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江西省宜春市奉新县第一中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 理


2016 届高三上学期第 2 次月考(理科)数学试题
一、选择题: (5*12=60 分) 1、已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,则下列结论中正确的是: A. A ? B ? B B. A ? B ? A C. A ? B D. CR A ? B

2、已知函数 f ( x )

的定义域为 (0,1) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为: A. (?1,1) B. (?

1 , 0) 2

C. ?0,1?

D. ?1,3?

2 3、设甲: ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ;乙: 0 ? a ? 1 ,则甲是乙成立的:

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 4、已知函数 f ?x ? ? cos

D.既不充分又不必要条件

2? ? cos( ? 2x) ,则函数 f ?x ? 满足: 3 2
B.当 x ? [ ?

A. f ?x ? 的最小正周期是 2? C. f ?x ? 的图象关于直线 x ? 5、要得到函数 y ? 2 cos(2 x ?

? ? 3 3 , ] 时, f ?x ? 的值域为 [? , ] 6 3 4 4

3? 对称 4

D.若 x1 ? x 2 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ?

?

? 个单位 4 ? (C)向右平移 个单位 3
(A)向左平移

? 个单位 2 ? (D)向左平移 个单位 8 π ? ? ?π 2π ? 6、若函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,且|φ |< ?在区间? , ?上是单调减函数,且 2? 3 ? ? ?6
(B)向右平移 函数值从 1 减少到- 1 ,则 f ? D.1 7、有以下四个命题,其中真命题的个数为: ① ?ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件; ②若命题 p : ?x ? R, sinx ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sinx ? 1 ; ③函数 y ? 3 sin(2 x ? ④ 若 函 数 f

3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2x ? 3 cos 2x 的图象:

?? ? ? =: ?4?

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

?

? 5 ) ? 2 的单调递减区间是 [ ? 2k? , ? ? 2k? ] (k ? z ) ; 3 6 6
2

? x ??

x? 2

x ? 2与 a?

?g

? x 1 ?x ? 有 ? x相 同 a 的 最 小 值 , 则

1

1 ? ?? 1? 8、设函数 f ?x ? ? ?x ? z ?,给出以下三个结论:① f ?x ? 为偶函数;② f ?x ? 为周 2 期函数;③ f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 1 ,其中正确结论的个数为:
x

28 ? f ? x ?dx ? 3 .
a 1

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

9 、 已 知 函 数 f ( x ) 是 (??, ??) 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 当

x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? ? x ,则 f ?2015 ? ? f ?2016? ? :
A.-1 B.0
3

C.1

D.2

10、若关于 x 的方程 x ? 3x ? m ? 0 在 ?0, ? 上有根,则实数 m 的取值范围是: 2 A. ?? 2,2? B. ?0,2? C. ?? 2,0? D. ? ,2? 8

? 3? ? ?

?9 ? ? ?

11、如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险 等待营救, 甲船立即前往营救, 同时把消息告知在甲船的 南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ +30°角的方向沿直线前往 B 处营救, 则 sin ? 的值为:

A.

21 7

B.

2 2

C.

3 2

D.

5 7 14

12、若函数 f ? x ? 的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F ? x ? ?
x

f ? x? 在 I 上也是 x

增函数,则称 y ? f ? x ? 是 I 上的 “完美函数” ,已知 g ? x ? ? e ? x ? ln x ? 1 ,若函数 g ? x ? 是 区间 [

m , ?? ) 上的“完美函数” ,则正整数 m 的最小值为: 2
D.4

A.1 B.2 C.3 二、填空题: (5*4=20 分)

log x, x ? 1 ? 1 ? 1 2 13、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f ( )) ? 2 x ? ?2 ? 4 , x ? 1
14、已知 cos?

.

