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2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (45)


2014 届高三一轮“双基突破训练” (详细解析+方法点拨) (45)
一、选择题 1.(2010 陕西卷?文)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为( A. 1 2 ) B.1 D.4
2 2 2

C.2 【答案】C

【解析】抛物线 y =2px(p>

0)的准线为 x=- , 2 准线与圆相切,圆的方程为(x-3) +y =16, 所以 3+ =4,解得 p=2. 2 故选择 C. 2.直线 y=x-3 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为( A.48 C.64 【答案】A 【解析】如图所示. ) B.56 D.72
2 2 2

2

p

p

由?

? ?y =4x, ?y=x-3, ?

2

得 x -10x+9=0,

2

∴x1=1,x2=9. 当 x1=1 时,y1=-2.当 x2=9 时,y2=6. 不妨令 A(9,6),B(1,-2). ∵焦点 F(1,0),由抛物线定义知 |BF|=|BQ|=2,|AF|=|AP|=10, ? 2+10? ∴S 梯形 APQB= ?(6+2)=48.故选择 A. 2 → → → → 2 3.设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA → → |+|FB|+|FC|=( A.9 C.4 【答案】B
1

) B.6 D.3

【解析】由于抛物线 y =4x 的焦点坐标为 F(1,0), → → → → 由FA+FB+FC=0,可考虑FB=(-1,0), → → 此时,FA+FC=(1,0),注意到对称性,

2

?3 ? ?3 ? 得 A? , 6?、C? ,- 6?.于是,可得 ?2 ? ?2 ?
→ → → |FA|+|FB|+|FC|=2 =5+1=6. 故选择 B. 4.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物 线上,且 2x2=x1+x3,则有( A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1| +|FP2| =|FP3| C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2| =|FP1|?|FP3| 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为 x=- ,由定义得 2 |FP1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ , 2 2 2 则|FP1|+|FP3|=x1+ +x3+ =x1+x3+p, 2 2 2|FP2|=2x2+p,由 2x2=x1+x3 得 2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 故选择 C. 5. 抛物线 y =4x 上一点 A 到 B(3,2)与到焦点的距离之和最小, 则点 A 的坐标是( A.(0,0) C.(2,2) 【答案】B 【解析】设 P 为抛物线 y =4x 上任一点,过 P 作抛物线准线 l 的垂线,垂足为 D.连结
2 2 2 2 2 2 2

?3-1?2+? ?2 ? ? ?

6?

2

+1

)

p

p

p

p

p

p

)

B.(1,2) D.(3,2 3)

PF(F 为抛物线焦点).
由抛物线定义知,|PF|=|PD|, ∴|PB|+|PF|=|PB|+|PD|. 过 B 作准线 l 的垂线,交抛物线于 A,垂足为 C.显然,直线 BC 之长小于折线 BPD 之长, 因而所求的 A 点即为 BC 与抛物线的交点.(如图所示)

2

∵直线 BC 平行于 x 轴,且过 B(3,2),所以方程为 y=2,代入 y =4x,得 x=1. ∴A(1,2).故应选 B. 二、填空题 6. 已知 P 为抛物线 y =4x 上的任意一点, 记点 P 到 y 轴的距离为 d, 对于给定点 A(4,5), 则|PA|+d 的最小值为 【答案】 34-1 【解析】设抛物线的焦点为 F,则由抛物线的定义可得 d=|PF|-1,∴|PA|+d=(|PA| +|PF|)-1,如图所示,连结 AF,则 AF 与抛物线的交点 P 即为使|PA|+d 取最小值时的位 置. ∴(|PA|+d)min=|AF|-1= 34-1. .
2

2

7.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,镜口直径为 80cm,镜深为 40cm,光源放 在抛物线的焦点处,若镜口直径和镜深都增加 10cm,则光源与反射镜顶点的距离增加了 cm. 【答案】0.125cm 【解析】抛物线 C1 过点 A(40,40)知 C1:y =40x,F1(10,0).
2

81 ?81 ? 2 抛物线 C2 过点 B(50,45)知 C2:y = x,F2? ,0?. 2 ?8 ? 81 1 -10= (cm). 8 8 8.过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧),则 |AF| = |FB| .
2

