tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

第3讲 等比数列及其前n项和


第3讲 等比数列及其前n项和

基础诊断

? 夯基释疑 ? 考点一:等比数列基本量的运算

概 要

考点突破

? 考点二:等比数列的性质及应用

? 考点三:等比数列的判定与证明

课堂小结

? 思想方法 ? 易错

防范

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1) 与等差数列类似,等比数列的各项可以是任意一个实 数.( ) (2)公比 q 是任意一个常数,它可以是任意实数.( ) (3)三个数 a,b,c 成等比数列的充要条件是 b2=ac.( ) (4)数列{an}的通项公式是 an=an,则其前 n 项和为 a(1-an) Sn= .( ) 1-a (5)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数 列.( )

第2页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 等比数列基本量的运算
例 1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2

a1q3=1, ?a1q· ? 解析(1) 显然公比 q≠1,由题意得?a1(1-q3) =7, ? 1 - q ? ? a = 4 , ? a = 9 , ? 1 ? 1 解得? 1 或? 1 (舍去), ? ? ?q=2 ?q=-3 ? 1? ? ? a1(1-q5) 4?1-25? 31 ∴ S5 = = = . 1 4 1-q 1- 2
第3页

简答

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 等比数列基本量的运算
例 1 (2)(2015· 全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5 =21,则 a3+a5+a7=( )A.21 B.42 C.63 D.84 (3)(2015· 郑州质量预测)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, S6 简答 若 27a3-a6=0,则 =________. S3 解析(2) 设等比数列{an}的公比为 q, 则由 a1=3, a1+a3+a5=21 得

解得 q2=-3(舍去)或 q2=2, 3(1+q2+q4)=21, 于是 a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5) =2× 21=42,故选 B. a6 则 =q3=27. (3)设等比数列的公比为 q,首项为 a1, a3 a4+a5+a6 S6 a1+a2+…+a6 =1+ = a1+a2+a3 S3 a1+a2+a3 q3+q4+q5 3 = 1+ (1)B (2)B (3)28 2 =1+q =28. 答案 1+q+q
第4页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 等比数列基本量的运算

规律方法

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题,数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三 求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.

第5页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 等比数列基本量的运算
【训练 1】(1)已知正项数列{an}为等比数列,且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项,若 a2=2,则该数列的前 5 项的和为( ) 33 31 A. B.31 C. D.以上都不正确 12 4
解析 (1)设{an}的公比为 q,q>0.
简答

由已知得 a4+3a3=2× 5a2,

即 a2q2+3a2q=10a2,q2+3q-10=0,
解得 q=2 或 q=-5(舍去),
又 a2=2,则 a1=1,
a1(1-q5) 1× (1-25) 所以 S5= = =31. 1- q 1-2

第6页

返回目录

结束放映

考点突破 考点一 等比数列基本量的运算
【训练 1】(2)(2015· 湖南卷)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项 和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an=________.
1 解析 (2)设等比数列{an}的公比为

q(q≠0), 依题意得 a2=a1q=q,a3=a1q2=q2, S1=a1=1.S2=1+q,S3=1+q+q2. 又 3S1,2S2,S3 成等差数列,
所以 4S2=3S1+S3,即 4(1+q)=3+1+q+q2, 所以 q=3(q=0 舍去). 所以 an=a1qn-1=3n-1. - 答案 (1)B (2)3n 1

简答

第7页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 等比数列的性质及应用 【例 2】(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已 15 31 33 17 知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( )A. B. C. D. 2 4 4 2 S6 S9 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( ) S3 S6 7 8 简答 A.2 B. C. D.3 3 3 3 a q · a q =1, ? 1 1 解析 ? (1)显然公比 q≠1,由题意得?a1(1-q3) =7, ? 1-q ? a =4, ?a1=9, ? ? 1 ? 解得? 1 或? 1 (舍去), q= q=- ? ? 2 3 ? ? ? ? 1 ? 1 - 4 5 5? a1(1-q ) 2 ? 31 ? ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2
第8页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 等比数列的性质及应用
【例 2】(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已 15 31 33 17 知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( )A. B. C. D. 2 4 4 2 S6 S9 (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( ) S3 S6 7 8 简答 A.2 B. C. D.3 3 3

(2)由等比数列的性质及题意,得:S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列, 于是,由已知得 S6=3S3, S6-S3 S9-S6 ∴ = , S3 S6-S3 即 S9-S6=4S3,S9=7S3, S9 7 ∴ = . S6 3

答案

(1)B
第9页

(2)B
返回目录 结束放映

考点突破 考点二 等比数列的性质及应用

规律方法
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利 用性质,特别是性质“若 m+n=p+q,则 am· an=ap· aq”,可以减 少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性 质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意 设而不求思想的运用.

第10页

返回目录

结束放映

考点突破 考点二 等比数列的性质及应用
【训练 2】(1)(2016· 南昌一模)已知各项均为正数的等比数列 {an} 中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 (2)在等比数列{an}中, 各项均为正值, 且 a6a10+a3a5=41, a4a8=5, 则 a4+a8=________.
简答 解析(1)把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 各看成一个整体, 由题意知它们分别是一个等比数列的第 1 项、 第 4 项和第 7 项, 这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项.

