5) sin (?25?) ? cos55? ? sin(?25?)cos55?
2

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

226.2012 年高考 ( (大纲文) ?ABC 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a, b, c 满足 2b ? 3ac , )
2

求A.

227. (2012 年高考(北京文) 已知函数 f ( x) ? )

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

228 . 2012 年 高 考 ( 安 徽 文 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 为 a, b, c , 且 有 ( )

2 s i n c oA? s i n c o s B s A C ? c o s Cs i n A (Ⅰ)求角 A 的大小; (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

2012 年高考文科数学解析分类汇编:三角函数参考答案 一、选择题 190.

【答案】:C 【解析】:

sin 47? ? sin17? cos30? sin(30? ? 17? ) ? sin17? cos30? ? cos17? cos17?

?

sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17? cos 30? sin 30? cos17? 1 ? ? sin 30? ? ? ? cos17 cos17 2

【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用 47? ? 30? ? 17?
191.

【答案】A 【命题意图】 本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在 x 轴上的伸缩变换, 在 x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】 由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 即 解 析 式 为 y=cosx+1,向 左 平 移 一 个 单 位为 y=cos(x-1)+1,向 下 平 移 一个 单 位 为 y=cos(x-1),利用特殊点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 变为 ? ? 1,0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?

192. 【解析】 函数向右平移

? ? ? ?? ), 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ,0) ,所以 sin ? ( ? ) ? 0 ,即 ? ( ? )? ? k? , 所以 因为此时函数过点 ( 4 4 4 4 4 2

? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的最小值为 2,选 D.
193.

[答案]B

[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为? ED ? 1
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2
2 2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD
2 2 2

2 ED ? EC

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?
2 2

10 10

[点评]注意恒等式 sin α +cos α =1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负 情况.
194.

[ 解 析 ] 由 条 件 结 合 正 弦 定 理 , 得 a ?b ?c , 再 由 余 弦 定 理 , 得
2 2 2

所以 C 是钝角,选 A.
195.

解析: a ? b ? 0 , ?1 ? 2cos ? ? 0 , cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 0 ,故选 C.
2 2

? ?

196.

解析:由 0 ? x ? 9 可知 ?

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

7? ,可知 6

? ? 3 ??x ? ? sin( x ? ) ? [? ,1] ,则 y ? 2sin ? ? ? ? [? 3, 2] , 3? ? 6 6 3 2
则最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,答案应选 A.
197.

【答案】A 【解析】?sin ? ? cos ? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易 题. 198. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.

? 5? ? ? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ), = 4 2 ? 4 4 ? ? ∴ ? = k? ? ( k ? Z ),∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4 4
【解析】由题设知,
199. 【答案】B

【解析】 主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以 cos ? 可得 tan ? ? ?3 ,带入所求 式可得结果. 200. 【答案】B
2 2 2 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,

2 即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c ? 2c ? 3 ? 0,即(c -3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3.
2 ?

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S? ABC ?

1 1 AB?BC ? B ? BC ?h ,知 sin 2 2

1 1 3 3 ? 3 ? 2 ? sin 60? ? ? 2 ? h ,解得 h ? . 2 2 2
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内 容.
201. D 【 解 析 】 因 为 a, b, c 为 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且 A ? B ? C , 可 得 a ? b ? c , 所 以

a ? c ? 2, b ? c ?1①;又因为已知 3b ? 20a cos A ,所以 cos A ?
得 cos A ?

3b ②.由余弦定理可 20a

2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 3b b ? c? a ? ③, 则 由 ②③ 可 得 ④, 联 立 ①④, 得 20 a 2 c b 2bc

15 (舍去),则 a ? 6 , b ? 5 .故由正弦定理可 7 得, sin A : sin B : sin C ? a : b : c ? 6 : 5 : 4 .故应选 D.

7c 2 ? 13c ? 60 ? 0 ,解得 c ? 4 或 c ? ?

【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个

角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年 需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.
202.解析:B.由正弦定理,可得

3 2 2 AC BC ? ?2 3. ,所以 AC ? ? 2 sin 45? sin 60? 3 2

203. 【答案】C

【解析】把 x ? ?