2? ? ?? ? 2 ? ? ? ? ? ,则 sin?? ? ? =________. 3 ? ? ?6 ? 3

15 、 已 知 a , b , c 分 别 为 △ ABC 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 , a ? 2 , 且

?a ? b??s i nA ? s i nB? ? ?c ? b?s i n C ,则△ ABC 面积的最大值为________. sin x 16、已知函数 f ? x ? ? ,在下列四个命题中:① f ?x ? 是奇函数;②对定义域内任意 x ,
x
2

f ?x ? ? 1 恒成立;③当 x ?

3? 时, f ?x ? 取极小值;④ f ?2? ? f ?3? ,正确的是:________, 2

三、解答题: (12+12+12+12+12+10=70 分)
2 17、已知集合 A ? x 2 ? a ? x ? 2 ? a , B ? x x ? 5 x ? 4 ? 0 ,

?

?

?

?

(1)当 a ? 3 时,求 A ? B , A ? ?C R B ? ; (2)若 A ? B = ? ,求实数 a 的取值范围.

18、已知函数 f ?x ? ? 4 sin 2 x ? sin ? x ?
2

? ?

??

? ? cos?2? ? 4 x ? , 4?

(1)求 f ?x ? 的最小正周期;

(2)若 g ?x ? ? f ?x ? ? ?? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? 在 x ? 处取得 3 2? ? 2

最大值,求 y ? g ?x ? 的单调递增区间; (3)求(2)中 y ? g ?x ? 在 x ? ??

? ? 2? ? 上的值域。 , ? 12 3 ? ?

19 、 在 ?A B C 中 , 角

A, B, C 对 应 的 边 分 别 是 a, b, c , 已 知

c o C? s c oB ? s 3 s iBnc oA s ? 0,
(1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。

?

?

20、已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 4 ? 2b ? b2 ? x , g ( x) ? ? 1 ? ( x ? a)2 (a, b ? R) . (1)当 b ? 0 时,若 f ( x)在(??, 2] 上单调递减,求 a 的取值范围; (2) 求满足下列条件的所有整数对 ( a, b) : 存在 x0 , 使得 f ( x0 )是f ( x) 的最大值,g ( x0 )是g ( x) 的最小值;

3

21、已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 g ( x) ?

f ( x ? 1) ? x 的单调区间与极大值; x ?1
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立, x2 ? x1

(2) 任取两个不等的正数 x1、x2 , 且 x1 < x2 , 若存在 x0 > 0 使 f ?( x0 ) ? 求证: x1 < x0 < x2 ; (3)已知数列 ?an ? 满足 a1 = 1 , an?1 ? (1 ? 然对数的底数) .

1 1 )an ? 2 (n∈N+),求证: an ? e 4 ( e 为自 n 2 n

11

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请 写清题号

22、在直角坐标系 xoy 中,以 o 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1 、直线 C 2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 sin ? , ? cos?? ? (1)求 C1 与 C 2 交点的极坐标; (2) 设 P 为 C1 的 圆 心 , Q 为 C1 与 C 2 交 点 连 线 的 中 点 . 已 知 直 线 PQ 的 参 数 方 程 为

? ?

??

?? 2 2. 4?

?x ? t 3 ? a ? ?t ? R为参数?,求 a , b 的值. ? b 3 ?y ? t ?1 2 ?

23、设函数 f ?x ? ? x ? (1)证明: f ?x ? ? 2 ;

1 ? x ? a ?a ? 0? . a

(2)若 f ?3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

4

2016 届高三上学期第 2 次月考(理科)数学参考答案 一、选择题:60 分 题 号 1 2 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 C 1 0 B 1 A 1 2 C 1

答 C B 案 二、填空题:20 分 13: -2 ; 14:

?

2 3

15:

3

16: ② ④

三、解答题:12+12+12+12+12+10=70 分 17、 【解析】(1)当 a=3 时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x -5x+4≥0}={x|x≤1 或 x≥4}, B={x|1<x<4},A∩B={x|-1≤x≤1 或 4≤x≤5},A∪( B)={x|-1≤x≤5}. (2)当 a<0 时,A= ? ,显然 A∩B= ? ,合乎题意.当 a≥0 时,A≠ ? ,A={x|2-a≤x≤2
? ?2-a>1 2 +a},B={x|x -5x+4≥0}={x|x≤1 或 x≥4}.由 A∩B= ? ,得? ?2+a<4 ?
2

,解得 0≤a

<1.故实数 a 的取值范围是(-∞,1).

