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厦门市2014-2015学年第一学期高一质量检测 数学试题参考答案以及评分标准


厦门市 2014-2015 学年第一学期高一质量检测

数学试题参考答案以及评分标准
一、选择题 1 2 3 4 5 题号 A D B C B 答案 10.解: f (?1) ? 2 ? ?8a ? b ? c ? 2 ----① 设 f (3) ? m ? 8a ? 3b ? c ? m ----② ① +②得: 2b ? 2c ? 2 ? m ,

又 b, c ? Z ,所以 m 一定是偶数. 二、填空题 11. 36 (题目引导有误,答案 46 也对) 5 2 12.19 13. 14. ? 15.0 16. (?2, 0) 3 6
x 16.解:如图,根据 y ? 2 与 y ? log2 x 关于 y ? x 对称,

6 D

7 D

8 C

9 C

10 B

而 y ? ? x ? 2 与 y ? x 垂直

所以,两交点的中点为 y ? x 与 y ? ? x ? 2 的交点( -1 , 1) , 即

p?q ? ?1 2
f ( x) ? ( x ? p)( x ? q) 的 对 称 轴 为

所 以 , 函 数

x??

p?q ?1 2
2

所以 f ( x2 ? 2 x ? 2) ? f (0) ? f ( x ? 2 x ? 2) ? f (2) ? … ? ? 2 ? x ? 0 . 三、解答题 17.解: (Ⅰ ) B ? {x | x ? 2} -----------------------------------------------------------------2 分

A I B ? {x | 2 ? x ? 3} ---------------------------------------------------4 分 CU ( A I B) ? {x | x ? 2或x ? 3} ---------------------------------------------------6 分 (Ⅱ ) C ? {x | x ? a} ---------------------------------------------------8 分 B?C ∵ B U C ? C ,∴ ---------------------------------------------------10 分 所以 a ? 2 ---------------------------------------------------12 分
18.解:记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件 A, B, C .则事件 A, B, C 是互斥的. ---------------------------------------------------1 分 (Ⅰ) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ---------------------------------------------------3 分 又 P( B) ? 0.3 ∴ P( A) ? 0.3 ---------------------------------------------------5 分 ∴ 不乘动车来的概率 P ? 1 ? P( A) ? 0.7 ---------------------------------------------------7 分 (Ⅱ)又 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 ---------------------------------------------------9 分

P(C) ? 0.4 ∴

---------------------------------------------------11 分 ---------------------------------------------------12 分

所以 P(C ) ? P( A), P(C ) ? P( B) 所以他乘飞机来的可能性最大

19.解: (Ⅰ)分数在 [50,60) 的频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , 由茎叶图知:分数在 [50,60) 之间的频数为 4,所以全班人数为
4 ,--2 分 ? 50 (人) 0.08

则分数落在 [80,90) 的学生共有 50 ? (4 ? 14 ? 20 ? 4) ? 8 (人) , ----------------------3 分

8 ? 0.16 50 答:分数落在 [80,90) 的频率为 0.16 . ---------------------------------------------------4 分
所以分数落在 [80,90) 的频率为 (Ⅱ)分数在 [50,70) 的试卷共有 18 份,其中 ?50,60? 的有 4 份, ------------------6 分 现需抽取容量为 9 的样本,根据分层抽样原理,在 ?50,60? 中应抽取的份数为
4 ?9 ? 2 18

(Ⅲ)分数分布在 ?90,100? 的学生一共有 4 人,现从中抽取 2 人,可能的分数的组合为

答:在 ?50,60? 中,应抽取 2 份;

--------------------------------------------------8 分

?95,96?,?95,97?,?95,99?,?96,97?, ?96,99?, ?97,99?
故基本事件总数为 n ? 6 -------------------------------------------------10 分 设事件 A 表示“成绩 99 分的同学被选中”,则事件 A 包含的基本事件为

?95,99?,?96,99?,?97,99? , nA ? 3 -------------------------------------------------11 分

nA 3 1 ? ? . n 6 2 1 答:成绩为 99 分的同学被选中的概率为 -------------------------------------------------12 分 2 20.(Ⅰ)证明:连结 ED1
根据古典概型概率公式有: P ( A) ?