?
4

代入后得到 f ( x) ? ?1 ,因而对称轴为 x ? ?

?
4

,答案 C 正确.

【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法.
204.答案 A

【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运 用. 【 解 析 】 因 为

? 为 第 二 象 限 角 , 故 cos ? ? 0 , 而 sin ? ?

3 , 故 5

4 24 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ,所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? ,故选答案 A. 5 25
205.答案 C

【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. 【解析】由 f ( x) ? sin

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称 3 ?

轴 , 而 三 角 函 数 的 对 称 轴 是 在 该 函 数 取 得 最 值 时 取 得 , 故

f (0) ? sin
时, ? ?

?
3

? ?1 ?

?
3

?
2

? k? ? ? ?

3? ,故选答案 C. 2

3? ? 3k? (k ? Z ) ,而 ? ??0, 2? ? ,故 k ? 0 2

206. 【解析】选 C 二、填空题 207. 【答案】:

y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移

1 2

15 4
析 】





a ? 1, b ? 2, cos C ?

1 4

, , 则





弦 , 即





得 , 故

1 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? ? 4 4

c?2

B?C

1 15 . sin B ? 1 ? ( )2 ? 4 4
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出 sin B 的值是本题的突破点,然后 利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.
208.解析:由余弦定理得, b = a + c - 2ac cos B = 4 ,所以 b = 2 . 209. 【答案】
2 2 2

2

【解析】由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.
210.答案:

5? 6

【命题意图】 本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三 角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. 【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

?

3 3 3? 11? ? ? 5? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值. 3 2 6 3 2 6

? x?

?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

211. 【答案】

? 2
c a ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? c ? 2 3 ,而 ,故 sin C ? 1 ? C ? . sin C sin A 2 2bc

【解析】 cos A ?

【考点定位】 本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定 理此二者会其一都可以得到最后的答案.
三、解答题 212. 【答案】:(Ⅰ) ? ?

?
6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?
213. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基

3 cos 2 x ? 1 2

础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】(1) ? bsinA= 3 acosB,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,即得

tan B ? 3 ,? B ?
(2) ?

?
3

.

sinC=2sinA, 由 正 弦 定 理 得 ,

c ? 2a

, 由 余 弦 定 理

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos

?
3

,





a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .
214. 解 :(1) 在 ?ABC 中 , 由

cos A ? ? 7 4
2

a c 2 14 ? , 可 得 sin A ? ,又由 及 s i nA s iC n 4 4

a ? 2 , c ? 2 ,可得 sin C ?
2 2 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1 . 所以 sin C ?

7 ,b ?1 4 cos A ? ? 2 4
,

(2)



sin A ?

14 4

,



3 7 cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? , sin A ? 2sin A cos A ? ? 4 4
所以 cos(2 A ?

?
3

) ? cos 2 A cos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

?

?3 ? 21 8

215. [解析](1)由已知,f(x)= cos

2

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

1 1 1 ? ( ? cosx ) sinx ? 1 ? 2 2 2

?

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ? 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 ). 5

所以 sin 2? ? ?cos (
2 ? 1 ? 2cos(? ?

?
2

? 2?) ?cos (? ? ? 2 18 7 ? , 25 25

?
4



?
4

) 1? ?

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、 两角和的正(余)弦公式、 二倍角公式等基础知 识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.
216. [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t

? 7 ,代入抛物线方程 y ? 12 x2 2 49

中,得 P 的纵坐标 yP=3 由|AP|=
949 2

,得救援船速度的大小为 949 海里/时
7

由 tan∠OAP= 3 ?212 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船

217. 218.解:(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,

sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ?
sin C ? 1 ? cos 2 C ? 7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4

∴△ ABC 的面积 S ?

219. 【答案与解析】

(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

解法二: b =ac ,

2

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B = = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
, sin A sin C =

所以 A=B =C =

?
3

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比 数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理 把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结 果. 220. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin A sin C ? sin C
由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?
6

)?

?
3

1 , 2

.

(Ⅱ) ?ABC 的面积 S =
2 2 2

1 bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2
2 2

而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2. 法二:解: 已知: c ? 3a ? sin C ? c ? cos A ,由正弦定理得:

sin C ? 3 sin A ? sin C ? sin C ? cos A
因 sin C ? 0 ,所以: 1 ?

