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广西柳州一中2015届高考数学一模试卷(理科)


广西柳州一中 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题: (共 12 小题.每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项. ) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.2+i B.2﹣i =( ) C.﹣1﹣2i D.﹣1+i

2.已知集合 A. (1,2) B. C.

,B=

{x|y=ln(1﹣x)},则 A∩?RB=(

)

8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则(

)

A.a=3 9.若 A.

B.a=4

C.a=5 等于( )

D.a=6

B.

C.

D.

10.已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为( A. B. ) C. D.

11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( MN 中点的横坐标为﹣ ,则此双曲线的方程是(

,0) ,直线 y=x﹣1 与其相交于 M、N 两点, )

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

12.已知函数 f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,若?x1∈,?x2∈,使得 f(x1)=g(x2) , 则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. (0,3] D.

2

16. 表面积为 60π 的球面上有四点 S、 A、 B、 C, 且△ ABC 是等边三角形, 球心 O 到平面 ABC 的距离为 ,若平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 体积的最大值为__________.

三、解答题: (第 17、18、19、20、21 题每题 12 分,第 22、23、24 题为选做题,每小题 12 分,请同学们选择其中 1 题来做) 17.已知数列{an}满足 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18. 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, AB=BC=1, BB1=2, ∠BCC1= (1)求证:C1B⊥平面 ABC; (2)设 值. =λ (0≤λ≤1) ,且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试求 λ 的 . .

19.乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为 两个不相交的区域 C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球 一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其它情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,小明回 球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回 球互不影响,求:

(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望.

20.设椭圆 点,O 为坐标原点.

的左右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两

(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为

,求椭圆的离心率; .

(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|>
2

21.已知函数 f(x)=ax +bx﹣lnx(a,b∈R) (Ⅰ)设 a≥0,求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)设 a>0,且对于任意 x>0,f(x)≥f(1) .试比较 lna 与﹣2b 的大小.

【选修 4-1:几何证明选讲】 22.选修 4﹣1 几何证明选讲 如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,连结 AD、BD、OC、OD,且 OD=5. (Ⅰ)若 sin∠BAD= ,求 CD 的长; (Ⅱ)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形 OAC(阴影部分)的面积(结果保留 π) .

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. )=2 .

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x ﹣8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)当 x∈M∩N 时,证明:x f(x)+x ≤ .
2 2 2

广西柳州一中 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题: (共 12 小题.每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项. ) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.2+i B.2﹣i =( ) C.﹣1﹣2i D.﹣1+i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解: = ,

故选:C. 点评:本题考查复数复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

2.已知集合 A. (1,2) B. C. =2 ﹣1=﹣ ,

,B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩?RB=(

)

故选 D. 点评:本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,属于基础题. 10.已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为( A. B. ) C. D.

考点:基本不等式;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列.

分析:由 a7=a6+2a5 求得 q=2,代入 小值.

求得 m+n=6,利用基本不等式求出它的最

解答: 解:由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,可得 ∴q ﹣q﹣2=0,∴q=2. ∵ ∴ 成立. 故 的最小值等于 , ,∴q
m+n﹣2 2



=16,∴2

m+n﹣2

=2 ,∴m+n=6, ,当且仅当 = 时,等号

4

故选 A. 点评:本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题. 11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( MN 中点的横坐标为﹣ ,则此双曲线的方程是( ,0) ,直线 y=x﹣1 与其相交于 M、N 两点, )

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

考点:双曲线的标准方程. 分析:先设出双曲线的方程,然后与直线方程联立方程组,经消元得二元一次方程,再根据韦 达定理及 MN 中点的横坐标可得 a、b 的一个方程,又双曲线中有 c =a +b ,则另得 a、b 的一 个方程,最后解 a、b 的方程组即得双曲线方程. 解答: 解:设双曲线方程为 ﹣ =1.
2 2 2

将 y=x﹣1 代入



=1,整理得(b ﹣a )x +2a x﹣a ﹣a b =0.

2

2

2

2

2

2 2

由韦达定理得 x1+x2=
2 2 2 2 2

,则

=

=﹣ .

又 c =a +b =7,解得 a =2,b =5, 所以双曲线的方程是 .

故选 D. 点评:本题主要考查代数方法解决几何问题,同时考查双曲线的标准方程与性质等.

