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整体与部分思想在证明对称不等式中的应用


证明 ∵ 1 +

整体与部分思想 在证明对称不等式中的应用
福建省晋江市尚志中学 陈锦文

x + x + ? ? ? + xn 1 =1 + 1 2 x1 x1 x2 x3 x = 1+ 1+ + + ? ? ? + n x1 x1 x1
n +1

≥ ( n + 1) 同理 1 +


x2 ? x3 ??? xn , ( x1 ) n ?1
n+1

所谓的整体与部分思想就是在解决有关 的数学问题时 ,站在整体 ,全局的角度上思考 问题 ,观察整体的结构特点与个体之间的内 在联系 ,利用问题的局部与整体之间的联系 来解决问题. 整体是部分之和 ,部分之和是整 体 . 通过整体与部分思想进行分析问题 ,往往 能够看到问题的本质 ,发现规律 ,找到解决问 题的突破口. 本文通过一串数学竞赛题 ,谈谈整体与 部分思想在证明对称不等式中的应用 . 虽然 这些问题有一定的难度 ,但只要巧妙地将整 体转化为部分 ,再利用部分之和是整体 ,则问 题的解决十分简捷合理,轻而易举. 例 1 设 x, y 是 正 实 数 , 且 x + y = 1 , 求 1 1 证: (1 + )(1 + ) ≥ 9 . x y 证 明 不等式是关于 x, y 对称的 ,左边由 1 1 两部分 1 + 与 1 + 的积组成,又 x + y = 1 ,则 x y 1+ 1 x+ y y y =1 + = 1 + 1 + ≥ 3 1 ×1 × , x x x x
3 3

x1 x3 x4 ? ? ? xn 1 ≥ ( n + 1) , x2 ( x2 ) n?1 ??? n +1 x x ? ? ? x 1 1 2 n ?1 . 1 + ≥ ( n + 1) xn ( xn ) n?1 1 ) xi
n +1

∴ ∏ (1 +
i=1

n

≥ ( n + 1) n

(∏ xi ) n?1 (∏ xi )
i=1 i=1 n n ?1

n

= ( n + 1) n .

例 2 设 a, b, c ∈ R+ ,求证:
a 2 + ab + b 2 + b 2 + bc + c 2 + c 2 + ca + a 2

≥ 3( a + b + c). 分 析 不等式有明显的轮换性 ,考虑整体 等于各部分之和 ,故左边三项转化成三个不 等式 ,并且与右边 (a + b + c ) 有关系.然后再将 三个不等式相加,即各部分之和等于整体. 证明 a 2 + ab + b 2 = ( a + b) 2 ? ab ≥ ( a + b) 2 ? 同理可证 ( a + b) 2 3 = ( a + b) , 4 2 3 b 2 + bc + c 2 ≥ (b + c) , 2 3 c 2 + ca + a 2 ≥ (c + a ) . 2

1 x+ y x x 1 + =1 + = 1 + + 1 ≥3 1 ×1 × , y y y y 两边相乘得, 1 1 (1 + )(1 + ) ≥ 9 x y
3

x y ? = 9. y x
n i=1

三式相加得, a 2 + ab + b 2 + b 2 + bc + c2 + c 2 + ca + a 2 ≥ 3( a + b + c) . 引申结论 设 a1 , a2 , ? ? ?, an ∈ R + ,求证
2 2 2 a12 + a1a2 + a2 + a2 + a2 a3 + a3 +???

引申结论 设 xi ∈ R+ (1,2, ???, n), ∑ xi = 1 , 1 求证: ∏ (1 + ) ≥ (1 + n) n . xi i=1 ?26?
n

2 2 2 + an an + an a1 + a12 ?1 + an ?1 an + an +

≥ 3(a1 + a 2 + ? ? ? + an ) . 例 3 已知: a, b, c ∈ R+ 求证: a 2 + b2 + c 2 a+b b+ c c+ a ≥ ab + bc + ca . 2 2 2 分 析 对称不等式左、右两边各三项,故 考虑将一个不等式转化成三个不等式 ,然后 再相加. 证明 a 2 + b 2 ≥ ( a + b) 2 2

例 5 设 a, b, c 为正实数,且满足 abc = 1 , 1 1 1 3 + 3 + 3 ≥ . 试证: 3 a (b + c ) b (c + a) c ( a + b) 2 (1995 年第 36 届 IMO 试题) 分 析 将对称性不等式添入适当的辅助 元素,转化为三个不等式. 1 1 证明 3 + a (b + c) a ( b + c) 4 ≥2 同理
3

