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【全国百强校】四川省雅安中学2015届高三开学考试数学(文)试题


雅安中学高中 2015 届高三下期入学测试


目要求的.

学(文史类)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只有一个是符合题

1.已知全集为 R,集合 A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x2 ? 6x ? 8 ? 0} ,则 A ? C R B = A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2或x ? 4} B. {x | 2 ? x ? 4} D. {x | 0 ? x ? 2或x ? 4}

2.下列说法错误的是 A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直; C.如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条 直线确定的平面也两两垂直; D.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条 直线一定平行; 3.若 a, b, c 为实数,则下列命题中正确的是 A.若 a ? b ,则 ac ? bc
2 2

开始

i ? 1, S ? 0

i ? i ?1

i 是奇数




B.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c C.若 a ? b ,则 ac ? bc D.若 a ? b ,则

S ? 2 ?i ?1


1 1 ? a b

S ? 10
否 输出 i 结束

4.若 f ( x) ? 4 log2 x ? 2 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? A.12 B.24 C.30 D.48 5.阅读右侧程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白 矩形框中应填入的语句为 A. S ? 2 ? i B. S ? 2 ? i ? 1 C. S ? 2 ? i ? 2 6.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积是

D. S ? 2 ? i ? 4

A.4+2 6

B.4+ 6

C.4+2 2

D.4+ 2

7.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60 0 的任意向量,则对任意的正实数 t , | ta ? b | 的最小值是 A.0 8.下列命题正确的是 ① “ 2 ? x ? 6 ”是 “ x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 ”的必要不充分条件;
数学(文科)试题第 1 页 共4页

B.

1 2

C.

3 2

D.1

② 函数 f ( x) ? tan2 x 的对称中心是 (
3 2

k? ,0) ( k ? Z ); 2

③ “ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”; ④ 设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解 x1 , x2 , x3 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? A.①③ A. f ? x ? ? ( x ?1)

7? . 3
B.②③
x

C.②④ B. f ? x ? ? 4x ?1

D.③④

9.函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是
2

C. f ( x) ? ln( x ? )

1 2

D. f ? x ? ? e ?1
x

10.设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ?? ? x ? ,若在 区 间 ? a, b ? 上 f ??( x) ? 0 恒 成 立 , 则 称 函 数 f ? x ? 在 区 间 ? a, b ? 上 为 “ 凸 函 数 ” ; 已 知

f ( x) ?

1 4 m 3 3 2 x ? x ? x 在 ?1,3? 上为“凸函数”,则实数 m 的取值范围是 12 6 2 31 ) 9
B. [

A. ( ??,

31 , 5] 9

C. (??,?2)

D. [2,??)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上. 11.若 ( x ? i)i ? y ? 2i( x, y ? R) ,则复数 x ? yi ?

?x ? y ? 5 ? 0 ? 12.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是 ?x?3 ?
13.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( ,

1 2

2 ) ,则 log 2 [ f (2)] = 2

14.有两个等差数列 2,6,10,…,190 及 2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成 一个新数列,则这个新数列的各项之和为 15.下列命题中

1 在定义域内为单调递减函数; x a ②函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的最小值为 2 a ; x ③已知定义在 R 上周期为 4 的函数 f ( x ) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 一定为偶函数;
①函数 f ( x) ? ④已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,则 a ? b ? c ? 0 是 f ( x ) 有极值的必要不充分条件; ⑤已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? 0 . 其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).

数学(文科)试题第 2 页

共4页

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C 。 (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 BA ? AC 的值。 2

17.(本小题满分 12 分) 某学校举行元旦晚会,组委会招募了 12 名男志愿者和 18 名 女志愿者,将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图 (单位:cm),身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高 个子”,身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子”. (Ⅰ )如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 共抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,求至少有一人是“高个子”的概率; (Ⅱ )若从身高 180 cm 以上(包括 180 cm)的志愿者中选出男、女各一人,求这 2 人身高相差 5 cm 以 上的概率.

18.(本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log 2 an , sn ? b1 ? b2 ?

? bn ,求使 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最小值.

19.(本题满分 12 分) 如图,圆 O 为三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 的外接圆,AC 是圆 O 的直径, PA ? BC,点 M 是线段 PA 的中点. (Ⅰ )求证: BC ? PB; (Ⅱ )设 PA ? AC,PA=AC=2,AB=1,求三棱锥 P-MBC 的 体积; (Ⅲ )在 ? ABC 内是否存在点 N,使得 MN∥ 平面 PBC? 请证明你的结论.

P

M

A

O

C

B

数学(文科)试题第 3 页

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20.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, 其中a 为常数. (Ⅰ )当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的单调区间;

1 ? e 时,若 f ( x) 在区间 (0, e) 上的最大值为 ? 3 ,求 a 的值; a ln x 1 ? 是否有实数解. (Ⅲ )当 a ? ?1 时,试推断方程 | f ( x) | = x 2
(Ⅱ )当 0 ? ?