Q M 是 DD1 的中点, DD1 ? AA1 ? 4
? BE ? MD1 ? 2 又 Q BE / / MD1 ---------------------------------------------2 分 --------------------------------------------3 分 ? 四边形 D1MBE 是平行四边形 ? BM / / ED1 -----------------------------4 分
又 Q ED1 ? 平面 A1 EFD1 , BM ? 平面
A1 EFD1 ----------------------------------------5 分
D1 A1 M E D A B C F

? BM ∥平面 A1 EFD1 -------------6 分
(Ⅱ)解:依题意,得 此 多 面 体 ABEA1 ? DCFD1 是 一 个 四 棱 柱, 底面 ABEA1 是梯形 ---------------------9 分

1 底面积 S ? (2 ? 4) ? 6 ? 18 2 高 h ? AD ? 4

V四棱柱ABEA1 ? Sh ? 18 ? 4 ? 72 -----------12 分
21.解: (Ⅰ)依题意,得 25 ? (1 ? 4 ?15%) ? 10 此人得到的卖车款是 10 万元 --------------------------------------4 分

? ?21.25, (0 ? x ? 1) ? ?17.5, (1 ? x ? 2) ? (Ⅱ) y ? ?13.75, (2 ? x ? 3) -------------------------------------9 分 ?10, (3 ? x ? 4) ? 2 ? 10 ? ( ) x ?4 , (4 ? x ? 10, x ? N ) ? 3 ? 2 x?4 (Ⅲ)依题意,得 10 ? ( ) ? 4 3 4 ? x ? 4 ? log 2 ( ) 3 10 4 lg 4 ? 1 2 ? 0.3 ? 1 log 2 ( ) ? ? ?2 lg 2 ? lg 3 0.3 ? 0.5 3 10 ?x ? 6 -------------------------------------12 分
2014+6=2020 因为,超过 n 年不到 n ? 1 年的按 n ? 1 年计算 所以,最迟应该在 2020 年元旦前(或 2019 年)卖车 --------------------------------14 分

x?n 为定义在 R 上的奇函数,? f (0) ? n ? 0 --------------2 分 x2 ? 1 x ?x x ? f ( x) ? 2 , f (? x) ? 2 ?? 2 , 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0, x ?1 x ?1 x ?1 x 故当且仅当 n ? 0. 时 f ( x) ? 2 为奇函数 -------------------------------------3 分 x ?1 (Ⅱ)依题意,即满足对任意 x1 ? [0,1] ,“ g ( x2 ) ? f ( x1 ) 在 x2 ? [0,1] 上有解”
22.解: (Ⅰ) 函数 f ( x) ? 即满足 g ( x2 )max ? f ( x1 ) 在 x1 ? [0,1] 上恒成立 即满足 g ( x2 )max ? f ( x1 )max 对于函数 f ( x) ? -------------------------------------5 分

x , x ?1
2

不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 1
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x ( x x ? 1)( x2 ? x1 ) ? 2 2 ? 1 22 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 2 ? 1)
2

∵ 0 ? x1 x2 ? 1 , x2 ? x1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x) ?
2

x 在 x ? [0,1] 上单调递增, f ( x1 ) max ? f (1) ? 1 x ?1 2
2

对于二次函数 g ( x) ? x ? 2? x ? 2? ,对称轴为 x ? ? ⑴当 ? ?

------------------------------------7 分

1 时, g ( x2 )max ? g (0) ? ?2? 2
1 1 得 ? ? ? 1 ,与 ? ? 不合,舍去; 2 2 4

令 ?2? ?

⑵当 ? ? 1 时, g ( x2 )max ? g (1) ? 1 ? 4? 2 1 1 令 1 ? 4? ? 得 ? ? 2 8.

综上所述,符合要求的 ? 范围是 ? ?
2

1 8

------------------------------------9 分

(Ⅲ)方程 | f ( x ) |? log 1 | x | 只有 1 个实数解。 ∵函数 h( x) ?| f ( x) | ? log 1 | x |?
| x| ? log 1 | x | 是定义在 (??, 0) (0, ??) 上,且 2 x ?1 2 2 h(? x) ? h( x) ,即函数 h( x ) 是偶函数,

先讨论 h( x) 在 (0, ??) 上的零点个数.
x ? log 1 x x2 ? 1 2 x x ⑴ 当 x ? 1 时, 2 ? log 1 x ? 0 恒成立,不存在零点; ? 0 , log 1 x ? 0 , h( x) ? 2 x ?1 x ?1 2 2 ---------------------------------10 分 x ⑵ 当 0 ? x ? 1时,分析函数 h( x) ?? 2 ? log 1 x 的单调性, x ?1 2

此时 h( x) ??

由(Ⅱ)知, f ( x) ? 调递减,

x 在 (0,1) 上单调递增,而对数函数 y ? log 1 x 在 (0,1) 上单 x ?1 2
2

x ? log 1 x 在 (0,1) 上单调递增,且连续不断, x ?1 2 1 2 3 1 h( ) ? ? 1 ? ? ? 0 , h(1) ? ? 0 , 2 5 5 2 ∴函数 h( x) 在 (0,1) 上有唯一零点,

∴函数 h( x) ?

2

综合⑴⑵知函数 h( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点, ---------------------------------13 分 所以函数 h( x) 在 (??, 0) (0, ??) 上只有两个零点, ∴方程 | f ( x ) |? log 1 | x | 有 2 个实数解. ----------------------------------14 分
2


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