1 1 1 ? a (b + c) = . a (b + c) 4 a
3

1 = (a + b ) ? (a + b ) 2 1 ≥ ( a + b) ? 2 ab 2 = ( a + b) ab .
2 2 同理 b + c ≥ (b + c) bc ,

c2 + a 2 ≥ ( c + a) ca . 上面三式相加, 得 a 2 + b2 + c 2 a+b b+ c c+ a ≥ ab + bc + ca . 2 2 2 引申结论 设 a1 , a2 , ? ? ?, an ∈ R + , 求证: a + a2 2 2 a12 + a2 + ? ? ? + an ≥ 1 a1a2 + 2 a2 + a3 a +a a2a3 + ? ? ? + n 1 an a1 . 2 2 例 4 对任意 a > 1, b > 1 的实数,求证: a2 b2 + ≥8. b ?1 a ?1 (第 26 届独联体奥林匹克试题) 分 析 不等式具有对称性,将左边两项转 化成两个不等式 ,有时转化过程要加入适当 的辅助元素才能达到目的. a2 证明 + 4(b ? 1) ≥ 4a, b ?1 b2 + 4( a ? 1) ≥ 4b, a ?1 a2 b2 两式相加得 + ≥8. b ?1 a ?1

1 1 1 + b( c + a) ≥ , b (c + a ) 4 b 1 1 1 + c (a + b ) ≥ , c3 ( a + b ) 4 c 1 1 1 + 3 + 3 ∴ 3 a ( b + c ) b (c + a ) c ( a + b) 1 1 1 1 ≥ + + ? ( ab + bc + ca) a b c 2 ab + bc + ca 1 = ? ( ab + bc + ca) 2 abc 1 = ( ab + bc + ca) 2 3 1 3 ≥ ? 3 ? a 2 b2 c 2 = . 2 2 + 例 6 设 x, y , z ∈ R ,且 xyz = 1 .求证: x3 y3 z3 + + (1 + y)(1 + z) (1 + x)(1 + z) (1 + x)(1 + y) 3 ≥ . 4 (1998 年第 39 届 IMO 预选试题) 分 析 该题与上一题类似 ,关键要找到辅 助元素. 证明 ∵ x, y , z ∈ R + , ∴ x3 1+ y 1+ z 3 + + ≥ x, (1 + y)(1 + z) 8 8 4 y3 1 + x 1+ z 3 + + ≥ y, (1 + x)(1 + z) 8 8 4 3 z 1+ x 1+ y 3 + + ≥ z, (1 + x)(1 + y) 8 8 4 ?27?

三式相加得, x3 y3 z3 + + (1 + y )(1 + z ) (1 + x )(1 + z ) (1 + x )(1 + y) 3 1 ≥ ( x + y + z ) ? (6 + 2 x + 2 y + 2 z) 4 8 1 3 = (x + y + z ) ? 2 4 1 3 3 3 ≥ ? 3 xyz ? = . 2 4 4 例 7 设 a, b, c 都是正数,求证: a2 b2 c2 1 + + ≥ ( a + b + c) . b + c c + a a +b 2 (第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题) 分 析 对称性不等式左、 右可以看成各三 项 ,故要构造三个不等式 ,并且对应项之间应 有密切联系. 证明 a2 b+c a2 b + c + ≥2 ? =a, 4 b+c b+c 4 b2 c+a c2 c +a + ≥b, + ≥c. 同理 4 4 c +a a+b 三式相加得, a2 b2 c2 1 + + ≥ ( a + b + c) . b + c c + a a +b 2 引申结论 设 a1 , a2 , ? ? ?, an ∈ R + 则
2 2 2 a12 a2 an an ?1 + +???+ + a2 + a3 a2 + a4 an?1 + an a1 + a2 1 ≥ ( a1 + a 2 + ? ? ? + an ) . 2 例 8 求证:对于和为 1 的正数 a1 , a2 , ? ? ?, an 不等式 2 2 2 a1 a2 an an 2 ?1 + +???+ + a1 + a 2 a2 + a3 an?1 + an a n + a1 1 ≥ 成立. 2 (第 24 届全苏中学学生竞赛题) 分 析 利用上一题的方法可容易得到证 明.

一道习题的推广及猜想
福建龙岩一中初三(2)班 来庆立

多种初中数学学习指导书上有这样一道 习题: 问题 如图,设 P 为△ ABC 内任意一 点, 求证 BP + PC < BA + AC . A P B D C

我们利用三角形的一个重要性质:“三角 形的两边之和大于第三边”来证明这道题. 证明 如上图,延长 BP 与 AC 交于 D , 则 BA + AD > BD , 从而 BA + AC = BA + AD + DC > BD + DC , ∵ BD + DC = BP + PD + DC > BP + PC , ∴ BP + PC < BA + AC . 将上述问题推广到空间 , 如果 P 点位于 一 个 四 面 体 的 内 部 ,会 不 会 有 类 似 的 结 论 呢? A 猜想 1 如图, 设 P 为四面体 ABCD 内一点, 则 PB + PC + PD P D

< AB + AC + AD . B 有趣的是,当三角形 C 内点的个数增加到两个时 ,仍然有类似于上 述问题的结论,即 推广 如图, 设 P 1、 P2 为△ ABC 内的两个 点, B P 1P 2 C 为凸四边形, 则 BP 1 +P 1P 2 + P 2 C < BA + AC .
P 1

A P
P2

B

C

证 明 如上图 , 由题设条件 P 1 、 P 2 为△ ?28?


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