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山东省泰安市宁阳四中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省泰安市宁阳四中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f[f( )]的值是()

A.

B.

C. 4

D.9

2. (5 分)化简 A.a

的结果是() B. C. a
2

D.

3. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 4. (5 分)化简 A.6 ﹣ B.2x 得() C.6 或﹣2x ,k∈Z},集合 N={x|x= C.M?N D.6 或 2x 或﹣2x ,k∈Z},则() D.M?N

5. (5 分)设集合 M={x|x= A.M=N
x

B.M?N

6. (5 分)函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则函数 y=3ax﹣1 在[0,1]的最大 值是() A.6 B. 1 C. 5 D.

7. (5 分)函数 A.(﹣∞,9]

的定义域为() B.(0,27] C.(0,9] D.(﹣∞,27]

8. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) 2x C. y=2x 与 y=logaa
﹣1

B. y=alogax 与 y=x 2 D.y=logax 与 y=2logax

9. (5 分)偶函数 y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有()

A.f(﹣1)>f( π)>f(﹣1)>f(

)>f(﹣π) ) D.
2

B.f(

)>f(﹣1)>f(﹣π) )

C. f(﹣

f(﹣1)>f(﹣π)>f(

10. (5 分)函数 f(x)=ln(x +2)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中的横线上) 11. (5 分)已知 log32=a,log37=b,则 log27=. 12. (5 分)已知对数函数 f(x)过点(4,2) ,则 f(8)=. 13. (5 分)某产品计划每年成本降低 p%,若三年后成本为 a 元,则现在成本为. 14. (5 分)若集合 M=﹛2,lg ﹜,则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)下列命题中所有正确的序号是. ①函数 f(x)=a
x﹣1 y a

+3(a>0 且 a≠1)的图象一定过定点 P(1,4) ;

②已知 x=log23,4 = ,则 x+2y 的值为 3; ③f(x)= ﹣ 为奇函数.

④已知集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为 1 或﹣1.

三、解答题: (本题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 x 16. (8 分)已知指数函数 f(x)=(3m ﹣7m+3)m 是减函数,求实数 m 的值. 17. (10 分)已知集合 A={x|3≤x<6},B={y|y=2 ,2≤x<3}:分别求:
x

(1)A∩B; (2)?RB∪A. 18.比较下列各题中值的大小: (1)0.8 ,0.8 0.3 3. 1 (2)1.7 ,0.9 1.3 2.5 (3)a ,a 5 2 0.3 (4)P=log4 ,Q=log3 ,T=log2 . 19. (12 分)计算: (1) (2a b (2)lg ﹣2lg
14
﹣3 ﹣0.1 ﹣0.2

)?(﹣3a b)÷(4a b +lg ﹣lg .
x+2 7 18

﹣1

﹣4

) ;

20. (10 分)已知﹣1≤x≤0,求函数 y=2

﹣3?4 的最大值和最小值.

x

21. (15 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性;

是奇函数.

(Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

2

2

2014-2015 学年山东省泰安市宁阳四中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知函数 f(x)= ,则 f[f( )]的值是()

A.

B.

C. 4

D.9

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数,先求 f( )的值,然后求 f[f( )]的值即可.

解答: 解:由分段函数可知 f( )= 所以 f[f( )]=f(﹣2)= .



故选 A. 点评: 本题主要考查分段函数的应用,以及指数函数和对数函数的求值问题,比较基础. 2. (5 分)化简 A.a 的结果是() B. C. a
2

D.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 变根式为分数指数幂,由内向外逐次脱掉根式. 解答: 解: .

故选 B. 点评: 本题考查有理指数幂的化简求值,解答的关键是化根式为分数指数幂,是基础题. 3. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 log2a=0,b=0,从而求得 P∪Q. 解答: 解:∵P∩Q={0}, ∴log2a=0 ∴a=1 从而 b=0,P∪Q={3,0,1}, 故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查集合的交集和并集及其运算,注意集合元素的互异性,以及 对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用.