? 2 ? ?? ? 18、 解: (1) f ?x ? ? 4 sin 2 x sin ? x ? ? ? cos 4 x ? 4 sin 2 x ? ?sin x ? cos x ?? ? cos4 x 4? ? ? 2 ?
2

2

? 2 sin 2x?1 ? sin 2x? ? cos4x ? 2 sin 2x ? 2 sin 2 2x ? cos4x ? 2 sin 2x ? 1
所以最小正周期为 T ?

2? ?? 2

( 2) g ?x ? ? f ?x ? ? ? ? 2 sin ?2 x ? 2? ? ? 1 ,当 2 x ? 2? ? 值, 将x ? 所以 ?

?
2

? 2k? , k ? z 时取得最大

?
3

代入上式, 得? ? ?

?
12

k ?z, ? k? , ?? ? ?

?
12

得 g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1, 6?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? z 解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? , k ? z ,

所以 g ?x ? 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? z 3 ? 6 ?
? ?

(3)由(2)得 g ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

??

? 2? ? ? 7? 得 ? ? 2x ? ? 所以 ? ? 1 ,由 ? ? x ? 12 3 3 6 6 6?

?

3 ?? ? ? sin? 2 x ? ? ? 1 得 1 ? 3 ? g ?x? ? 3 ,所以 g ?x ? ? 1 ? 3,3 2 6? ?

?

?
5

19、解: (1)由条件有 ? cos? A ? B? ? cos B cos A ? 3 sin B cos A ? 0 即 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 又 sin B ? 0 ,所以 sin A ? 3 cos A ? 0 ,又 cos A ? 0 所以 tan A ? 3 ,又 0 ? A ? ? ,故 A ? (2)因为 S ?
2 2

?
3
由余弦定

1 3 bc sin A ? bc ? 5 3 ,得 bc ? 20 ,又 b ? 5 ,所以 c ? 4 2 4
2

理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 21,故 a ?

21 , c b bc 5 2 又由正弦定理得 sin C sin B ? sin A ? sin A ? 2 sin A ? a a 7 a
20、解:(1)当 b ? 0 时, f ? x ? ? ax2 ? 4 x , 若 a ? 0 , f ? x ? ? ?4 x ,则 f ? x ? 在 ? ??, 2? 上单调递减,符合题意;
? a ? 0, ? 若 a ? 0 ,要使 f ? x ? 在 ? ??, 2? 上单调递减,必须满足 ? 4 ? 2, ? ? 2a

∴ 0 ? a ? 1 .综上所述,a 的取值范围是 ? 0, 1? (2)若 a ? 0 , f ? x ? ? ?2 4 ? 2b ? b2 x ,则 f ? x ? 无最大值,故 a ? 0 ,∴ f ? x ? 为二次函数,
? a ? 0, 要使 f ? x ? 有最大值,必须满足 ? 即 a ? 0 且1 ? 5 ? b ? 1 ? 5 , 2 ?4 ? 2b ? b ? 0,
2 此时, x0 ? 4 ? 2b ? b 时, f ? x ? 有最大值.又 g ? x ? 取最小值时, x0 ? a , a 2 2 依题意,有 4 ? 2b ? b ? a ? Z ,则 a 2 ? 4 ? 2b ? b2 ? 5 ? ? b ? 1? , a

∵ a ? 0 且 1 ? 5 ? b ? 1 ? 5 ,∴ 0 ? a2 ? 5 ? a ? Z? ,得 a ? ? 1 ,此时 b ? ? 1 或 b ? 3 . ∴满足条件的整数对 ? a, b ? 是 ? ?1, ? 1? , ? ?1, 3? .