3 sin A ? cos A ,
a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ? b ?? ? ? a ? 0 , tan? ? , ? ? ? 得 : a 2? ?

由 公 式 : a sin x ? b cos x ? [来源:

? ? ? ?? 1 ? ,所以: A ? sin? A ? ? ? ,? A 是 ? 的内角,所以 A ? ? 6 6 3 6? 2 ?
(2) S ?

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4

解得: b ? c ? 2

3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1
221. 【解析】(1) 3cos( B ? C ) ? ?1

则 cos A ?

cos(? ? A) ? ?

1 3

1 . 3

(2) 由(1)得 sin A ?

2 2 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理 3

cos A ?

?b ? 3 b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 9 1 ? ? ? 则 b2 ? c 2 ? 13 ②,①②两式联立可得 ? 或 2bc 12 3 ?a ? 2 ?

?a ? 3 ? . ? ?b ? 2 ?
222. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ?2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, ? = . 又? 0 ? ? ? ,? 即 2 6 6 3 6 6 A ( ) 又 点 0 , 1 在 函 数 图 像 上 , 所 以 As i n ? 1 , ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6
(Ⅱ)

?

?

6

2 , 故 函 数 f(x) 的 解 析 式 为

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?

? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

11? 5? 2? T ? 2( ? ) ? ? , 从而求得 ? ? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而 12 12 T
求出 f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单 调性求得. 223. 【解析】(1)因为

f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6
由直线 x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,可得 sin(2? x ? 所以 2? x ?

?

?
6

) ? ?1

k 1 ? (k ? Z ) 6 2 2 3 1 5 6? 又 ? ? ( ,1), k ? Z ,所以 k ? 1 时, ? ? ,故 f ( x ) 的最小正周期是 . 2 5 6 ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ?
(2)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( 即 ? ? ?2sin( ?

?

?

?

5 ? ? ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 6 2 6 4 5 ? 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x ) 的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的 能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重 要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

, 0) ,得 f ( ) ? 0 4 4

?

2?

?

来求解;

求三角函数的值域,一般先根据自变量 x 的范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三 角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.
224.解析:(Ⅰ) f ?

? 2 ?? ? ?1 ? ? ? A ? 2 ,所以 A ? 2 . ? ? A cos ? ? ? ? ? A cos ? 3? 4 3 6? 4 2 ? ?

?1 ? 4 ? 4 ? ?? ?? 30 ? ? (Ⅱ) f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? 4? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? , 所 以 3 ? 3 ? 6? 2? 17 ? ? ?4?

sin ? ?

?1 ? 2 ? 2 ? ?? 8 15 4 ? . f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? 4? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,所以 cos ? ? .因为 3 ? 3 ? 6? 5 17 5 ? ?4?

? ?? ? 、 ? ? ?0, ? , 所 以 c o? ? s ? 2?

?1

2

? i?n s

8 3 , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , 所 以 17 5

c o?? ? ? ? c o s s ? ?

c? s ?o

? s i n s ?n ? ? ? i

8 4 15 3 13 ? .? ? 17 5 17 5 85

225. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,

考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想. 解:(1)选择(2)式计算如下 sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15? ? 1 ?
2

1 3 sin 30? ? 2 4

(2)证明: sin 2 ? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2
3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 4 4
226. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题

风格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三 角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角 B , 然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案. 【解析】 A.B.C 成等差数列可得 2B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? ,故 3B ? ? ? B ? 由 且C ? 而

?
3

2? ?A 3


2b2 ? 3ac















2sin 2 B ? 3sin A sin C ? 2 ? sin 2
所 以

?
3

? 3sin(
2 3

2? ? A) sin A 3
可 得

2?

3 ? 4

?

A?

?

3

?

( A?
,

2

? ?

2 3


s

A

3 1 ? cos 2 A ? 1 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 2 2 6 2
0? A? 2? ? ? 7? ? ? ? 2A ? ? ,故 3 6 6 6 ? ? ? 5? ? ? 2A ? ? 或 2A ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? . 6 6 6 6 6 2

227. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较

多,考生应该觉得非常容易入手. 解:(1)由 sin x ? 0 得 x ? k? ,(k ? Z ) ,故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k? , k ? Z} . 因 为

f ( x) ?

