tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学基本方法之二 换元法


高中数学基本方法之二 换元法 陕西洋县中学(723300)刘大鸣 【概念与规律】 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实 质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中 去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. 换元法又称辅助元素法、 变量代换法.通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来, 或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整 式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用. 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式 几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现. 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进 行换元.如变量 x、y 适合条件 x +y =r (r>0)时,则可作三角代换 x=rcosθ 、y=rsinθ 化为三角问题. 均值换元,如遇到 x+y=S 形式时,设 x=
2 2 2

S S +t,y= -t 等等. 2 2

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使 新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大. 【基本方法再现性题组】 1. 函数 f (x ) 满足 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 ,则 f (x) 的奇偶性为 x2 ? 6

2 2 2 若 x 1 ? y ? y 1 ? x ? 1 ,求 x ? y 的最值为

3 y=sinx·cosx+sinx+cosx 的最大值是_________。 4 设 f(x +1)=log a (4-x ) (a>1) ,则 f(x)的值域是_______________。 5.已知数列{a n }中,a 1 =-1,a n?1 ·a n =a n?1 -a n ,则数列通项 a n =___________ 6.设实数 x、y 满足 x +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是___________
2 2 4

7.方程

1 ? 3? x =3 的解是_______________ 1 ? 3x
x x?1

8.不等式 log 2 (2 -1) ·log 2 (2 【思维启迪】

-2)〈2 的解集是_______________

2 2 1 设 u ? x ? 3 , 由 题 设 知 x ? 6 ? 0 , 则 u ? x ? 3 ? ( x ? 6) ? 3 ? 3 , 解 出 x ? u ? 3 代 入 有
2 2 2

f (u ) ? lg

u?3 x?3 , ( x ? 3) , , 其定义域为 ?3 ,? ? ? , f ( x ) ? lg 则 定义域关于原点不对称, 故外层函数 f (x) u ?3 x?3

为非奇非偶函数. 此题容易忽略定义域,误为 f (x) 为奇函数. 2 由已知等式成立,有 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 ,可设 x ? cos? , y ? cos ? , ? , ? ? [0,

?
2

] 代入等式中有

cos? sin ? ? sin ? cos ? ? 1 。即 sin(? ? ? ) ? 1,而 ? , ? ? [0, ] ,? ? ? ? ? ,所设两个角的参数 ? , ? 后 2 2 ? ? ? 3? ], 面隐含条件 ? , ? 互为余角” ? x ? y ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ,由 ? ? ? [ , “ , 4 4 4 4
故有 ( x ? y) max ?

?

?

2 , ( x ? y) min ? 1 .

1 1 t2 3:设 sinx+cosx=t∈[- 2 , 2 ],则 y= +t- ,对称轴 t=-1,当 t= 2 ,y max = + 2 ; 2 2 2
4:设 x +1=t (t≥1),则 f(t)=log a [-(t-1) +4],所以值域为(-∞,log a 4); 5:已知变形为
2 2

1 a n?1



1 1 1 =-1,设 b n = ,则 b 1 =-1,b n =-1+(n-1)(-1)=-n,所以 a n =- ; n an an
2 2

6:设 x+y=k,降元有 x -2kx+1=0, △=4k -4≥0,所以 k≥1 或 k≤-1; 7:设 3 =y,则 3y +2y-1=0,解得 y=
x x 2

1 ,所以 x=-1; 3

8:注意对数运算法则,设 log 2 (2 -1)=y,则 y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以 x∈(log 2 【经典问题回放】 例 1 设 a ? 0 时,解关于 x 的不等式 a?a ? x? ? a ? 2x . 简析:一般由平方的条件研究至少需要分两类求解,若用换元法可以避免讨论.