12.已知函数 f(x)=x ﹣2x,g(x)=ax+2(a>0) ,若?x1∈,?x2∈,使得 f(x1)=g(x2) , 则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. (0,3] D. 时的值域为, 再根据一次 g (x)

2

=ax+2(a>0)为增函数,求出 g(x2)∈,由题意得 f(x)值域是 g(x)值域的子集,从而 得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣2x 的图象是开口向上的抛物线,且关于直线 x=1 对称 ∴x1∈时,f(x)的最小值为 f(1)=﹣1,最大值为 f(﹣1)=3, 可得 f(x1)值域为 又∵g(x)=ax+2(a>0) ,x2∈, ∴g(x)为单调增函数,g(x2)值域为 即 g(x2)∈ ∵?x1∈,?x2∈,使得 f(x1)=g(x2) , ∴ ?a≥3
2

故选 D 点评:本题着重考查了函数的值域,属于中档题.本题虽然是一道小题,但完全可以改成一道 大题,处理的关键是对“任意”、“存在”的理解. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分.) 13. ( +2x)dx=1+ln2.

考点:定积分. 专题:导数的综合应用. 分析:找出被积函数的原函数,然后代入上下限计算. 解答: 解: ( +2x)dx= =1+ln2;

故答案为:1+ln2. 点评:本题考查了定积分的运算,熟练找出被积函数的原函数是求定积分的关键.

14.实数 x,y,k 满足

,z=x +y ,若 z 的最大值为 13,则 k 的值为 2.

2

2

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图;则 k>1, 则 z 的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方, 由图象知,O 到 A 的距离最大, 2 2 ∵z=x +y 的最大值为 13, ∴O 到 A 的距离最大为 d= ,



,即



即 A(k,k+1) , 则 OA=
2

=



即 2k +2k+1=13, 2 即 k +k﹣6=0,解得 k=2 或 k=﹣3(舍) , 故 k=2, 故答案为:2

点评:本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

15. 已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1, a3, a4 成等比数列, Sn 为{an}的前 n 项和, 则 的值为 2. 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由题意可得:a3=a1+2d,a4=a1+3d.结合 a1、a3、a4 成等比数列,得到 a1=﹣4d,进而 根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案. 解答: 解:设等差数列的公差为 d,首项为 a1, 所以 a3=a1+2d,a4=a1+3d. 因为 a1、a3、a4 成等比数列, 2 所以(a1+2d) =a1(a1+3d) ,解得:a1=﹣4d. 所以 = =2,

故答案为:2. 点评:解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质,利用性质解决问题. 16. 表面积为 60π 的球面上有四点 S、 A、 B、 C, 且△ ABC 是等边三角形, 球心 O 到平面 ABC 的距离为 ,若平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 体积的最大值为 27.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:棱锥 S﹣ABC 的底面积为定值,欲使棱锥 S﹣ABC 体积体积最大,应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值,由此能求出棱锥 S﹣ABC 体积的最大值. 解答: 解:∵表面积为 60π 的球,∴球的半径为 , 设△ ABC 的中心为 D,则 OD= ,所以 DA= ,则 AB=6 棱锥 S﹣ABC 的底面积 S= 为定值,

欲使其体积最大,应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值, 又平面 SAB⊥平面 ABC, ∴S 在平面 ABC 上的射影落在直线 AB 上,而 SO= ,点 D 到直线 AB 的距离为 则 S 到平面 ABC 的距离的最大值为 , ∴V= .



故答案为:27. 点评:本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法,考查化归与转化的数学思想方法,以及空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 三、解答题: (第 17、18、19、20、21 题每题 12 分,第 22、23、24 题为选做题,每小题 12 分,请同学们选择其中 1 题来做) 17.已知数列{an}满足 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;数列的求和. 专题:计算题. 分析: (I)由 ,知 .

= (n﹣1) +n﹣1=n ﹣n (n≥2, n∈N ) , 由此能够得到数列{an} 的通项公式. (II)设 bn=n?2 ,其前 n 项和为 Tn,则 Tn=1×2 +2×2 +…+n×2 Tn,从而能够得到数列{an}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (I)∵
n+1 2 3 n+1

2

2

+

,由错位相减法能够得到





=(n﹣1) +n﹣1=n ﹣n(n≥2,n∈N ) ,②

2

2

+

由①﹣②得:

,∴an=n?2

n+1

+1,n≥2,n∈N ,③
n+1 +

+

在①中,令 n=1,得 a1=5,适合③式,∴an=n?2 +1,n∈N . n+1 (II)设 bn=n?2 ,其前 n 项和为 Tn,则: 2 3 n+1 Tn=1×2 +2×2 +…+n×2 ,① 3 4 n+2 2Tn=1×2 +2×2 +…+n×2 ,② 2 3 n+1 n+2 ②﹣①,得 Tn=﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2 +n?2 n+2 =(n﹣1)?2 +4. n+2 ∴Sn=Tn+n=(n﹣1)?2 +n+4. 点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法, 解题时要注意迭代法和错位相减法的合理 运用.