(

x?

2 sin(2 x ? ) ? 1 , 4

?

x sin x

x

=

2cos x(sin x ? cos x)

=

sin 2 x ? cos 2 x ? 1

=

s

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ?

3? ](k ? Z ) . 2 2 ? ? 3? 3? 7? , x ? k? ( k ? Z ) 得 k? ? ? x ? k? ? , (k ? Z ) 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) . 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? 8 8
(2)函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ?

2? ?? . 2

?

, 2 k? ?

228. 【解析】(Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B
? cos A ?
2

1 ? ? A? 2 3
2 2 2 2 2

(II) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2

2012 年高考文科数学解析分类汇编:数列
一、选择题 229 . (2012 年高考(四川文) 设函数 )

f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ?1 , {an } 是公差不为 0 的等差数
( D.21 )

列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ?a7 ? A.0 B.7 C.14

230 . 2012 年 高 考 ( 上 海 文 ) 若 ( )

? ? Sn ? sin ? ? sin 27 ? ? ? sin n7 (n ? N ? ) , 则 在 7

中,正数的 S1, S2 ,?, S1 0 0 个数是 A.16. ( ( ) )

B.72. C.86. D.100. 231 . (2012 年高考(辽宁文) 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= ) A.12 B.16 C.20 D.24
232 . (2012 年高考(课标文) 数列{ an }满足 an?1 ? (?1) )
n

an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和
( )

B.3660 C.1845 D.1830 233 . (2012 年高考(江西文) 观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4 , ) |x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 . 则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 ( ) A.76 B.80 C.86 D.92
234 . (2012 年高考(湖北文) 定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定 )

为 A.3690

的等比数列 ?an ? ,? f (an )? 仍是等比数列,则称 f ( x ) 为“保等比数列函数”.现有定义 在

(??,0) ? (0, ??)











数:① f ( x) ? x2 ;② f ( x) ? 2x ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | . 则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ ( )

n? 235 . 2012 年高考 ( (福建文) 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S2012 2
等于 A.1006 B.2012 C.503 ( ) D.0

236 . (2012 年高考(大纲文) 已知数列 )

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,则 Sn ?
( )

A. 2

n?1

?3? B. ? ? ?2?

n?1

?2? C. ? ? ?3?

n?1

D.

1 2 n?1

237 . (2012 年高考(北京文) 某棵果树前 n 年得总产量 Sn 与 n 之间的 )

关 系 如 图所 示 ,从 目 前记录 的 结 果看 , 前 m 年 的 年平均 产 量最 高, m 的值为 A.5 B.7 C . 9 D.11
238. (2012 年高考(北京文) 已知 {an } 为等比数列.下面结论中正确的 )





是 A. a1 ? a3 ? 2a2 C.若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2
2 2 2 B. a1 ? a3 ? 2a2





D.若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

239. (2012 年高考(安徽文) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 )

a3 a11 =16,
( )

则 a5 ? A. 1
二、填空题 240. (2012 年高考(重庆文) 首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ) 241 . 2012 年 高 考 ( 上 海 文 ) 已 知 ( )

B. 2

C. ?

D. ?

? ______

1 f ( x) ? 1? x . 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an } 满 足

a1 ? 1, an ? 2 ? f (an ) .若

a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是_________.
242. (2012 年高考(辽宁文) 已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 , )

则数列{an}的公比 q = _____________________.
243. (2012 年高考 (课标文) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q =_______ ) 244. (2012 年高考(江西文) 等比数列 )
*

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比不为 1。若 a1 ? 1 ,且对

任意的 n ? N 都有 an?2 ? an?1 ? 2an ? 0 ,则 S5 ? _________________。
245 . ( 2012 年 高 考 ( 湖 南 文 ) ) 对 于 n?N
?