3

1 【答案】 3 【解析】如图,作 AA′⊥x 轴,BB′⊥x 轴, 则 AA′∥FO∥BB′, ∴ |AF| |OA′| |xA| = = . |FB| |OB′| |xB|

|AF| xA 又已知 xA<0,xB>0,∴ =- . |FB| xB ∵直线 AB 方程为 y=xtan 30°+ , 2 即 y= 3 p x+ , 3 2

p

2 3 2 2 ∴与 x =2py 联立得 x - px-p2=0, 3 2 3 ∴xA+xB= p,xA?xB=-p2, 3

?xA+xB? 2 ∴xAxB=-p =-? 2 3 ? ? ? ? 3 ?
2

3 2 2 =- (xA +xB +2xAxB), 4 ∴3xA +3xB +2xAxB=0, 两边同除以 xB (xB ≠0)得 ∴3? ? +10 +3=0, x
2 2 2 2

?xA?2 ? B?

xA xB

xA xA 1 ∴ =-3 或 =- . xB xB 3
2 3 xA 又 xA+xB= p>0,∴xA>-xB,∴ >-1, 3 xB ∴ |AF| xA ? 1? 1 =- =-?- ?= . |FB| xB ? 3? 3
2

三、解答题 9.在直角坐标平面上给定一曲线 y =2x,

?2 ? (1)设点 A 的坐标为? ,0?,求曲线上距点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|; ?3 ?
(2)设点 A 的坐标为(a,0), ∈R, a 求曲线上的点到点 A 距离的最小值 d, 并写出 d=f(a) 的函数表达式.
4

【解析】(1)设 M(x,y)为曲线 y =2x 上任意一点,则

2

? 2?2 2 2 |MA| =?x- ? +y ? 3?
2 4 2 =x + x+ 3 9

? 1?2 1 =?x+ ? + , ? 3? 3
∵x∈[0,+∞),∴当 x=0 时,

?1?2 1 4 2 |MA|min =? ? + = , ?3? 3 9
2 即|MA|min= . 3 2 ∴距点 A 最近的点 P 坐标为(0,0),这时|PA|= . 3 (2)依题意得

d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x
=x -2(a-1)x+a
2 2 2

=[x-(a-1)] +(2a-1) ∵x∈[0,+∞), ∴分 a-1≥0 和 a-1<0 两种情况讨论. 当 a≥1 时,

dmin2=2a-1,即 dmin= 2a-1,
当 a<1 时,

dmin2=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,
即 dmin=|a|. 这时恰好抛物线顶点(0,0)与点 A(a,0)最近.

? 2a-1 ∴d=f(a)=? ?|a| ? a<1?
?

a≥1?

.

x2 y2 2 10.设 b>0,椭圆方程为 2+ 2=1,抛物线方程为 x =8(y-b).如图所示,过点 F(0, 2b b b+2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G.已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆
的右焦点 F1.

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ABP

5

为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐 标). 1 2 2 【解析】(1)由 x =8(y-b)得 y= x +b. 8 当 y=b+2 时,x=±4,∴G 点的坐标为(4,b+2), 1 4

y′= x,y′|x=4=1.
过点 G 的切线方程为

y-(b+2)=x-4,即 y=x+b-2,
令 y=0 得,x=2-b,∴F1 点的坐标为 (2-b,0). 由椭圆方程得 F1 点的坐标为(b,0), ∴2-b=b,即 b=1, 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为

x2
2

+y =1 和 x =8(y-1).

2

2

(2)∵过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P, ∴以∠PAB 为直角的 Rt△ABP 只有一个, 同理以∠PBA 为直角的 Rt△ABP 只有一个.

? 1 2 ? 则 B 若以∠APB 为直角, 设 P 点的坐标为?x, x +1?, A、 坐标分别为(- 2, ( 2, 0)、 ? 8 ?
0). → → 2 ?1 2 ?2 由PA?PB=x -2+? x +1? =0, ?8 ? 得 1 4 5 2 x + x -1=0, 64 4
2

关于 x 的一元二次方程只有一解,∴x 有两解,即以∠APB 为直角的 Rt△ABP 有两个, 因此抛物线上共存在 4 个点使△ABP 为直角三角形. → → 2 11.已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且AF=λ FB(λ >0).过

A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M.
→ → (1)证明:FM?AB为定值; (2)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ )的表达式,并求 S 的最小值. 【解析】(1)由已知条件,得 F(0,1),λ >0. → → 设 A(x1,y1 ),B(x2,y2).由AF=λ FB, 即得(-x1,1-y1)=λ (x2,y2-1).
? ?-x1=λ x2, ∴? ?1-y1=λ ? y2-1? ?

