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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题二 第4讲 高考中的三角函数(解答题型)


第四讲 高考中的三角函数?解答题型?

考 点 三角恒等变换 三角函数的图像与性质

考 情 1.三角恒等变换是高考的热点内容, 在解答题中多作为一种 化简工具考查,其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查 的重点,如 2013 年湖南 T17 等. 2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热点,侧重于对 函数 y=Asin(ωx+φ)的

周期性、单调性、对称性以及最值等的 考查,常与其他知识交汇以解答题的形式考查,难度中等,如

解三角形

向量与三角函数的综合问题

2013 年安徽 T16 等. 3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高考的必考内 容.在解答题中主要考查:(1)边和角的计算;(2)面积的计算;

解三角形的实际应用

(3)有关范围的问题.由于此内容应用性较强,解三角形的实 际应用问题也常出现在高考解答题中,如 2013 年重庆 T20 等.

π? 2x ? π? 1.(2013· 湖南高考)已知函数 f(x)=sin? ?x-6?+cos?x-3?,g(x)=2sin 2. (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= 3 3 ,求 g(α)的值; 5

(2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. π π x- ?+cos?x- ? 解:f(x)=sin? ? 6? ? 3? = 3 1 1 3 sin x- cos x+ cos x+ sin x= 3sin x, 2 2 2 2

x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α)= 得 sin α= . 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1- = . 5 5

(2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1. π? 1 于是 sin? ?x+6?≥2. π π 5π 从而 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 2π 即 2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 3 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为?x

? ?

? 2π |2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. 3 ?

2.(2013· 重庆高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2 + 2 ab=c2. (1)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cos Acos B= , = ,求 tan α 的值. 5 cos2α 5 解:(1)因为 a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有 cos C= = =- , 2ab 2ab 2 3π 故 C= . 4 (2)由题意得 ?sin αsin A-cos αcos A??sin αsin B-cos αcos B? 2 = . cos2α 5 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)= 2 , 5 2 , 5

tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B= 2 . 5 ①

3π π 2 因为 C= ,A+B= ,所以 sin(A+B)= , 4 4 2 因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 即 3 2 2 -sin Asin B= , 5 2

3 2 2 2 解得 sin Asin B= - = . 5 2 10 由①得 tan2α-5tan α+4=0, 解得 tan α=1 或 tan α=4.

3.(2013· 江苏高考)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. 解:(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b. (2)因为 a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
? ?cos α+cos β=0, 所以? ?sin α+sin β=1. ?

由此,得 cos α=cos (π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π.又 0<α<π,故 α=π-β.代入 sin α 1 5π π +sin β=1 得,sin α=sin β= ,而 α>β,所以 α= ,β= . 2 6 6

1.辅助角公式 b asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 tan φ= . a 可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期. 2.三角形的面积公式 1 1 1 (1)S= aha= bhb= chc(ha,hb,hc 分别是边 a,b,c 上的高); 2 2 2 1 1 1 (2)S= absin C= bcsin A= acsin B; 2 2 2 (3)S△ABC= s?s-a??s-b??s-c?(海伦公式). 3.解三角形常见问题 (1)已知一边和两角解三角形; (2)已知两边及其中一边的对角解三角形; (3)已知两边及其夹角解三角形; (4)已知三边解三角形; (5)三角形形状的判定; (6)三角形的面积问题; (7)正弦、余弦定理的综合应用.

热点一

三角变换与求值

1 [例 1] (2013· 北京高考)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x. 2

(1)求 f(x)的最小正周期及最大值; π ? 2 (2)若 α∈? ?2,π?,且 f(α)= 2 ,求 α 的值. 1 [自主解答] (1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x) 2 = π 2 ? sin?4x+4? ?, 2

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为 f(α)= π? 2 ,所以 sin? ?4α+4?=1. 2

π ? 因为 α∈? ?2,π?, π 9π 17π? , 所以 4α+ ∈? 4 ?, 4 ?4 π 5π 9π 即 4α+ = .故 α= . 4 2 16 互动探究 在本例中,若 F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x),求 F(x)的最大值和单调递增区间. 1 解:∵f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 = (sin 4x+cos 4x), 2 ∴F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x) 1 1 = (cos 4x+sin 4x)(cos 4x-sin 4x)+ (sin 4x+cos 4x)2 4 4 1 1 = cos 8x+ (1+2sin 4xcos 4x) 4 4 1 1 1 = cos 8x+ sin 8x+ 4 4 4 = = 2? 2 2 ?+1 4 ? 2 cos 8x+ 2 sin 8x? 4 π 1 2 ? sin?8x+4? ?+4, 4 2+1 2 1 + = . 4 4 4