4. (5 分)化简 A.6

﹣ B.2x

得() C.6 或﹣2x D.6 或 2x 或﹣2x

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 化简 ﹣ =|x+3|﹣(x﹣3)= .

解答: 解:



=|x+3|﹣(x﹣3)=



故选 C. 点评: 本题考查了指数幂的化简与运算,属于基础题. ,k∈Z},集合 N={x|x= C.M?N ,k∈Z},则() D.M?N

5. (5 分)设集合 M={x|x= A.M=N

B.M?N

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 根据集合 N={x|x= ,k∈Z},分当 k=2m(为偶数)时,和当 k=2m﹣1(为奇数)

时,两种情况分析集合 M,N 的关系,进而根据集合包含的定义,得到答案. 解答: 解:当 k=2m(为偶数)时,N={x|x= 当 k=2m﹣1(为奇数)时,N={x|x= ,k∈Z}={x|x= + ,m∈Z},

,k∈Z}={x|x= + ,m∈Z}=M,

∴M?N, 故选:B 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用,难度不大,属于基础题. 6. (5 分)函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则函数 y=3ax﹣1 在[0,1]的最大 值是() A.6 B. 1 C. 5 D.
x

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题要分两种情况进行讨论:①0<a<1,函数 y=a 在[0,1]上为单调减函数,根据 x x 函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,求出 a②a>1,函数 y=a 在[0,1]上为单调增 x 函数,根据函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,求出 a,最后代入函数 y=3ax﹣1, 即可求出函数 y=3ax﹣1 在[0,1]上的最大值. 解答: 解:①当 0<a<1 时 函数 y=a 在[0,1]上为单调减函数 x ∴函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值分别为 1,a x ∵函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3 ∴1+a=3 ∴a=2(舍) ②当 a>1 时 x 函数 y=a 在[0,1]上为单调增函数 x ∴函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值分别为 a,1 x ∵函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3
x x

∴1+a=3 ∴a=2 ∴函数 y=3ax﹣1=6x﹣1 在[0,1]上的最大值是 5 故选 C 点评: 本题考查了函数最值的应用,但阶梯的关键要注意对 a 进行讨论,属于基础题. 7. (5 分)函数 A.(﹣∞,9] 的定义域为() B.(0,27] C.(0,9] D.(﹣∞,27]

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 由二次根式的定义可知 3﹣log3x≥0,结合对数函数的性质可推导出函数的定义域. 解答: 解:由题设条件知 3﹣log3x≥0 解得 0<x≤27. ∴函数的定义域为{x|0<x≤27}. 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的特点,解题时要注意等于 0 的情况,属于基础题. 8. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) 2x C. y=2x 与 y=logaa
﹣1

B. y=alogax 与 y=x 2 D.y=logax 与 y=2logax

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的定义域是否相同,对应法则是否相同,即可判断是否是相同的函数. 解答: 解: 选项 A 中函数 y=logax 的定义域为 (0,+∞) ,函数 y=(logxa) 的定义域为(0, 1)∪(1,+∞) ,故 A 错; 选项 B 中函数 y=alogax 的定义域为(0,+∞) ,函数 y=x 的定义域为 R,故 B 错; 2x 选项 C 中的函数 y=logaa 可化为 y=2x,且定义域相同,故 C 正确; 2 选项 D 中函数 y=logax 定义域为{x|x≠0},函数 y=2logax 的定义域为(0,+∞) ,故 D 错. 所以正确答案为 C. 故选:C 点评: 本题考查函数的基本知识,两个函数相同的判断方法. 9. (5 分)偶函数 y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有() A.f(﹣1)>f( π)>f(﹣1)>f( )>f(﹣π) ) D. B.f( )>f(﹣1)>f(﹣π) ) C. f(﹣
﹣1

f(﹣1)>f(﹣π)>f(

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题.

