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2012-2013高中数学 3-1-5空间向量运算的坐标表示同步检测 新人教B版选修2-1


3.1 第 5 课时
一、选择题

空间向量运算的坐标表示

1.已知 a=(cosα ,1,sinα ),b=(sinα ,1,cosα ) ,且 a 的夹角是( A.90° C.30° [答案] A [解析] ∵|a| =2,|b| =2, (a+b)?(a-b)=|a| -|b| =0, ∴(a+b)⊥(a-b).

>2 2 2 2

b 则向量 a+b 与 a-b

) B.60° D.0°

2. 已知空间四点 A(4,1,3), (2,3,1), (3,7, B C -5), (x, D -1,3)共面, x 的值为( 则 A.4 C.10 [答案] D → → → [解析] AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),AD=(x-4,-2,0), → → → ∵A、B、C、D 共面,∴AB、AC、AD共面, → → → ∴存在 λ 、μ ,使AD=λ AB+μ AC, 即(x-4,-2,0)=(-2λ -μ ,2λ +6μ ,-2λ -8μ ), B.1 D.11

)

?x-4=-2λ -μ ? ∴?-2=2λ +6μ ?0=-2λ -8μ ?

?λ =-4 ? ,∴?μ =1 ?x=11 ?
)

.

3.下列各组向量中共面的组数为(

①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) ②a=(1,2,-1),b(0,2,-4),c=(0,-1,2) ③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1) ④a=(1,1,1),b(1,1,0),c=(1,0,1) A.0 C.2 [答案] D [解析] ①设 a=xb+yc,则 B.1 D.3

-1-

?1=3x+4y ? ?2=0?x+2y ?3=2x+5y ?

,解得?

?x=-1 ? ? ?y=1

.

故存在实数 x=-1,y=1 使得 a=-b+c, ∴a,b,c 共面. ②中 b=-2c,③中 c=a-b. 故②③中三个向量共面. 4.下列各组向量不平行的是( )

A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40) [答案] D [解析] b=-2a,d=-3c,f=0e,只有 D 不存在实数 λ ,使 g=λ h. → 5.若两点的坐标是 A(3cosα ,3sinα ,1),B(2cosθ ,2sinθ ,1),则|AB|的取值范围 是( ) A.[0,5] C.(1,5) [答案] B → 2 2 2 [解析] |AB| =(2cosθ -3cosα ) +(2sinθ -3sinα ) =13-12cosθ cosα - 12sinθ sinα =13-12cos(θ -α )∈[1,25], → ∴1≤|AB|≤5. 6. 已知 a=(x,2,0), =(3,2-x, ), a 与 b 的夹角为钝角, x 的取值范围是( b x 且 则 A.x<-4 C.0<x<4 [答案] A [解析] ∵a、b 的夹角为钝角,∴a?b<0, 即 3x+2(2-x)+0?x=4+x<0. ∴x<-4. 又当夹角为 π 时,存在 λ <0,使 b=λ a, B.-4<x<0 D.x>4 ) B.[1,5] D.[1,25]

-2-

?3=λ x ? ∴?2-x=2λ ?x=0 ?

,此方程组无解,因此选 A.

1 → 7.如图所示的空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1,B1E1= A1B1,则BE1等 4 于( )

1 A.(0, ,-1) 4 1 C.(0,- ,1) 4 [答案] C

1 B.(- ,0,1) 4 1 D.( ,0,-1) 4

3 1 → [解析] B(1,1,0)、E1(1, ,1),BE1=(0,- ,1). 4 4 8.已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( 1 A.x= ,y=1 3 1 B.x= ,y=-4 2 1 C.x=2,y=- 4 D.x=1,y=-1 [答案] B [解析] a+2b=(2x+1,4,4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2), ∵(a+2b)∥(2a-b), )

?2x+1=λ (2-x) ? ∴?4=3λ ?4-y=(-2y-2)λ ?

?x=1 ? ,∴? 2 ?y=-4 ?

9.如图 AC1 是正方体的一条体对角线,点 P、Q 分别为其所在棱的中点,则 PQ 与 AC1 所成 的角为( )

-3-

A.arctan C. π 3

2 2

B.arctan 2 D. π 2

[答案] D → → → → [分析] 建立空间直角坐标系,求出AC1与PQ的坐标,转化为求AC1与PQ的夹角. [解析] 设正方体棱长为 1,以点 A1 为坐标原点,A1B1、A1D1、A1A 所在直线分别为 x 轴、y 1? → ?1 ? ? 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 P? ,0,0?,Q?0,1, ?,A(0,0,1),C1(1,1,0),所以PQ= 2? ?2 ? ? → → ?-1,1,1?,AC =(1,1,-1),故→?AC =-1?1+1?1+1?(-1)=0, PQ ? 2 1 1 2? 2 2 ? ? π → → ∴PQ⊥AC1,即 PQ 与 AC1 所成的角为 . 2 → → 10.已知向量OA=(2,-2,3),向量OB=(x,1-y,4z),且平行四边形 OACB 对角线的中 3 1 点坐标为(0, ,- ),则(x,y,z)=( 2 2 A.(-2,-4,-1) B.(-2,-4,1) C.(-2,4,-1) D.(2,-4,-1) [答案] A [解析] 由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z) 1? ? 3 =2?0, ,- ?, 2? ? 2 ∴(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1), )

?x=-2 ? ∴?y=-4 ?z=-1 ?
二、填空题

.