∴F(x)max=

π π π 由- +2kπ≤8x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得 2 4 2 3π 1 π 1 - + kπ≤x≤ + kπ,k∈Z. 32 4 32 4 3π 1 π 故函数 F(x)的单调递增区间为? ?-32+4kπ,32+ 1 ? kπ 4 ?,k∈Z.

总结——————————————————————— ——————————规律· 1.条件求值的一般思路 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 2.三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切,想化弦;(2)遇多元,想消元;(3)遇差异,想联系;(4)遇高次,想降次;(5) 遇特角,想求值;(6)想消元,引辅角.

θ?? 2? ? θ? ? ? θ? ? 1.已知向量 a=? b- 3为 ?sin?x+2?,cos ?x+2??,b=?cos?x+2?, 3?,函数 f(x)=2a· 偶函数,且 θ∈[0,π]. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 x∈(0,π),f(x)=1,求 x 的值. θ? ? θ? θ? 2? 解: (1)f(x) = 2sin ? ?x+2? cos?x+2? + 2 3cos ?x+2? - 3 = sin(2x+ θ)+ 3cos(2x+ θ)= π? 2sin? ?2x+θ+3?. π π 由 f(x)为偶函数得 θ+ =kπ+ ,k∈Z, 3 2 π π ∴θ=kπ+ ,k∈Z.又 θ∈[0,π],∴θ= , 6 6 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+2?=2cos 2x. 1 (2)由 f(x)=1 得 cos 2x= . 2 又 x∈(0,π),所以 2x∈(0,2π), π 5π 所以 2x= 或 2x= , 3 3 π 5π 即 x= 或 . 6 6

φ 2.设函数 f(x)=2sin xcos2 +cos xsin φ-sin x(0<φ<π)在 x=π 处取最小值. 2 (1)求 φ 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(B)=- 2sin?3C-θ?+sin?C+θ? 求 的值. cos?C+θ? φ 解:(1)f(x)=2sin xcos2 +cos xsin φ-sin x 2
2φ ? =sin x? ?2cos 2-1?+cos xsin φ

2 , 2

=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ), π 依题意,sin(π+φ)=-1,∵0<φ<π,∴φ= . 2 π? (2)由(1)知 f(x)=sin(x+φ)=sin? ?x+2?=cos x, ∵f(B)=- 2 2 ,∴cos B=- . 2 2

3π ∵0<B<π,∴B= . 4 sin A a 1 ∵a=1,b= 2,由正弦定理 = = , sin B b 2 1 π π 故 sin A= .∵a<b,∴A<B,∴0<A< ,∴A= . 2 2 6 π ∴C=π-A-B= . 12 ∴ = = 2sin?3C-θ?+sin?C+θ? 2sin?45° -θ?+sin?15° +θ? = cos?C+θ? cos?15° +θ? 2sin[60° -?15° +θ?]+sin?15° +θ? cos?15° +θ? 2sin 60° cos?15° +θ? = 3. cos?15° +θ?

热点二

三角函数的图像与性质

[例 2] (2013· 山东高考)设函数 f(x)=

3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图 2

π 像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值;

3π? (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值. [自主解答] (1)f(x)= = = 3 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx 2

1-cos 2ωx 1 3 - 3· - sin 2ωx 2 2 2 3 1 cos 2ωx- sin 2ωx 2 2

π? =-sin? ?2ωx-3?. π 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 2π π 又 ω>0,所以 =4× , 2ω 4 因此 ω=1. π? (2)由(1)知 f(x)=-sin? ?2x-3?. 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 所以- π? 3 ≤sin? ?2x-3?≤1. 2 3 . 2

因此-1≤f(x)≤

3π? 3 故 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 2 ,-1. 总结——————————————————— ——————————规律· 研究三角函数图像与性质的常用方法 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内, 先化简三角函数式,尽量化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解. (2)对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助角化为 y= a2+b2

? sin(ωx+φ)?cos φ= ?

a , a +b2
2

sin φ=

b ? ?的形式来求. a +b2?
2

π? 3.函数 y=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的一段图像如图所示.