f ( x+1) 1 x . ? x = ln( x +1) ? x ,于是 g ?( x) ? ? 1= ? x+1 x+1 x ?1 故当 x∈(-1,0)时, g ?( x) >0;当 x∈(0,+∞)时, g ?( x) <0. 所以 g(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞),g(x)的极大值是 g(0)=0.
21、解: (Ⅰ)由已知有 g ( x) ? ( Ⅱ ) 因 为

f ?( x ? )

l x n , +所1 以

l x n 0

+ = 1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

, 于 是

ln x0 ? ln x2 =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ln x2 ? x1 ln x1 x ln x2 ? x1 ln x1 ? ln x2 ? 1 = 2 ? ln x2 ? 1 = 1 ?1 = x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

ln

x2 x1

x2 ?1 x1

? 1 ,令

x2 ln t ln t ? t ? 1 =t (t>1),h(t )= ,因为 t ? 1 ? 0 ,只需证明 ln t ? t +1 ? 0 . ?1 ? x1 t ?1 t ?1

6

1 令? +?) 递减,所以 ?(t )? ?(1)=0 , (t )? ln t ? t +1 ,则 ? ? (t )? ? 1 ? 0 ,∴ ?(t )在 t ? (1, t 于是 h (t)<0,即 ln x0 ? ln x2 ,故 x0 ? x2 .仿此可证 x1 ? x0 ,故 x1 ? x0 ? x2 .

1 1 )an ? 2 ? an ,所以 {an } 单调递增, an ≥1. n 2 n 1 1 1 1 1 1 于是 an?1 ? (1 ? n )an ? 2 ? (1 ? n )an ? 2 an =(1 ? n ? 2 )an , 2 n 2 n 2 n 1 1 所以 ln an?1 ? ln an ? ln(1 ? n ? 2 ) . (*)由(Ⅰ)知当 x>0 时, ln(1+x) <x. 2 n 1 1 1 1 所以(*)式变为 ln an?1 ? ln an ? n ? 2 .即 ln ak ? ln ak ?1 ? k ?1 ? (k∈N,k≥2), 2 (k ? 1)2 2 n 令 k=2,3,?, n,这 n-1 个式子相加得 1 1 1 1 1 1 ln an ? ln a1 ? ( 1 + 2 +? + n ?1 ) ? [ 2 ? 2 ? ? ? ] 2 2 2 1 2 ( n ? 1) 2
(Ⅲ)因为 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ?

?(1=(1-

1 1 1 1 1 1 ) ?[ 2 ? 2 ? ? ??? ] n ?1 2 1 2 2 ? 3 3? 4 ( n ? 2)(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? [1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] n ?1 2 4 2 3 3 4 n ? 2 n ?1 1 1 1 1 11 1 1 11 =(1- n?1 ) ?(1 ? ? ? ? , ) = - n?1 ? 4 2 n ?1 4 2 4 2 n ?1 11 11 11 ? ,所以 an ? e 4 . 即 ln an ? ln a1 ? 4 4
22、解;(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4,直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4= 2 2 ? ? ? ?x +(y-2) =4, ?x1=0, ?x2=2, ? ? 0.解 得? ?x+y-4=0, ?y1=4, ?y2=2. ? ? ? π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为?4, ?,?2 2, ?,注:极坐标系下点的表示不唯一. 2? ? 4? ? (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0,由参数方程可得 y= x- +1, 2 2
2 2

b

ab

b ? ?2=1, 所以? ab ? ?- 2 +1=2,

解得 a=-1,b=2.

? 1? ? 1 ? 1 23、解:(1)证明 由 a>0,有 f(x)=?x+ ?+|x-a|≥?x+ -(x-a)?= +a≥2. ?
a?

?

a

? a

所以 f(x)≥2. 1 5+ 21 ? 1? (2)解 f(3)=?3+ ?+|3-a|.当 a>3 时,f(3)=a+ ,由 f(3)<5,得 3<a< . a 2 ? a? 1 1+ 5 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5,得 <a≤3. a 2 1+ 5 5+ 21 综上,a 的取值范围是( , ). 2 2

7


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