, 将 n 表 示 为

n ? ak ? 2k ? ak ?1 ? 2k ?1 ? ?? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1 时 ai
为 0 或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 , a2 , ak 中等于 1 的个数为奇数 时, bn ? 1;否则 bn ? 0 。 (1) b2 ? b4 ? b6 ? b8 ? _ _;

(2)记 cm 为数列 ?bn ? 中第 m 个为 0 的项与第 m ? 1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大 值是___.
246. (2012 年高考(湖北文) 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或 )

用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数 1,3, 6,10,记为数列 ?an ? ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成 一个新数列 ?bn ? ,可以推测: (Ⅰ) b2012 是数列 ?an ? 中的第______项; (Ⅱ) b2 k ?1 ? ______.(用 k 表示)

247. (2012 年高考(广东文) (数列)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? )

1 2 ,则 a1a3 a5 ? _________. 2

248. (2012 年高考(北京文) 已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 ? )

1 , S ? a3 , 2 2

则 a2 ? ________; Sn =________.
三、解答题

249. (2012 年高考 (重庆文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分))已知 )

{an }

为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)记 {an } 的前

n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

250. (2012 年高考 (浙江文) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn} )
2

满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn.

251. (2012 年高考 (天津文) (本题满分 13 分)已知 )

?an ? 是等差数列,其前 n 项和为 S n , ?bn ?

是等比数列,且 a1 ? b1 , a4 ? b4 ? 27, S4 ? b4 =10 . (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)记 Tn =a1b1 +a2b2 +?+anbn ( n ? N )证明: Tn ? 8 ? an?1bn?1 (n ? N * , n ? 2) .
*

252. (2012 年高考(四川文) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x )

2

?

an 与 x 轴正 2

半轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? 与 f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由. f (0) ? f (1)

253. (2012 年高考 (四川文) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an )

? S1 ? Sn

对一切正整数 n 都成立. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

254 .( 2012 年 高 考 ( 上 海 文 )) 对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 数 集

{an } , 记

bk ? max{ 1, a2 , ?, ak } (k=1,2,,m),即 bk a
为 a1 , a2 , ?, ak 中的最大值,并称数列 {bn } 是 {an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数 列是 1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 {an } ; (2)设 {bn } 是 {an } 的控制数列,满足 ak ? bm? k ?1 ? C (C 为常数,k=1,2,,m). 求证: bk ? ak (k=1,2,,m);
2 (3)设 m=100,常数 a ? ( 1 , 1) .若 an ? an ? (?1) 2
n ( n ?1 ) 2

n , {bn} 是 {an } 的控制数列,

求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) .

255. (2012 年高考(陕西文) 已知等比数列 )

?an ? 的公比为 q=- 2 .

1

(1)若

a

3

=

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N? ,

a ,a
k

k ?2

,

a

k ?1

成等差数列.

256. (2012 年高考(山东文) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . )

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项 和 Sm .

257. (2012 年高考(江西文) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn )

? kc n ? k (其中 c,k 为常数),且

a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

258. (2012 年高考(湖南文) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年 )

年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年 增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩 余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示).

259. (2012 年高考(湖北文) 已知等差数列 )

?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(1) 求等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和.

? ?

260. (2012 年高考 (广东文) (数列)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn , )

满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n? N* .

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

261. (2012 年高考 (福建文) 在等差数列 )

?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 1, b4 ? 8,?an? 的

前 10 项和 S10 ? 55 . (Ⅰ)求 an 和 bn ; (Ⅱ)现分别从 ?an ? 和 ?bn ? 的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两 项的值相等的概率.

262. (2012 年高考(大纲文) 已知数列 )

?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ?

n?2 an . 3

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

263. (2012 年高考(安徽文) 设函数 f ( x ) ? )

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的 2

数列为 {xn } . (Ⅰ)求数列 {xn } ; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

2012 年高考文科数学解析分类汇编:数列参考答案 一、选择题 229.

[答案]D [解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ∴ [(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14 ∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 [点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质 的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.

230.

? [解析] 令 ? ? ? ,则 n7 ? n? ,当 1≤n≤14 时,画出角序列 n?终边如图, 7 y

其终边两两关于 x 轴对称,故有 S1 , S2 ,?, S12 均为正数, 而 S13 ? S14 ? 0 ,由周期性可知,当 14k-13≤n≤14k 时,Sn>0,

5? 6? 7? 8? 9?