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π (2)将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图像.求直线 y= 6与函数 y 4 =f(x)+g(x)的图像在(0,π)内所有交点的坐标. 2π 解:(1)由题意知 A=2,T=π,于是 ω= =2, T π 将 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度, 12 π? π? ? 得 f(x)=2sin 2? ?x+12?=2sin?2x+6?. π? π? π? ? (2)依题意得 g(x)=2sin?2? ?x-4?+6 =-2cos?2x+6?.

?

?

π? π? ? 故 y=f(x)+g(x)=2sin? ?2x+6?-2cos?2x+6?= π? 2 2sin? ?2x-12?. π π 3 2x- ?= 6,得 sin?2x- ?= . 由 2 2sin? 12? 12? 2 ? ? π π 23π ∵0<x<π,∴- <2x- < . 12 12 12 π π π 2π ∴2x- = 或 2x- = , 12 3 12 3 5π 3π ∴x= 或 x= , 24 8 5π ∴所有交点的坐标为? ?24, 3π 6?或? , ? ?8 6? .

?

3π 1 - +ωx?x?0<ω< ?, 4. 已知函数 f(x)=( 3sin ωx+cos ωx)· sin? 2? 且函数 y=f(x)的图像的 ? 2 ?? 5π ? 一个对称中心为? ? 3 ,a?. (1)求 a 的值和函数 f(x)的单调递减区间; 2a-c cos C (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满足 = ,求函数 f(A) b cos B 的取值范围. 解:(1)f(x)=( 3sin ωx+cos ωx)cos ωx = 3 1 1 sin 2ωx+ cos 2ωx+ 2 2 2

π? 1 =sin? ?2ωx+6?+2. 5π π 据题意,2ω· + =kπ,k∈Z, 3 6

6k-1 ω= ,k∈Z, 20 1 1 ∵0<ω< ,∴当 k=1 时,ω= . 2 4 1 π? 1 从而 f(x)=sin? ?2x+6?+2, 1 故 a= . 2 π 1 π 3π 2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 2 6 2 2π 8π? 单调递减区间是? ?4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 ?,k∈Z. 1 π (2)2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,2sin Acos B=sin(B+C),cos B= ,∴B= . 2 3 1 π? 1 2π f(A)=sin? ?2A+6?+2,0<A< 3 , 3 π 1 π π 3 1, ? . 故 < A+ < ,1<f(A)< ,即 f(A)∈? ? 2? 6 2 6 2 2 热点三 正弦、余弦定理及解三角形

[例 3] 在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A-3cos(B+C)= 1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. [自主解答] (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 1 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3,得 bc=20.又 b=5,知 c=4.由余弦定理得 a2 2 2 2 4 =b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 20 3 5 又由正弦定理得 sin Bsin C= sin A·sin A= 2 sin2A= × = . a a a 21 4 7 互动探究

保持本例条件不变,若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36. 28 又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 7 3 由三角形面积公式 S= bcsin A,得△ABC 的面积为 . 2 3

总结————————————————— ——————————规律· 三角形的基本量的求法 (1)先将几何问题转化为代数问题,若要把“边”化为“角”,常利用 a=2Rsin A,b= a b c 2Rsin B,c=2Rsin C,若要把“角”化为“边”,常利用 sin A= ,sin B= ,sin C= , 2R 2R 2R a2+b2-c2 cos C= 等; 2ab (2)然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量.

5.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)· (a-b+c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C= 3-1 ,求 C. 4

解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理得 cos B= =- , 2ac 2 因此 B=120° . (2)由(1)知 A+C=60° , 所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C 3-1 1 3 = +2× = ,故 A-C=30° 或 A-C=-30° , 2 4 2 因此 C=15° 或 C=45° . 7 6.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.

解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B= ,所以 ac=9. 9 解得 a=3,c=3. (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 4 9 2 ,

asin B 2 2 由正弦定理得 sin A= = . b 3 因为 a=c,所以 A 为锐角,所以 cos A= 1 1-sin2A= . 3

10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= . 27


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