18. 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB⊥侧面 BB1C1C, AB=BC=1, BB1=2, ∠BCC1= (1)求证:C1B⊥平面 ABC; (2)设 值. =λ



(0≤λ≤1) ,且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°,试求 λ 的

考点:与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题:空间角. 分析: (1)由已知条件推导出 AB⊥BC1,BC⊥BC1,由此能证明 C1B⊥平面 ABC. (2)以 B 为原点,BC,BA,BC1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.利用向 量法能求出 λ 的值. 解答: (1)证明:AB⊥侧面 BB1C1C,BC1?侧面 BB1C1C,∴AB⊥BC1, 在△ BCC1 中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1= 由余弦定理得:B =1 +2 ﹣2×1×2×cos ∴BC1= ∴BC +B
2 2 2



=BC +C =3,

2

﹣2BC?CC1?cos∠BCC1

,…3 分 =C ,∴BC⊥BC1,

∵BC∩AB=B,∴C1B⊥平面 ABC.…

(2)解:由(1)知,BC,BA,BC1 两两垂直, 以 B 为原点,BC,BA,BC1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 则 ∴ 则 设平面 AB1E 的法向量为 , ,∴ , ,∴ . .… ,



,∴





,则

,∴ =(0,1,0)是平面 BEB1 的一个法向量,

.…

∵AB⊥侧面 BB1C1C,∴

∴|cos<

>|=|
2

|=



两边平方并化简得 2λ ﹣5λ+3=0, ∴λ=1 或 (舍去) .…

∴λ 的值是 1. 点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查满足条件的实数值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用. 19.乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为 两个不相交的区域 C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球 一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其它情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,小明回 球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回 球互不影响,求: (Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望.

考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计.

分析: (Ⅰ)分别求出回球前落点在 A 上和 B 上时,回球落点在乙上的概率,进而根据分类分 布原理,可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的取值有 0,1,2,3,4,6 六种情况,求出随机变 量 ξ 的分布列,代入数学期望公式可得其数学期望 Eξ. 解答: 解: (Ⅰ)小明回球前落点在 A 上,回球落点在乙上的概率为 + = , 回球前落点在 B 上,回球落点在乙上的概率为 + = , 故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 P= × (1﹣ ) + (1﹣ ) × = + (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,6 其中 P(ξ=0)=(1﹣ )×(1﹣ )= ; = .

P(ξ=1)= ×(1﹣ )+(1﹣ )× = ; P(ξ=2)= × = ; P(ξ=3)= ×(1﹣ )+(1﹣ )× = P(ξ=4)= × + × = P(ξ=6)= × = 故 ξ 的分布列为: ξ 0 P 故 ξ 的数学期望为 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× +6× = . ; ; ;

1

2

3

4

6

点评:本题考查离散型随机变量的分布列,求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科 2015 届高考必出的一个问题,题目做起来不难,运算量也不大,只要注意解题格式就问题不 大.

20.设椭圆 点,O 为坐标原点.

的左右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两

(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为

,求椭圆的离心率; .

(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|>

考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)设 P(x0,y0) ,则 得椭圆的离心率;

,利用直线 AP 与 BP 的斜率之积为

,即可求

(2)依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设 P(x0,kx0) ,则

,进一步可得

,利用 AP|=|OA|,A(﹣a,0) ,可求得 率的范围. 解答: (1)解:设 P(x0,y0) ,∴ ①

,从而可求直线 OP 的斜

∵椭圆

的左右顶点分别为 A,B,∴A(﹣a,0) ,B(a,0)





∵直线 AP 与 BP 的斜率之积为 代入①并整理得 ∵y0≠0,∴a =2b ∴
2 2

,∴

∴ ∴椭圆的离心率为 ;

(2)证明:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设 P(x0,kx0) ,∴

∵a>b>0,kx0≠0,∴ ∴ ②

∵|AP|=|OA|,A(﹣a,0) , ∴ ∴



代入②得 ∴k >3 ∴直线 OP 的斜率 k 满足|k|> . 点评:本题考查椭圆的几何性质,考查直线的斜率,考查学生的计算能力,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=ax +bx﹣lnx(a,b∈R) (Ⅰ)设 a≥0,求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)设 a>0,且对于任意 x>0,f(x)≥f(1) .试比较 lna 与﹣2b 的大小. 考点: 导数在最大值、 最小值问题中的应用; 利用导数研究函数的单调性; 不等关系与不等式. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由函数的解析式知,可先求出函数 f(x)=ax +bx﹣lnx 的导函数,再根据 a≥0, 分 a=0,a>0 两类讨论函数的单调区间即可; (Ⅱ)由题意当 a>0 时, 是函数的唯一极小值点,再结合对于任意 x>0,f(x)
2 2 2