① . ②

1 2 1 2 将①式两边平方并把 y1= x1 ,y2= x2 代入得 4 4

y1=λ 2y2,③
6

解②、③式得 y1=λ ,y2=

1 ,且有 λ

x1x2=-λ x22=-4λ y2=-4.
1 2 抛物线方程为 y= x . 4 1 求导得 y′= x. 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 2 1 2

y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2,
1 1 2 1 1 2 即 y= x1x- x1 ,y= x2x- x2 . 2 4 2 4 解出两条切线的交点 M 的坐标为

?x1+x2,x1x2?=?x1+x2,-1?. ? 2 ? ? ? 4 ? ? 2 ? ?
→ → ?x1+x2 ,-2??(x2-x1,y2-y1) 所以,FM?AB=? ? ? 2 ? 1 2 ?1 2 1 2? 2 = (x2 -x1 )-2? x2 - x1 ?=0. 4 ? 2 ?4 → → 所以FM?AB为定值,其值为 0. (2)由(1)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 1 2

S= |AB||FM|.
|FM|= = = =

?x1+x2?2+? -2? ? 2 ? ? ?

2

1 2 1 2 1 x1 + x2 + x1x2+4 4 4 2

y1+y2+ ?? -4? +4
1 1 λ + +2= λ + . λ λ

1 2

因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2 1 ?2 1 ? =λ + +2=? λ + ?, λ λ ? ? 1 ?3 1 1? 于是 S= |AB||FM|= ? λ + ?, 2 2? λ ? 由 λ + 1 λ ≥2,知 S≥4,

且当 λ =1 时,S 取得最小值 4. 12.已知曲线 C:y=x 与直线 l:x-y+2=0 交于两点 A(xA,yA)和 B(xB,yB),且 xA<xB.
7
2

记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.设点 P(s,

t)是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 E 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; 51 2 2 2 (2)若曲线 G:x -2ax+y -4y+a + =0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 【解析】(1)由?
? ?y=x , ?x-y+2=0, ?
2

解得 A(-1,1),B(2,4).

设点 Q,M 的坐标分别为 Q(x1,y1),M(x,y), -1+2 1 1+4 5 依题意得 x1= = ,y1= = . 2 2 2 2 于是 x=

x1+s 2s+1
2 = 4

,y=

y1+t 2t+5
2 = 4

.

4x-1 4y-5 ∴s= ,t= ,① 2 2 4x-1 1 5 ∵-1<s<2,∴-1< <2,即- <x< . 2 4 4 又∵点 P(s,t)在曲线 C 上,∴t=s .② 4y-5 ?4x-1?2 将①代入②得 =? ?, 2 ? 2 ? 11? 1 5? 2 即 y=2x -x+ ?- <x< ?. 8 ? 4 4? 49 2 2 (2)解法 1:曲线 G 的方程可化为(x-a) +(y-2) = , 25 7 这是一个圆心为 N(a,2),半径为 的圆. 5 设圆 G 与直线 l:x-y+2=0 相切于点 T(xT,yT), |a-2+2| 7 7 2 则有 = ,即 a=± . 5 5 2 过点 N(a,2)与直线 l 垂直的直线 l′的方程是
2

y-2=-1?(x-a),即 x+y-2-a=0.
由?
? ?x-y+2=0, ?x+y-2-a=0, ?

解得 xT= ,yT= +2. 2 2

a

a

7 2 7 2 当 a=- 时,-1<xT=- <2. 5 10 ∵-1,2 分别是 D 上的点的最小和最大横坐标,∴切点 T∈D, 7 2 故 amin=- . 5 49 7 2 2 解法 2:曲线 G 的方程可化为(x-a) +(y-2) = ,这是一个圆心为 H(a,2),半径为 25 5 的圆.

8

设线段 AB 与直线 y=2 的交点为 R(0,2),依题意,只需考虑 a<0 的情况. 7 当 a<0 且圆 G 与 D 有公共点时,圆 G 和 AB 必有交点,设此交点为 N,则 HN= . 5 ①若点 N 与点 R 不重合,则在△HNR 中,设∠HNR=θ , |a| HN |a| HN 由正弦定理得 = (或 = ), sin θ sin 45° sin θ sin 135° 7 故|a|= 2sin θ . 5 7 因此当 sin θ 取得最大值时,a 取得最小值.由于 RA= 2> ,故在线段 RA 上可选到 5 7 7 点 A,使 RN= ,再取|a|= 2,则∠HNR=90°,从而 sin θ 取得最大值 1. 5 5 7 此时 a 的最小值为- 2. 5

? 7 ? ②若点 N 与点 R 重合,则点 H 的坐标是?- ,2?. ? 5 ?
7 综合①②知 amin=- 2. 5

9


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