11.已知 a=(1,0,-1),b=(1,-1,0),单位向量 n 满足 n⊥a,n⊥b,则 n=________. [答案] ? 3 3? ? 3 3 3? ? 3 , , ? ?- ,- ,- ? 3 3? ? 3 3 3 ? ?3
-4-

?x-z=0 ? [解析] 设 n=(x,y,z),由条件?x-y=0 ?x2+y2+z2=1 ?
∴x=y=z= 3 3 或- . 3 3



→ → 12.已知空间三点 A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则AB与CA的夹角 θ 的大小是 ____________. [答案] 120° → → [解析] AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2), → → → → AB?CA=-7,|AB|= 14,|CA|= 14, ∴cosθ = 1 =- , 2 14? 14 -7

∴θ =120°. 13.已知向量 a=(-3,2,5),b=(1,-3,0),c=(7,-2,1),则: (1)a+b+c=________; (2)(a+b)?c=________; (3)|a-b+c| =________. [答案] (5,-3,6) -7 54 [解析] (1)a+b+c=(-3,2,5)+(1,-3,0)+(7,-2,1)=(5,-3,6). (2)a+b=(-2,-1,5), (a+b)?c=(-2,-1,5)?(7,-2,1)=-7. (3)a-b+c=(3,3,6),|a-b+c| =54. 14.已知 a,b,c 不共面,且 m=3a+2b+c,n=x(a-b)+y(b-c)-2(c-a),若
2 2

m∥n,则 x+y=__________________.
[答案] -4 [解析] ∵a、b、c 不共面,m∥n, ∴

x+2 -x+y -y-2
3 = 2 = 1

,∴?

?x=-2 ? ? ?y=-2

.

三、解答题 → → → 15.已知点 A(2,3,-1),B(8,-2,4),C(3,0,5),是否存在实数 x,使AB与AB+xAC垂 直? → → [解析] AB=(6,-5,5),AC=(1,-3,6),

-5-



AB+xAC=(6+x,-5-3x,5+6x),
→ → → ∵AB⊥(AB+xAC) ∴6(6+x)-5(-5-3x)+5(5+6x)=0, 96 32 32 ∴x=- =- ,∴存在实数 x=- , 51 17 17 → → → 使AB与AB+xAC垂直. 16.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、DC 的中点. 求证:(1)AE⊥D1F; (2)AE⊥平面 A1D1F. → → → [证明] 设正方体的棱长为 1,以DA、DC、DD1为坐标向量,建立空间直角坐标系 D-



xyz,如图所示.

1 1 (1)易知 A(1,0,0)、E(1,1, )、F(0, ,0)、D1(0,0,1). 2 2 1 1 → → ∵AE=(0,1, ),D1F=(0, ,-1). 2 2 1 1 → → 又AE?D1F=(0,1, )?(0, ,-1)=0, 2 2 ∴AE⊥D1F. → → (2)DA=(1,0,0)=D1A1, 1 → → ∴D1A1?AE=(1,0,0)?(0,1, )=0, 2 ∴AE⊥D1A1, 由(1)知 AE⊥D1F,且 D1A∩D1F=D1, ∴AE⊥平面 A1D1F. → → 17.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. → (1)设|c|=3,c∥BC,求 c. (2)求 a 与 b 的夹角. (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k. → → [解析] (1)∵c∥BC,BC=(-2,-1,2).

-6-

∴设 c=(-2λ ,-λ ,2λ ), ∴|c|= (-2λ ) +(-λ ) +(2λ ) =3|λ |=3 ∴λ =±1 ∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2). → (2)a=AB=(-1+2,1-0,2-2)=(1,1,0)
2 2 2

b=AC=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2).
∴cos<a,b>= =



a?b |a|?|b|

(1,1,0)?(-1,0,2) 10 =- . 10 2? 5 10 . 10

∴a 和 b 的夹角为<a,b>=π -arccos

(3)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又(ka+b)⊥(ka-2b),则(ka+b)?(ka-2b)=(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=2k +k -10=0, 5 ∴k=2 或 k=- . 2 18.已知空间三点 A(0,2,3)、B(-2,1,6)、C(1,-1,5). → → (1)求以AB、AC为邻边的平行四边形面积; → → (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB、AC垂直,求向量 a 的坐标. [解析] (1)由题中条件可知 →
2

AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
→ → AB?AC -2+3+6 1 → → ∴cos〈AB,AC〉= = = , → → 14? 14 2 |AB|?|AC| 3 → → ∴sin〈AB,AC〉= , 2 → → ∴以AB,AC为邻边的平行四边形面积



S=|AB|?|AC|?sin〈AB,AC〉=7 3.
(2)设 a=(x,y,z),









?x +y +z =3, ? 由题意得?-2x-y+3z=0, ?x-3y+2z=0. ?

2

2

2

-7-

?x=1, ? 解得?y=1, ?z=1, ?

?x=-1, ? 或?y=-1, ?z=-1. ?

∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1)

-8-


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