因为数列{an}的各项均为正数, 所以 a4a5a6= (a1a2a3)· (a7a8a9)= 5×10=5 2. 2 (2)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a2 8,a3a5=a4, 2 得 a2 4+a8=41.因为 a4a8=5, 2 所以(a4+a8)2=a2 5=51. 4+2a4a8+a8=41+2× 又 an>0,所以 a4+a8= 51. 答案 (1)A (2) 51
第11页

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明
例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an- an-1(n≥2), 且 an+Sn=n.(1)设 cn=an-1, 求证: {cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明 ∵an+Sn=n,①

∴an+1+Sn+1=n+1.②
②-①得 an+1-an+an+1=1,

∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,

an+1-1 1 ∴ = , ∴{an-1}是等比数列. an-1 2 1 1 1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=-2,公比 q=2. 1 1 又 cn=an-1, ∴{cn}是以- 为首项,以 为公比的等比数列. 2 2
第12页

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明
例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an- an-1(n≥2), 且 an+Sn=n.(1)设 cn=an-1, 求证: {cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
(2)解
? 1? ?1?n-1 ?1?n 由(1)可知 cn=?-2?·?2? =-?2? , ? ? ? ? ? ? ?1?n ∴an=cn+1=1-?2? . ? ?

∴当 n≥2 时,bn=an-an-1
?1?n ? ?1?n-1? ?1?n-1 ?1?n ?1?n ?=? ? ? ? =? ? . =1-?2? -?1-?2? - ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?2?

1 又 b1=a1= 代入上式也符合, 2 ?1?n ∴bn=?2? . ? ?
第13页

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明

规律方法
an 证明数列{an}是等比数列常用的方法:一是定义法,证明 = an-1 q(n≥2,q 为常数);二是等比中项法,证明 a2 an+1.若判断 n=an-1· 一个数列不是等比数列, 则只需举出反例即可, 也可以用反证法.

第14页

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明
训练 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,有 a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
? ?Sn+1=4an+2, 又? ? ?Sn=4an-1+2,

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1). ∴bn=2bn-1, ∵bn=an+1-2an,

故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.
第15页

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明
训练 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
- 2n 1, (2)解 由(1)知 bn=an+1-2an=3· an+1 an 3 ∴ n+1- n= , 2 4 2 ?an? 1 3 ? ? 故 2n 是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 4 ? ? an 1 3 3n-1 ∴ n= +(n-1)· = , 2 2 4 4

得 an=(3n-1)· 2n-2

第16页

返回目录

结束放映

课堂小结
思想方法 1.方程的思想.等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn, 一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量 a1 和 q. 2. 解题中要注意选用等比数列的性质, 减少运算量. 如 a1an =a2an-1=…=aman-m+1. ?a1? n- 1 3.函数的思想.通项公式 an=a1q 可化为 an=? q ?qn,因 ? ? 此 an 是关于 n 的函数,即{an}中的各项所表示的点(n,an)在曲 ?a1? 线 y=? q ?qx 上,是一群孤立的点. ? ? 4.分类思想.当 q=1 时,{an}的前 n 项和 Sn=na1;当 q≠1 a1(1-qn) a1-anq 时,{an}的前 n 项和 Sn= = .等比数列的前 n 1-q 1-q 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,此处是常考易错点.
第17页

返回目录

结束放映

课堂小结

易错防范
1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况. 2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还 要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q ≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情形而导致解题失误. 4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 未必成等比数列(例如:当公比 q= -1 且 n 为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不成等比数列;当 q≠ -1 或 q=-1 且 n 为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列), 但等式(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)总成立.

第18页

返回目录

结束放映

(见教辅)

第19页

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明
备选题:成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别 加上 2,5,13 后成为等比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; ? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d,
依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d.

解得 d=2 或 d=-13(舍去). 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 5 2 2 由 b3=b1·2 ,即 5=b1·2 , 解得 b1= . 4
5 其通项公式为 bn= ·2n-1=5· 2n-3. 4
第20页

5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列, 4

返回目录

结束放映

考点突破 考点三 等比数列的判定与证明
备选题:成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别 加上 2,5,13 后成为等比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; ? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

5 (1-2n) 4 5 n-2 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2 - , 4 1-2 5 5 5 n- 2 即 Sn+ =5· 2 . 所以 S1+4=2, 4 5 - Sn+1+ 2n 1 4 5· = n-2=2. 5 5· 2 Sn+ 4 5 5 因此{Sn+ }是以 为首项,2 为公比的等比数列. 4 2
第21页

返回目录

结束放映


推荐相关:

【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和

【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和_高考_高中教育_教育专区。第3讲 [最新考纲] 等比数列及其前 n...


第五章第3讲等比数列及其前n项和

第五章第3讲等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 等比数列及其前 n 项和 ,[学生用书 P99]) 1.等比数列的有关概念 (1)定义 如果一个...


第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 等比数列及其前 n 项和考纲要求 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前 n 项和...


2013高考数学理(人教A)总复习教案:第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和

2013高考数学理(人教A)总复习教案:第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。等比数列及其前 n 项和时间段 一二三四 授课内容 等比...


第六章第3讲等比数列及其前n项和

第3 讲 等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数, 那么这个数 列叫做等比数列,...


第五章第3讲等比数列及其前n项和

第3 讲 等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的有关概念 (1)定义: 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个 数列...


【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和习题

【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和习题_数学_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 3...


【2015届高考数学二轮复习 专题3 第1讲 等差、等比数列的通项、性质与前n项和素能训练(文、理)

【2015届高考数学二轮复习 专题3 第1讲 等差、等比数列的通项、性质与前n项和素能训练(文、理)_数学_高中教育_教育专区。【2015届高考数学二轮复习 专题3 第...


2013年高考数学复习-数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理 新人教版

2013年高考数学复习-数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理 新人教版 隐藏>> 第3讲【2013 年高考会这样考】 等比数列及其前 n 项和 1.以等比数列的定义及...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com