21.(本题满分 14 分)

1 3 x ? x 2 ? ax . 3 (Ⅰ )当 a ? ?3 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ )讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ )设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的交点在曲 线 y ? f ( x) 上,求 a 的值.
已知函数 f ( x) ?

数学(文科)试题第 4 页

共4页

雅安中学高中 2015 届高三下期入学测试 数学(文史类) 参考答案
一、选择题:

1 C
11. 2+i

2 D

3 B
12. -6

4 C

5 A
13.

6 A

7 C
14. 1472

8 D

9 B
15. ③⑤

10 D

二、填空题:

1 2

三、解答题: 16、解(1)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C , ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ∴B? ∴ 2cos B ? 1 , cos B ?

1 2

又 0 ? B ??

?
3

; ??????????????????????????????? 6 分
1 ? 3 3 3 3 ,∴ ? 3c sin ? 2 3 2 2

(2)方法一:∵ a ? 3 , △ABC 的面积为
b2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

∴c?2

??8 分 9分

?
3

? 7 ,即 b ? 7 , ?????????????????

7 , ??????????????????????? 10 分 14

∴ BA AC ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

7 ) ? ?1 . 14

????????????????12 分
2

方法二: BA ? AC ? BA( BC ? BA) ? BA ? BC ? BA

2 1 ? BA ? BC ? cos? BA, BC ? ? BA ? 2 ? 3 ? ? 22 ? ?1 ????????????12 分 2

17、解 (1)根据茎叶图知,“高个子”有 12 人,“非高个子”有 18 人, 5 1 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = , 30 6 1 1 所以抽取的 5 人中,“高个子”有 12× =2 人,“非高个子”有 18× =3 人. 6 6 “高个子”用 A,B 表示,“非高个子”用 a,b,c 表示,则从这 5 人中选 2 人的情况有(A,B),(A,a),(A, b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共 10 种, 至少有一名“高个子”被选中的情况有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共 7 种. 7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 P= . ???????????????6 分 10 (2)由茎叶图知, 有 5 名男志愿者身高在 180 cm 以上(包括 180 cm), 身高分别为 181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm;有 2 名女志愿者身高为 180 cm 以上(包括 180 cm),身高分别为 180 cm,181 cm.抽出的 2 人 用身高表示, 则有(181,180), (181,181), (182,180), (182,181), (184,180), (184,181), (187,180), (187,181), (191,180),(191,181),共 10 种情况, 身高相差 5 cm 以上的有(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共 4 种情况,故这 2 人身高相差 5 cm 4 2 以上的概率为 = . ???????????????????12 分 10 5 18、解(1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,以题意有: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4
数学(文科)试题第 5 页 共4页

代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8

? a1q ? a1q 3 ? 20 ? ∴? ??????????????????????????? 3 分 2 ? ? a3 ? a1q ? 8

?a ? 32 ?a1 ? 2 ? 1 解之得: ? 或? 1 ??????????????????????? 5 分 q ? 2 q ? ? ? ? 2 又∵ ?an ? 单调递增,∴ a1 ? 2, q ? 2,
∴ an ? 2n ??????????????????????????????? 6 分 ??????????????????????? 7 分 (2) bn ? 2n log2 2n ? n ? 2n ∴ sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ∴ 2sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ?
2 3 4

? n ? 2n
n

① ②

? (n ?1) ? 2 ? n ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1 ?
n

∴②-①得: sn ? n ? 2n?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? = ?2
n ?1

2(2n ? 1) 2 ?1

? n ? 2n?1 ? 2 ????????????????????????????9 分 n ?1 n ?1 由 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 得 ?2 ? 52 ? 0 ,∴ 2 >52. ? 25 ? 32 <52 n ?1 6 当 n ? 5 时, 2 ? 2 ? 64 ﹥52 故使 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 5 ????????????12 分
又当 n ? 4 时, 2 19、
P
n ?1

M

A D B N

O

C

(Ⅰ)证明:如图,因为,AC 是圆 O 的直径,所以 BC⊥AB · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 因为,BC ? PA,又 PA、AB ? 平面 PAB,且 PA AB=A · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 所以,BC 平面 PAB,又 PB ? 平面 PAB · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以,BC ? PB · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? (Ⅱ)如图,在 Rt ABC 中,AC=2,AB=1

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 因为,PA ? BC,PA ? AC,所以 PA ? 平面 ABC 1 3 1 3 3 ?2? ? ?1 ? 所以, VP ? MBC ? VP ? ABC ? VM ? ABC ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 2 3 2 6
所以,BC= 3 ,因此, S?ABC ? (Ⅲ)如图,取 AB 得中点 D,连接 OD、MD、OM,则 N 为线段 OD(除端点 O、D 外)上任意一点 即可,理由如下: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 因为,M、O、D 分别是 PA、AC、AB 的中点 所以,MD∥PB,MO∥PC 因为,MD ? 平面 PBC,PB ? 平面 PBC 所以,MD∥平面 PBC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 同理可得,MO∥平面 PBC
数学(文科)试题第 6 页 共4页

因为,MD、MO ? 平面 MDO,MD MO=M 所以,平面 MDO∥平面 PBC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 因为,MN ? 平面 MDO 故,MN∥平面 PBC. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20、解: (Ⅰ)由已知知道函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
/ 当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x ? ln x ,所以 f ( x) ? ?1 ?