5 ,log 2 3) 4

u2 2 2 令 a?a ? x? ? u ,则 u ? 0 ,且 x ? a ? 代入原不等式,由于 a ? 0 ,化简有 2u ? au ? a ? 0 ,解之 a
? a ? u ? a , u ? 0 , 0 ? u ? a , 0 ? a?a ? x? ? a , 而 即 解得 0 ? x ? a , 故原不等式的解集为 ?x 0 ? x ? a?. ? 2
例 2 实数 x、y 满足 4x -5xy+4y =5
2 2

( ①式) ,设 S=x +y ,求

2

2

1 S max



1 S min

的值

? x ? S cos α ? 2 2 2 2 简析 1: S=x +y 联想到 cos α +sin α =1,于是进行三角换元切入, ? 由 设 代入①式得: 4S ? y ? S sin α ?
-5S·sinα cosα =5 解得 S=

10 .∵ -1≤sin2α ≤1 8 ? 5 sin 2α



3≤8-5sin2α ≤13



10 ≤ 13

10 10 3 13 16 8 1 1 ≤ ,∴ + = + = = . 8 ? 5 sin ? 3 S max S min 10 10 10 5
此种解法后面求 S 最大值和最小值,还可由 sin2α = 这种方法是求函数值域时经常用到的“有界性法”.

8 S ? 10 8S ? 10 的有界性而求,即解不等式:| |≤1. S S

简析 2:由 S=x +y ,设 x =

2

2

2

2 S S S S 2 +t,y = -t,t∈[- , ], 则 xy=± S -t 2 代入①式得: 2 2 2 2 4

2 4S±5 S -t 2 =5, 移项平方整理得

100t +39S -160S+100=0 。∴ 39S -160S+100≤0 解得:

2

2

2

4

10 ≤ 13

S≤

10 3 13 16 8 1 1 ,∴ + = + = = . 3 S max S min 10 10 10 5
此种解法属于“三角换元法” ,主要是利用已知条件 S=x +y 与三角公式 cos α +sin α =1 的联系而联
2 2 2 2

想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题. 简析 3:和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量 x、y 时,可以设 x=a+b,y= a-b,这称为“和差换元法” ,换元后有可能简化代数式。本题设 x=a+b,y=a-b,代入①式整理得 3a +13b =5 的值. 例 3 设 a>0,求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a 的最大值和最小值.
2 2 2

, 求得 a ∈[0,

2

5 10 20 2 10 10 1 1 2 2 2 2 ], 所以 S=(a-b) +(a+b) =2(a +b )= + a ∈[ , ], 再求 + 3 13 13 13 3 S max S min

简析:设 sinx+cosx=t,则 t∈[- 2 , 2 ],由(sinx+cosx) =1+2sinx·cosx 得:sinx·cosx=

2

t 2 ?1 2

1 1 1 2 2 (t-2a) + (a>0) t∈[- 2 , 2 ], , t=- 2 时, 取最小值: -2a -2 2 a- , 2 2 2 1 1 2 当 2a≥ 2 时,t= 2 ,取最大值:-2a +2 2 a- ;当 0<2a≤ 2 时,t=2a,取最大值: 。 2 2
∴ f(x)=g(t)=-

?1 2 ) ? (0 ? a ? 1 ?2 2 2 ∴ f(x)的最小值为-2a -2 2 a- ,最大值为 ? 。 2 1 2 ? 2 ?? 2a ? 2 2 a ? 2 ( a ? 2 ) ?
此题属于局部换元法,设 sinx+cosx=t 后,抓住 sinx+cosx 与 sinx·cosx 的内在联系,将三角函数的值 域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈ [- 2 , 2 ])与 sinx+cosx 对应,否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即 由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地,在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为 f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这 样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究. 例 4 若 a ? 1 , a 、 ? 均为实数,试求当 a 的值固定而 ? 的值变化时,函数 F ? 值. 简析:注意所求函数分式的结构特征,部分分式代数换元法化归为对号函数 au ?

(a ? sin ? )( 4 ? sin ? ) 的最小 1 ? sin ? b (a, b ? R 的常数)在区间 u

上的问题求解,研究单调性求其最小值.对 F“用多项除法,部分分式”为 F= ?1 ? sin ? ? ?

t ? 1 ? sin ? ,则 t ? (0,2] ,于是, F ? f (t ) ? t ?
不 等 式 取 等 号 易 猜 分 界 点 为

3a ? 3 ? a ? 2 在 (0,2] 上的最小值为所求.由 a ? 1 ,用均值 t

3a ? 3 ?a?2” ,令 1 ? sin ?

