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2005年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题


2005 年温州市第三届“摇篮杯”数学竞赛高一试卷
(2005 年 5 月 15 日上午 9:00—11:00)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题的 4 个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ) 1、数列 2004 , 2005 ,1 , ? 2004 ,…;从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则 该数

列的前 2005 项之和等于……………………………………………………………………
( ) A. 2004 2、 函数 y ? B. 2005 C. 1 D. 0 )

ax ? 1 在区间 (-2, +∞) 上单调递增, 则 a 的取值范围是 ……………… ( x?2 1 1 A. 0 ? a ? B. a ? ?1 或 a ? 1 C. a ? D. a ? ?2 2 2 x 3、函数 f ( x) ? 2 的图像不可能 是 ……………………………………………………… ... x ?a
( )

A

B

C

D

4、函数 y ? x ? sin x 的图像按向量 a ? ? -

? ?

?

?? ,- ? 平移后所得图像对应的函数为…… 2 2?
( ) D. y C. y

A. y

? x ? sin x

B. y ? x - cos x

? x+ cos x

? x+ cos x ? ?


5、 若不等式 m 2 ? cos 2 ? ? 5 m ? 4sin 2 ? ? 0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 ……… ( A.0≤m≤4 B.m≥1 或 m≤0 C.1≤m≤4 D. m≥4 或 m≤0

?

?

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6 、已知 f ( x) ? cos x ( x ? ? ?

x ?x 1 ?1 ? ? ? ,记 p ? ? f ( x1 ) ? f ?1 ( x2 ) ? , q ? f ?1 ( 1 2 ) ,其 , 0 ?) ? ? 2 2 ? 2 ?

中 x1 , x2 ? [0,1] ,且 x1 ? x2 ,则 …………………………………………………………… ( ) A. p ? q B. p ? q C. p ? q D.不能确定 )

7、 设 a 是正整数,a ? 100 , 而且 a 3 ? 23 能被 24 整除, 那么这样的 a 个数为………… ( A.4 B.5 C.9 D.10

8、甲、乙、丙三人中两人进行乒乓球单打比赛,一人当裁判,输方当下一局的裁判。比赛结 束后发现甲打了 12 局,乙打了 21 局,而丙当裁判 8 局。那么比赛的第 12 局输方……… ( ) A.必是甲 B.必是乙 C.必是丙 D.三人都有可能

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。将答案填在题中横线上。 )
9、数列 ?a n ? 中, a1 ? 1,an ?1 ?

an ,则 a5 ? an ? 2

10、对于任意的 x ? R ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), (? ? 0) 满足条件 f (a ? x) ? f (a ? x) ,则

f (a ?

? )= 2?

11、2004 年 12 月 26 日,印尼发生强烈地震,继而引发海啸。印尼地震监测机构最初公布的 报告称,这次地震的震级为里氏 6.8 级,但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏 8.9 级。 已知里氏震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 R ? 震释放的能量大约是里氏 6.8 级地震释放的能量的

2 (lg E ? 11.4) 。那么里氏 8.9 级的地 3
倍。 (已知 100.15 ? 1.413 )

12、方程 ( x 2 ? 6 x ? c1 )( x 2 ? 6 x ? c2 )( x 2 ? 6 x ? c3 ) ? 0 的自然数解集为 ? x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ? , 那么 c1 ? c2 的最大值为 13、把 311 表示成 k 项连续正整数的和,则项数 k 的最大值为 14、定义在非零实数集上的函数 f ( x) 满足 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 f ( x) 在 (0, ??) 上单调

1 6 三、解答题:本大题共 3 小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
递增,则不等式 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 0 的解集为 15、 (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ?

2 5 。 5

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(1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 0 ? ? ? 16、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 且 sin ? ? ?
(a ? 0)

5 ,求 sin ? 的值。 13

a2 ? x2 x ? 2a

(1)证明: f ( x) 既不是奇函数又不是偶函数。 (2)求 f ( x) 的值域。 (3)若对于 f ( x) 定义域内的任意实数 x1 ,都能构造出一个无穷数列 ? xn ? , 使其满足条件 xn ?1 ? f ( xn ) (n ? N * ) ,求 a 的取值范围。 17、 (本小题满分 18 分)数列 ?an ? 中, a1 ? a , an ?1 ? an ? 4n ? 56 ( n ? N ) 。
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式。 (2)是否存在 a ,使得数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 与 an ?1 ? an ? a 同时取到最小值,若 存在,求 a 的取值范围。若不存在,说明理由。 (3)若 a ? ?27 ,数列 ?bn ? 满足条件 b1 ? b15 ,且 bn ?1 ? bn ? 部分。