1 1? x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 x x

当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f / ( x) ? 0 所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

1 1 ,令 f / ( x) ? 0 解得 x ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 x a 1 1 由 f / ( x) ? 0 解得 0 ? x ? ? ,由 f / ( x) ? 0 解得 ? ? x ? e a a 1 1 从而 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ) ,减区间为 (? , e) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 a a 1 1 所以, f ( x) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) ? ?3 a a 2 解得, a ? ?e . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x)max ? f (1) ? ?1, 所以, | f ( x) | ≥1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ln x 1 1 ? ln x ? ,则 g / ( x) ? 令 g ( x) ? x 2 x2 当 0 ? x ? e 时, g / ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g / ( x) ? 0 从而 g ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减 1 1 所以, g ( x) max ? g (e) ? ? ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 e 2 ln x 1 ? 所以, | f ( x) | ? g ( x) ,即 | f ( x) | ? x 2 ln x 1 ? 没有实数根. · 所以,方程 | f ( x) | = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 x 2 1 3 2 21、解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x) ? x ? x ? 3 x ,则 3 / 2 f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)( x ?1)
(Ⅱ)因为, f ( x ) ? a ?
/

令 f / ( x) ? 0得x1 ? ?3, x2 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 则 x, f ( x), f ( x) 的关系如下:
/

x
f / ( x) f ( x)

(??, ?3)

?3

(?3,1)

1

(1, ??)

?


0

?


0

?


9

?

5 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以,当 x ? ?3 时, f ( x ) 的极大值为 9 ;当 x ? 1 时, f ( x ) 的极小值为 ? (Ⅱ)∵ f ( x) ?

5 .?4 分 3

1 3 2 x ? x 2 ? ax ,∴ f' ( x) ? x 2 ? 2 x ? a = ? x ? 1? ? a ? 1 ?5 分 3 ① 当 a ? 1 时, f' ( x) ? 0 ,且仅当 a =1,x = ? 1 时 f' ( x)=0 ,所以 f ( x ) 在 R 是增函数
数学(文科)试题第 7 页 共4页

6分

② 当 a < 1 时, f' ( x)=0 有两个根 x1 = ?1 ? 1 ? a , x2 = ?1 ? 1 ? a 当 f / ( x) ? 0 时,得 x ? x1或x ? x2 ,所以 f ( x ) 的单独增区间为:

(?? ,? 1 ? ? 1 a )? , (? 1 ? a1?? ,; ) / 当 f ( x) ? 0 时,得 x1 ? x ? x2 ,所以 f ( x ) 的单独减区间为:
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 1 ?a ? , ? 1 ?1 a .)· (Ⅲ)由题设知, x1 , x2 是 f / ( x)=0 的两个根,∴ a < 1 ,且 x12 = ? 2x1 ? a,x22 = ? 2x2 ? a 1 3 1 1 2 2 2 2 所以 f ( x1 ) ? x1 ? x1 ? ax = x1 ? ?2 x1 ? a ? ? x1 ? ax = x1 ? ax1 3 3 3 3 1 2 2 a = ? ?2 x1 ? a ? ? ax1 = ? a ? 1? x1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 3 3 2 a 同理, f ( x2 )= ? a ? 1? x2 ? 3 3 2 a 所以,直线 l 的解析式为 y = ? a ? 1? x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 3 3 2 a a 设直线 l 与 x 轴的交点为 ? x0,0 ? ,则 0= ? a ? 1? x0 ? ,解得 x0 = ?12 分 3 3 2 ? a ? 1? 1 3 2 代入 f ( x) ? x ? x ? ax 得 3

(? 1?

1? a ? ? a ? a a2 f ( x0 ) ? ? ? ? a ? = 12a 2 ? 17a ? 6 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a ? 1? ? ? 2 ? a ? 1? ? 2 ? a ? 1? 24 ? a ? 1?
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 因为 ? x0,f ( x0 ) ? 在 x 轴上,所以 f ( x0 )= 解得, a =0 或 a =

3

2

a2 24 ? a ? 1?
3

?12a

2

?17 a ? 6 ? =0

2 3 或 a = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 3 4

数学(文科)试题第 8 页

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