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第九节 函数模型及其应用


第二节

第九节 函数模型及其应用 命题及其关系、充分条件与必要条件

结束

第九节

函数模型及其应用

函数模型 一次函数模型 反比例函 数模型

函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) k f(x)=x+b(k,b 为常数且 k≠0)<

br />
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函数模型 二次函数模型

函数解析式 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) f(x)=axn+b(a,b 为常数,a≠0)

指数函数模型

对数函数模型 幂函数模型

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函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较
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y=ax (a>1)
递增 单调____

y=logax (a>1)
递增 单调____

y=xn (n>0) 单调递增 相对平稳 随n值变化 而各有不同

越来越快 随x的增大 逐渐表现为 y 轴 平行 与_____

越来越慢 随x的增大 逐渐表现为 x 轴 平行 与_____

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
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1.(教材习题改编)一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数 关系用图象表示为图中的 ( )

答案:B
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2.已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y= alog3(x+1), 设这种动物第 2 年有 100 只, 到第 8 年它 们发展到________只.

答案:200

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1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以要正确 理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定 函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性.

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据调查, 某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次, 其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆 一次 0.2 元.若普通车存车量为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系式是__________.

答案:y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)

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经市场调查, 某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天) 1 112 的函数,且日销售量近似地满足 g(t)=- t + (1≤t≤100 , t∈ 3 3 1 N).前 40 天价格为 f(t)= t+22(1≤t≤40,t∈N),后 60 天价格为 4 1 f(t)=- t+52(41≤t≤100, t∈N), 试求该商品的日销售额 S(t)的最 2 大值和最小值.
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解:当 1≤t≤40,t∈N 时, ? 1 ? 112? ?1 S(t)=g(t)f(t)=?-3t+ 3 ? ?4t+22? ? ? ? ? 112×22 1 2 1 2 500 2 =- t +2t+ =- (t-12) + , 12 3 12 3 2 500 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= . 3 当 41≤t≤100,t∈N 时, ? 1 ? 112? ? 1 S(t)=g(t)f(t)=?-3t+ 3 ? ?-2t+52? ? ? ? ? 112×52 1 12 8 2 = t -36t+ = (t-108) - , 6 3 6 3 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= . 2 2 500 所以,S(t)的最大值为 ,最小值为 8. 3
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A,B 两城相距 100 km,在两城之间距 A 城 x(km)处建一核 电站给 A,B 两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距 离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与 供电量(亿度)之积的 0.25 倍,若 A 城供电量为每月 20 亿度, B 城供电量为每月 10 亿度. (1)求 x 的取值范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电总费用 y 最少?

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解:(1)由题意知 x 的取值范围为[10,90]. 5 (2)y=5x + (100-x)2(10≤x≤90). 2
2

5 15 2 15 2 (3) 因 为 y = 5x + (100 - x) = x - 500x + 25 000 = 2 2 2
2

? 100?2 50 000 ?x- ? + , 3 3 ? ?

100 50 000 所以当 x= 时,ymin= . 3 3 100 故核电站建在距 A 城 km 处,能使供电总费用 y 最少. 3

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为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需 要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单 k 位 : 万 元 ) 与 隔 热 层 厚 度 x( 单 位 : cm) 满 足 关 系 C(x) = 3x+5 (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.
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解:(1)由已知条件得 C(0)=8,则 k=40, 800 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0≤x≤10). 3x+5 800 (2)f(x) = 6x + 10 + - 10≥2 3x+5 70(万元), 800 当且仅当 6x+10= , 3x+5 即 x=5 时等号成立. 所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,最小值 为 70 万元.
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800 ?6x+10?· - 10 = 3x+5

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“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题, 近年 来,某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约 4 万元,为了缓解 供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化设备,安装 这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地面 积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水, 安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假设 在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位: 万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位:平方米) 之间
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k 的函数关系是 C(x)= (x≥0,k 为常数).记 y 为该 50x+250 企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费 之和. (1)试解释 C(0)的实际意义, 并建立 y 关于 x 的函数关系式并 化简; (2)当 x 为多少平方米时, y 取得最小值, 最小值是多少万元?

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解:(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元, k ∵C(0)= =4,∴k=1 000, 250 1 000 80 ∴y=0.2x+ ×4=0.2x+ (x≥0). 50x+250 x+ 5 80 (2)y=0.2(x+5)+ -1≥2 0.2×80-1=7, x+5 当 x+5=20,即 x=15 时,ymin=7, ∴当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元.

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某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服 用, 据监测, 服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小 时)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定, 每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗 疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.
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kt,0≤t≤1, ? ? 解:(1)由题图,设 y=??1?t-a ? ? ,t>1, ? ??2? 当 t=1 时,由 y=4 得 k=4, ?1?1-a 由?2? =4 得 a=3. ? ? 4t,0≤t≤1, ? ? 所以 y=??1?t-3 ? ? ,t>1. ? ??2? (2)由 y≥0.25
? ?0≤t≤1, 得? ? ?4t≥0.25

t>1, ? ? 或??1?t-3 ? ? ≥0.25, ? ??2?

1 解得 ≤t≤5. 16 1 79 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5- = (小时). 16 16
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国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在 30 人或 30 人以下,飞机票每张收费 900 元;若每团人数多于 30 人,则 给予优惠:每多 1 人,机票每张减少 10 元,直到达到规定人数 75 人为止. 每团乘飞机, 旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

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第九节 函数模型及其应用 命题及其关系、充分条件与必要条件

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解:(1)设旅行团人数为 x 人,由题得 0<x≤75(x∈N*) 飞机票价格为 y 元, 则
? ?900, 0<x≤30, y=? ? ?900-10?x-30?,30<x≤75, ? ?900, 0<x≤30, y=? ? ?1 200-10x,30<x≤75.



(2)设旅行社获利 S 元, 则
? ?900x-15 000,0<x≤30, S=? ? ?x?1 200-10x?-15 000,30<x≤75, ? ?900x-15 000,0<x≤30, S=? 2 ? - 10 ? x - 60 ? +21 000,30<x≤75. ?



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第九节 函数模型及其应用 命题及其关系、充分条件与必要条件

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因为 S=900x-15 000 在区间(0,30]上为单调增函数, 故当 x=30 时,S 取最大值 12 000 元, 又 S=-10(x-60)2+21 000 在区间(30,75]上, 当 x=60 时,取得最大值 21 000. 故当 x=60 时,旅行社可获得最大利润.

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