3a ? 3 . 由 对 号 函 数 的 图 象 或 定 义 法 或 导 数 法 易 知 在

3a ? 3 ? a ? 2 (0, 3a ? 3] 上递减;在 [ 3a ? 3,??) 上递增,研究 3a ? 3 和 (0,2] 关系分两类 t 7 求最小值. (1) 当 3a ? 3 ? 2 , 1 ? a ? 时, 即 定义法或导数法易知 f (t ) 在 (0, 3a ? 3] 上递减; [ 3a ? 3,2] 在 3 7 上递增,故 f (t ) min ? f ( 3a ? 3) ? 2 3a ? 3 ? 2 ; (2)当 a ? 时,定义法或导数法易知 f (t ) 在 (0,2] 上递减, 3 7 5 7 5 故 f (t ) min ? f (2) ? (a ? 1) .故当 1 ? a ? 时, Fmin ? 2 3a ? 3 ? 2 ;当 a ? 时, Fmin ? (a ? 1) . 3 2 3 2 F ? f (t ) ? t ?

sin θ 10 cos θ cos 2 θ sin 2 θ 例 5 已知 = ,且 + = 2 2 2 x x y 3( x ? y 2 ) y
简析 1:设

(②式),求

x 的值 y

sin θ cos θ 2 2 2 2 2 = =k,则 sinθ =kx,cosθ =ky,且 sin θ +cos θ =k (x +y )=1,代入②式 x y
即:

得:

10 k 2 k 2x2 10 k2 y2 + = = 3 x2 3( x 2 ? y 2 ) y2
1 3


1 y2 x 2 10 x2 + 2 = .设 2 =t,则 t+ = 10 , 2 t 3 x 3 y y

解得:t

=3 或

x 3 =± 3 或± ; 3 y

简析 2:由

x sin θ cos 2 θ 4 = =tgθ ,将等式②两边同时除以 ,再表示成含 tgθ 的式子:1+tg θ = y cos θ x2
10


(1 ? tg 2? ) ?

3(1 ?

1 ) tg 2?

x 10 2 1 3 2 2 tg θ , tg θ =t, 3t —10t+3=0, 设 则 ∴t=3 或 ,解得 =± 3 或± . 3 3 y 3

第一种解法由

x sin θ cos θ = 而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 x y y



sin θ ,不难发现进行结果为 tgθ ,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时, cos θ

都使用了换元法使方程次数降低. 例 6 求函数 u ?

2t ? 4 ? 6 ? t 的最值.

简析 1:注意变量的取值范围,采用三角换元,挖掘隐含关系.
2 易 见 ? 2 ? t ? 6 , 由 t 的 有 界 性 , 可 考 虑 换 元 , 设 t ? ?2 ? 8 cos ? ,? ? [0,

?
2

] 代 入

u ? 16cos2 ? ? 8 sin 2 ? ? ? (? ) = 4 cos? ? 2 2 sin ? =
2

4 2 ? (2 2 ) 2 sin(? ? ? ) ? 2 6 sin(? ? a), 其 中
2

? ? ? ? ? a r c t a2n。而变量 ? ? [0, ] ,?? ? a ? [? , ? ? ] ,?umax ? 2 6 。而 umin ? ? (0) 和 ? ( ) 中较小者,
? ? (0) ? 4 ? ? ( ) = 2 2 ,?umin ? 2 2 。?umin ? 2 2 , umax ? 2 6 . 2
简析 2:本题也可认识参数方程的意义,两次换元化归直线和圆锥曲线的位置关系数形结合法简化求解. 设x?

?

2

2t ? 4 , y ? 6 ? t .消去 t 得 x 2 ? 2 y 2 ? 16 ,其中 0 ? x ? 4 , 0 ? y ? 2 2 ,再考虑

1 个椭圆 4

x 2 ? 2 y 2 ? 16 与直线系 x ? y ? u 有公共点的直线截距 u 的范围,数形结合,由图形观察, ?umin ? 2 2 ,

umax ? 2 6 .
【实战演练】 1 已知 f(x )=lgx
4 3

(x>0),则 f(4)的值为_____A. 2lg2

B.

1 lg2 3

C.

2 lg2 3

D.