1 (n ? N * ) ,求 b100 的整数 bn

2005 年温州市第三届“摇篮杯”数学竞赛高一试题参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 ) 1、[A] 5、[D] 2、[C] 6、[B] 3、[D] 7、[B] 4、[C] 8、[A]

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 9、

1 31

10、0

11、1413

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12、8

13、486

14、 [ ?1, 0)

(0, 2]

[3, 5)

(5, 6]

解答题(说明:评阅试卷时,请按照评分标准,2 分一档,不要再增加其他档次。 ) 三、解: (1)由已知, 且
2 2

-2 · +

2

4 =5

――――

――(2 分) ――――――(4 分) ――――――(6 分)



2

3 =1,所以 · =5

即 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? (2)由已知, 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 sin(? ? ? ) ?

3 3 ,所以 cos(? ? ? ) ? 5 5

4 12 , cos ? ? 5 13

――――――(8 分) ――――(10 分) ――――――(12 分)

sin ? ? sin ? (? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?
= 四、证明: (1)函数的定义域为 [? a, a ] ∵f (

33 65

a 3 a 3 )?? , f (? ) ? ? 2 3 2 5

――――――(2 分)

a a a a f ( ) ? f (? ) 且 f ( ) ? ? f (? ) 2 2 2 2

? f ( x) 既不是奇函数又不是偶函数;
(2)令 t ? x ? 2a , t ? [?3a, ? a ] ,

――――(4 分)

f (t ) ?


?t 2 ? 4at ? 3a 2 4a 3a 2 ? ? ?1 ? ? 2 t t t

――――― ―(6 分) ― ―(8 分)

a 1 2 2 1 ? k , ?1 ? k ? ? 则 f ( k ) 在 [?1, ? ] 递增,在 [? , ? ] 递减 t 3 3 3 3

所以函数的值域为 [?

3 , 0] 3

―――――(10 分)

(3) 由题意可知,函数 f(x)的值域 B 应为定义域 A 的子集,即 B ? A ――――――(12 分)
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? a 的取值范围为 [
五、解:

3 , ??) 3

――――――(14 分)

⑴由于 an ?1 ? an ? 4n ? 56, (n∈N*) ,∴ an ? 2 ? an ?1 ? 4n ? 52, ∴{an}的奇数项与偶数项分别是公差为 4 的等差数列。 又 a1 ? a, ∴ a2 ? ?52 ? a , ∴ an ? ?

∴ an ? 2

? an ? 4 。

?2n ? 2 ? a(n为正奇数), ?2n ? a ? 56(n为正偶数).

―――――

―(4 分)

?n 2 ? 28n(n为正偶数), (2) S n ? ? ? 2 ? ?n ? 28n ? a ? 27(n为正奇数).
当 n=14 时, n 2 ? 28n 取到最小值为-196,

――――

――(6 分)

当 n=13 或 15 时, n 2 ? 28n ? a ? 27 取到最小值为 ?168 ? a , ∵ | an ?1 ? an ? a |?| 4n ? 56 ? a |? 4 | n ? 14 ? 当 ?2

―――

―(8 分)

a |, 4

? a ? 2 时,n=14 取到最小值。∴-168+a≥-196,
即 a≥-28 ∴ ?2 ? a ? 2

当 -6 ? a ? ?2或2 ? a ? 6 时,n=13 或 15 取到最小值。 ∴-168+a≤-196, 即 a≤-28 ∴a 不存在 ―― ――――(10 分) ―(12 分)

综上,存在这样的实数 a ,取值范围为

?2 ? a ? 2 ―
n

1 1 (3)由已知 b2n+1=b2n+ b2 +2,即 b2n+1-b2n= b2 +2
n

1 1 1 由累差迭加得 b2100-b21=( b2 + b2 +…+ b2 )+198>198 1 2 99 ∴b100>14 分) 显然{bn}递增,b1=a15=1,b2=2,当 n>2 时,bn>2,
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(14

1 1 1 98 ∴b2100-b21= b2 +( b2 +…+ b2 )+198<1+ 4 +198<224 1 2 99 ∴b100<15 分) ∴b100 的整数部分为 14 (18 分) (16

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