4?

3?

2?

?
14? 13? 10? 11? 12?

x

而 S14 k ?1 ? S14 k ? 0 ,其中 k=1,2,,7,所以在 S1, S2 ,?, S100 中有 14 个为 0,其余 都是正数,即正数共有 100-14=86 个,选 C. 231. 【答案】B [来源:数理化网] 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题. 232. 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】 【法 1】有题设知

a2 ? a1 =1,①

a3 ? a2 =3 ②

a4 ? a3 =5 ③

a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,
a1 ? a3

∴②-①



=2,③+②



a4 ? a2

=8,









a5 ? a7 =2, a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2, a10 ? a12 =40,,
∴ a1 ? a3 , a5 ? a7 , a9 ? a11 ,,是各项均为 2 的常数列, a2 ? a4 , a6 ? a8 , a10 ? a12 ,是首 项为 8,公差为 16 的等差数列, ∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ?

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

【法 2】可证明:

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ?
233.

15 ?14 ? 16 ? 1830 2

【答案】B 【解析】 本题主要为数列的应用题,观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为 4, 公差为 4 的等差数列,则所求为第 20 项,可计算得结果. C 【解析】设数列 an 的公比为 q .对于①,

234.

? ?

2 f (an?1 ) an?1 ? 2 ? q 2 ,是常数,故①符合 f (an ) an

条 件 ; 对 于 ②,

f (an?1 ) 2an?1 ? an ? 2an?1 ?an , 不 是 常 数 , 故 ② 不 符 合 条 件 ; 对 于 f (an ) 2

③,

| an ?1 | f (an ?1 ) ? f (an ) | an |

?

f (an?1 ) ln | an?1 | an ?1 ,不是常数,故④ ? ? q ,是常数,故③符合条件;对于④, f (an ) ln | an | an

不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选 C. 【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意, 然后再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质 等. 235. 【答案】A 【解析】由 an ? n cos

n? ,可得 S2012 ? 1? 0 ? 2 ?1 ? 3? 0 ? 4 ?1 ? ?? 2012 ?1 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012 ? 2 ? 503 ? 1006

【考点定位】 本题主要考察数列的项、 n 项和,考查数列求和能力,此类问题关键是并 前 项求和. 236. 答案 B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用. 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an

1 1 S1 ? 2 2



①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为 2 2 2

?1 ( n ? 1) ? 公比的等比数列,故数列通项公式为 an ? ? 1 3 , ( ) n ? 2 ( n ? 2) ? ?2 2

1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 2 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 3 2 1? 2 3 1?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( ) ,故选答案 B 2
237.

【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C. 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度 可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平 均产量最高,就需要随着 n 的增大, Sn 变化超过平均值的加入,随着 n 增大, Sn 变化不

足平均值,故舍去. 238. 【答案】B 【解析】当 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时,C 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾.因此根据均值定 理可知 B 选项正确. 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知 识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选 择题用排除法来做.
239. 【解析】选 A 二、填空题 240. 【答案】:15
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

【解析】: S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式
241. [解析]
3 5 an ? 2 ? f (an ) ? 1?1an (*), a1 ? 1 ,所以有: a3 ? 1 , a5 ? 2 , a7 ? 5 , a9 ? 8 , 2 3

8 2 a11 ? 13 ;又 a2012 ? 1?a12010 ? a2010 ,得 a2010 ? a2010 ? 1 ? 0 ,令 a2010 ? t ,则 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,

由题设 t ? 0 ,所以 t ?

5?1 2

,变形(*)为 an ? a 1 ?1 ,则 a2008 ? n? 2
5 ?1 2 5 8 ? 13 ? 13 26 ?3 .

1 a2 0 1 0

? 1 ? 1?t ? t ,故 t

a2n ? t ?

5 ?1 2

,所以 a20 ? a11 ?

242. 【答案】2

【解析】? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? 因为数列为递增数列,且 a1 ? 0, 所以q ? 1,? q ? 2

1 2

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题.

243. 【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题.