2 lg4 3

2 函数 y=(x+1) +2 的单调增区间是_____A. [-2,+∞]

B. [-1,+∞]

D. (-∞,+∞)

C. (-∞,-1)

3 设等差数列{a n }的公差 d= 1 ,且 S 100 =145,则 a 1 +a 3 +a 5 +??+a 99 的值为
2

A. 4

85
2 2

B. 72.5

C. 60

D. 52.5

已知 x +4y =4x,则 x+y 的范围是_________________。

5 已知 a≥0,b≥0,a+b=1,则 a ? 1 + b ? 1 的范围是____________
2 2

6 求y?

sin x 的最大值和最小值 4 sin 2 x ? 9

7 函数 y=2x+ x ?1 的值域是________________。 8 在等比数列{a n }中,a 1 +a 2 +?+a 10 =2,a 11 +a 12 +?+a 30 =12,求 a 31 +a 32 +?+a 60 9 解不等式 log2 x ? x ? ? x ? x ? 3
2 2

?

?

10 已知 f (x) 的值域为[

3 4 , ],试求 y ? g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的最值. 8 9
2

11 设对所于有实数 x,不等式 x log 2

4( a ? 1) 2a (a ? 1)2 +2x log 2 +log 2 >0 恒成立,求 a 的取值范围 a a ?1 4a 2

12 已知奇函数 f ?x ? 的定义域为全体实数,且当 x ? [0,??) 时, f ?x ? 为增函数,问是否存在这样的实数 ? 使 得 f ?cos2? ? 3? ? f ?4? ? 2? cov? ? ? f ?0? 对所有的 ? ? ?0, ? ? 均成立?若存在,则求出所有适合条件的实数 ? ;若不存在, ? ?
? 2?

说明理由. 参考答案及速解“一点通” 1 换元法求外层函数再求值或利用外层定义域为内层的定义域算值选 C; 2 求导数后判断导函数在各个区间上的函数值的符号 y , ? 4?x ? 1? 验证选 B;
3

3 整体换元有 x ? y ? 145 y ? x ? 50d ? 25,? x ? 60 ,选 C; , 4 整 体 认 识 截 距 的 意 义 , 换 元 化 归 直 线 和 椭 圆 相 切 的 问 题 , 令 b ? x ? y, x 2 ? 4 y 2 ? 4 x 相 切 , 由

? ? 0,?b ? 2 ? 5 ,数形结合法有所求范围为 2 ? 5,2 ? 5 ;
5 三 角 换 元 注 意 角 的 范 围 的 限 制 , 求 导 研 究 导 函 数 的 单 调 性 确 定 值 域 ,
1 1 1 1 ? 3 sin 2 2? ? 3 ? b ? ? sin 2 ? ? ? ? cos2 ? ,0 ? ? ? ,? y 2 ? 2 ? 2 sin 2 ? cos2 ? ? ? 2 ? 2 , 2 2 2 2 2 4 4 1 1 ? b ? ? 4; 2 2 1 ?t ? 0?, t ? ?? 1,0? ? ?0,1? ? g ?t ?

?

?

y ? a?

? 2 ? 3 ? y 2 ? 4,? 2 ? 3 ? a ?

6

y?

sin x ? 4 sin 2 x ? 9

1 9 4 sin x ? sin x





















g ?t ? ? 13或g ?t ? ? ?13,? ?

1 1 ? y? ; 13 13

7 代数换元化归二次函数区间上的值域易求 ?? 2,??? ; 8 注 意 等 比 数 列 的 性 质 及 “ 片 段 和 ” 的 性 质 , 两 式 相 除 得 q 10 ? 2 , 整 体 代 入 ,

a31 ? a32 ? ? ? a60 ? ?a1 ? a2 ? ? ? a30 ?q 30 ? 2 ? 23 ? 112;
9 直接求解难以切入, 函数认识不等式, 换元构造函数, 研究单调性转化求解.不等式变形为 log2 ?x 2 ? x? ? ( x 2 ? x ) ? 3 , 对 变 量 (
x2 ? x



















? 再由0 ? x 2 ? x ? 2得所求解集为? 10? ? ?12?.
10 设 u ? 1 ? 2 f ( x) ,由于 中 解 出 f ( x) ?

f ?t ? ? log2 t ? t , t ? x 2 ? x,? f ?t ?在?0 ? ??上是增函数, 要使f ?t ? ? 3,当且仅当f ?t ?max ? 3,? f ?2? ? 3,? 0 ? t ? 2. ?