≥f(1) .可得出

=1 化简出 a,b 的关系,再要研究的结论比较 lna 与﹣2b 的大小

构造函数 g(x)=2﹣4x+lnx,利用函数的最值建立不等式即可比较大小 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=ax +bx﹣lnx(a,b∈R) 知 f′(x)=2ax+b﹣ 又 a≥0, 故当 a=0 时,f′(x)= 若 b≤0 时,由 x>0 得,f′(x)<0 恒成立,故函数的单调递减区间是(0,+∞) ;若 b>0,令 f′(x)<0 可得 x< ,即函数在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数、 所以函数的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( ,+∞) , 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 2ax +bx﹣1=0 2 由于△ =b +8a>0,故有 x2= ,x1=
2 2

显然有 x1<0,x2>0, 故在区间(0, )上,导数小于 0,函数是减函数;

在区间(

,+∞)上,导数大于 0,函数是增函数

综上,当 a=0,b≤0 时,函数的单调递减区间是(0,+∞) ;当 a=0,b>0 时,函数的单调递减 区间是 (0, ) , 单调递增区间是 ( , +∞) ; 当 a>0, 函数的单调递减区间是 (0, ) ,

单调递增区间是(

,+∞)

(Ⅱ)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取到最小值, 由(1)知, 是函数的唯一极小值点故 =1

整理得 2a+b=1,即 b=1﹣2a 令 g(x)=2﹣4x+lnx,则 g′(x)= 令 g′(x)= =0 得 x=

当 0<x< 时,g′(x)>0,函数单调递增; 当 <x<+∞时,g′(x)<0,函数单调递减 因为 g(x)≤g( )=1﹣ln4<0 故 g(a)<0,即 2﹣4a+lna=2b+lna<0,即 lna<﹣2b 点评: 本题是函数与导数综合运用题, 解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根 据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小, 本题考查了创新探究能力 及转化化归的思想,本题综合性较强,所使用的方法具有典型性,题后应做好总结以备所用的 方法在此类题的求解过程中使用. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.选修 4﹣1 几何证明选讲 如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,连结 AD、BD、OC、OD,且 OD=5. (Ⅰ)若 sin∠BAD= ,求 CD 的长; (Ⅱ)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形 OAC(阴影部分)的面积(结果保留 π) .

考点:弦切角;与圆有关的比例线段. 专题:立体几何. 分析: (I)由⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,利用垂径定理可得 CE=ED.在 Rt△ ABD 中, 利用直角三角形的边角关系可得 BD=ABsin∠BAD.再利用勾股定理可得 .由等面积变形可得 ,即可得出.

(II)设∠ODE=x,则∠ADO=4x,利用三角形外角定理可得∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x.在 Rt△ EOD 中,由于∠EOD+∠ODE= ,可得 x= .进而得到∠AOC=2∠ADC= .再利

用扇形的面积计算公式即可得出. 解答: 解: (I)∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E,∴CE=ED,∠ADB=90°. 在 Rt△ ABD 中,∵sin∠BAD= ,∴ 由勾股定理可得 ∵ ,∴ = =8. =4.8. =6.

∴CD=2ED=9.6. (II)设∠ODE=x,则∠ADO=4x,∵OA=OD,∴∠OAD=4x. ∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x. 在 Rt△ EOD 中,∠EOD+∠ODE= ∴ , . = . ,∴8x+x= ,解得 x= .

∴∠AOC=2∠ADC=

∴扇形 OAC(阴影部分)的面积 S=

点评: 本题综合考查了圆的性质、 垂径定理、 直角三角形的边角关系、 勾股定理、 等面积变形、 三角形外角定理、扇形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法,属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. 考点:点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题:压轴题;直线与圆. )=2 .

分析: (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标, 最后化成极坐标即可; (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= x﹣ +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的值.
2 2

解答: 解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x +(y﹣2) =4,x+y﹣4=0, 解 得 或 ,

∴C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) .

(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) , 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0, 由参数方程可得 y= x﹣ +1,





解得 a=﹣1,b=2. 点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法,方程 思想的应用,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x ﹣8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)当 x∈M∩N 时,证明:x f(x)+x ≤ .
2 2 2

考点:其他不等式的解法;交集及其运算. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由所给的不等式可得 ①,或 ②,分别求得①、②的

解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)由 g(x)≤4,求得 N,可得 M∩N=.当 x∈M∩N 时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为 ﹣ ,显然它小于或等于 ,要证的不等式得证.

解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得

①,或

②.

解①求得 1≤x≤ ,解②求得 0≤x<1.

综上,原不等式的解集为. (Ⅱ)证明: 由 g(x)=16x ﹣8x+1≤4,求得﹣ ≤x≤ , ∴N=, ∴M∩N=. ∵当 x∈M∩N 时,f(x)=1﹣x, ∴x f(x)+x =xf(x)= ﹣
2 2 2

≤ ,

故要证的不等式成立. 点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了分类讨论、等价转化的数学思想,属于中档 题.


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