【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等比数 列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,
244. 【答案】11

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q

1 ? (?2)5 【解析】由已知可得公比 q ? ?2, a1 ? 1 ,可得 S5 ? ? 11 . 1 ? (?2)
【考点定位】本题考查了等比数列的通项公式,以及求和公式,做题时要细心. 245. 【答案】(1)3;(2)2. 【解析】(1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 一次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知 cm 的最大值为 2.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.
246. (Ⅰ)5030;(Ⅱ)

5k ? 5k ? 1? 【解析】由以上规律可知三角形数 1,3,6,10,,的一个通项 2
an ? n(n ? 1) 2
, 写 出 其 若 干 项







有 :1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110, 发 现 其 中 能 被 5 整 除 的 为 10,15,45,55,105,110,故 b1 ? a4 , b2 ? a5 , b3 ? a9 , b4 ? a10 , b5 ? a14 , b6 ? a15 . 从而由上述规律可猜想: b2 k ? a5 k ?

5k (5k ? 1) ( k 为正整数), 2 (5k ? 1)(5k ? 1 ? 1) 5k (5k ? 1) b2 k ?1 ? a5 k ?1 ? ? , 2 2

故 b2012 ? a2?1006 ? a5?1006 ? a5030 ,即 b2012 是数列 {an } 中的第 5030 项. 【点评】 本题考查归纳推理,猜想的能力.归纳推理题型重在猜想,不一定要证明,但猜想 需要有一定的经验与能力,不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.

1 1 ?1? 1 2 4 2 247.解析: . a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 a5 ? a3 ? ? ? ? . 4 4 2 ?2?
248. 【答案】1,

2

1 n(n ? 1) 4
析 】





? S2 ? a3

,





a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ?

1 1 ? a2 ? a1 ? d ? 1 , S n ? n(n ? 1) . 2 4

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前 n 项和公式的计 算.
三、解答题 249. 【答案】:(Ⅰ) an

? 2n (Ⅱ) k ? 6

【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 . 250. 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础 知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力. (1) 由 Sn= 2n ? n ,得
2

当 n=1 时, a1 ? S1

推荐相关:

2012高考数学不等式精选(含答案)

2012高考数学不等式精选(含答案)_数学_高中教育_教育专区。老白数学 2012 年高考数学---不等式一、选择题 ? x ? y ? 10 ? 1 .(2012 年高考(辽宁文理) ...


2012高三数学不等式、推理与证明习题及答案解析(2)

2012高三数学不等式、推理与证明习题及答案解析(2)_数学_高中教育_教育专区。由...2 若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 ? ?x +bx+c (x...


2012高考数学(1)__不等式

均值不等式是历年高考的重点考查内容,考查方式多样,在客观题中出现,一般只有一 个选择或填空,考查直接,难度较低;在解答题中出现,其应用范围几乎涉及高中数学的所...


2012高考数学(文)专题练习:十二 一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用

2012高考数学(文)专题练习:十二 一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用...? ,+∞ ∴原不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞).,+. ? ? 答案:D ...


2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题三 不等式、数列、推理与证明

2012高考数学二轮模拟新题分类汇编--专题三 不等式、数列、推理与证明。最新模拟...,则a的值为 【答案】 n ; 【解析】根据题中所给表达式的规律可得 a = n...


2012高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法...

2012高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法..._六年级语文_语文_小学教育_教育...1) < 得到答案 (4)首先 1 n > 2( n + 1 ? n ) = 2 n +1 + ...


2012年高考数学试题分类汇编--不等式

2012高考数学试题分类汇编--不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2012 年高考真题理科数学解析汇编:不等式一、选择题 1 .( 2012 年高考(重庆理)) 设 平...


2012江苏高考数学试卷答案及其解析

2012江苏高考数学试卷答案及其解析_高考_高中教育_教育专区。2012 江苏高考数学...二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题,难度不大. ...


2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,...整理后利用基本不等式变形,设 m+n=x,得到关于 x 的不等式,求出不等式的解...


2012年北京高考数学试卷(理科解析版)

2012年北京高考数学试卷(理科解析版)_高考_高中教育_教育专区。2012 年普通高等...B ? { x | x ? 3} .故选 D. 【答案】D 2.设不等式组 ? ?0 ? ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com