3 4 1 1 1 1 ? f ( x) ? ,所以 ? 1 ? 2 f ( x) ? ,则有 ? u ? ,由 u ? 1 ? 2 f ( x) 8 9 3 2 9 4

1 1 1 1? u2 2 代 入 g (x) 中 , 由 y ? g ( x) ? h(u ) ? ? ?u ? 1? ? 1 在 [ , ] 上 为 递 增 函 数 , 故 3 2 2 2

1 7 1 7 y max ? h( ) ? , y min ? h( ) ? . 2 8 3 9
设 log 2 2log 2

8( a ? 1) 4( a ? 1) 2a a ?1 2a (a ? 1)2 =t,则 log 2 =log 2 =3+log 2 =3-log 2 =3-t,log 2 = a 2a a ?1 2a a ?1 4a 2

a ?1 2 =-2t,代入后原不等式简化为(3-t)x +2tx-2t>0,它对一切实数 x 恒成立,所以: 2a
∴ t<0 即 log 2

?3 ? t ? 0 ?t ? 3 ,解得 ? ? 2 ?t ? 0或t ? 6 ?? ? 4t ? 8t (3 ? t ) ? 0
0<

2a <0 a ?1

2a <1,解得 0<a<1。 a ?1

12 分离参数有 m(Cosx-2)<2-Cosx,换元化归为有,不等式 m(u-2)<2-u 在〔0,1〕上恒成立,则只需

m?

2 u2 ? 2 2 而 g (u) ? u ? 2 ? 由奇 ? 4 ? 4 ? 2 2 (当且仅当 u=2-2 2 ∈(0,1)时取等号).假设存在, ? g (u) ? u ? 2 ? u?2 u?2 u?2

偶 性 、 单 调 性 及 f ?0? ? 0 , 可 化 归 为 : cos2? ? 3 ? 2? (cov? ? 2) 分 离 参 数 , 即 有 :
cos? ? 3 2 cos2 ? ? 4 cos2 ? ? 2 恒成立.令 y 2? ? ? ?? ? cos? ? 2 cov? ? 2 cos? ? 2
y? cos2 ? ? 4 ? 2 2 2 ? ?cov? ? 2? ? ?4 ? u? ?4 ? 4?2 2 cov? ? 2 cov? ? 2 u

cos2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?0, ? 即 ? ? y max cos ? ? 2 ? 2?
当 cos? ? 2 ? 2 2 时等号成立,故 ? ? 4 ? 2 2 存在.

陕西洋县中学(723300)刘大鸣 电话(宅) 09168215676 13992671723


推荐相关:

换元法(高中数学思想方法)

换元法(高中数学思想方法)_数学_高中教育_教育专区。高中数学思想方法之换元法...为什么会想到如此设,其中 2 2 2 2 主要应该是发现值域的联系, 又有去根号的...


2015高考数学考前解题基本方法 二、换元法

2015高考数学考前解题基本方法 二、换元法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。二、换元法数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题...


2015山西特岗教师招聘高中数学解题基本方法之换元法二

2015 山西教师招聘考试 2015 山西特岗教师招聘高中数学解题基本方法之换元法二 2015 山西教师招聘考试 2015 山西教师资格考试 2015 山西教师招聘考试 2015 山西教师...


第二讲 高中数学解题基本方法

第二讲 高中数学解题基本方法_数学_高中教育_教育专区。高中数学解题基本方法 ...【换元法换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以...


2高中数学函数解题技巧方法总结

2高中数学函数解题技巧方法总结_数学_高中教育_教育专区。蓝笔提分宝,免费解答...换元法数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例...


高中数学解题方法-换元法

8页 5财富值 高中数学解题基本方法之换... 8页 免费喜欢此文档的还喜欢 例...? t 等等。 2 2 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,...


高中数学解题基本方法

基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、...它主要适用于: 已知或者未知 中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次...


高中数学解题基本方法

第二章 高中数学常用的数学思想???35 一、 数形结合思想??? 35 二、 分类...换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ② 数学逻辑方法:分析法...


高中数学思想方法之八——换元法

高中数学思想方法之八——换元法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学重要思想方法选讲 高中数学思想方法之八——换元法 2 2 例题 1. 实数 x、y 满足...


多题一法专项训练(二) 换元法

多题一法专项训练(二) 换元法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题训练 ...答案:8 9. 解析: 由基本不等式得, 2 +22 2 · 2 =2×2 a b a...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com