分析: 由函数 y=f(x)为偶函数,可得 f(﹣x)=f(x) ,从而有 f(﹣1)=f(1) ,f(﹣π) =f(π) ,结合函数 y=f(x)在[0,4]上的单调性可比较大小 解答: 解:∵函数 y=f(x)为偶函数,且在[0,4]上单调递减 ∴f(﹣x)=f(x) ∴f(﹣1)=f(1) ,f(﹣π)=f(π) ∵1< <π∈[0,4] )>f(π)即 f(﹣1)>f( )>f(﹣π)

f(1)>f(

故选 A 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的综合应用,解题的关键是由偶函数 把所要比较的式子转化为同一单调区间上可进行比较 10. (5 分)函数 f(x)=ln(x +2)的图象大致是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 研究函数性质,选择与之匹配的选项. 解答: 解:因为定义域为 R,且 f(﹣x)=f(x) ,所以函数为偶函数,排除 C 项; 又 f(0)=ln2>0,排除 A、B 两项; 只有 D 项与之相符. 故选:D. 点评: 本题考查了函数的性质与识图能力,属基础题,一般先观察四个选项的不同,再差 别函数对应的性质,即得正确选项. 二、填空题: (本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中的横线上) 11. (5 分)已知 log32=a,log37=b,则 log27= .

考点: 换底公式的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用换底公式化简所求表达式,即可得到结果.

解答: 解:因为 log32=a,log37=b, 所以 log27= 故答案为: . 点评: 不通过考查换底公式的应用,基本知识的考查. 12. (5 分)已知对数函数 f(x)过点(4,2) ,则 f(8)=3. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数的性质推导出 f(x)=log2x,由此能求出 f(8)=log28=3. 解答: 解:∵对数函数 f(x)=logax 过点(4,2) , ∴loga4=2,解得 a=2, ∴f(x)=log2x, ∴f(8)=log28=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数的性质的合 理运用. = .

13. (5 分) 某产品计划每年成本降低 p%, 若三年后成本为 a 元, 则现在成本为



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出现在的成本是 x 元,根据题意列出方程,求出 x 即可. 解答: 解:设现在的成本是 x 元,根据题意得; 3 x(1﹣p%) =a ∴x=

故答案为;



点评: 本题考查了指数函数模型的应用问题,解题时应根据题意,建立函数模型,求出答 案来,是基础题. 14. (5 分)若集合 M=﹛2,lg ﹜,则实数 a 的取值范围是 a≠100. 考点: 集合的确定性、互异性、无序性. 专题: 集合. 分析: 根据集合中的元素的互异性可得.
a

解答: 解:由于集合 M=﹛2,lg ﹜, 所以 2≠lga, ∴a≠100. 故答案为:a≠100. 点评: 本题主要考查集合中元素的互异性,属于基础题. 15. (5 分)下列命题中所有正确的序号是①②③. ①函数 f(x)=a
x﹣1 y

a

+3(a>0 且 a≠1)的图象一定过定点 P(1,4) ;

②已知 x=log23,4 = ,则 x+2y 的值为 3; ③f(x)= ﹣ 为奇函数.

④已知集合 A={﹣1,1},B={x|mx=1},且 A∪B=A,则 m 的值为 1 或﹣1. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;集合;简易逻辑. 分析: ①指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)过(0,1)平移得到,②将 4 = 化为对数,统一 形式,利用对数运算性质求解,③利用奇函数的定义先判断定义域是否关于原点对称,然后 判断 f(﹣x)=f(x) ,④A∪B=A 得 B?A,漏掉了 B=?的情况. 解答: 解:①指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)过(0,1) ,则令 x﹣1=0,a x﹣1 =a +3(a>0 且 a≠1)的图象一定过定点 P(1,4) ,①正确; ②4 = ?y=log2( )
x y x x﹣1 x y

+3=4,函数 f(x)

,则 x+2y=log23+2log2( )

=log28=3,②正确;

③函数有意义则 1﹣2 ≠0,函数定义域为{x|x≠0},关于原点对称, f(x)= ﹣ = ,f(﹣x)= = =﹣f(x)为奇

函数,③正确; ④由 A∪B=A 得 B?A,B=?,{﹣1}或{1},④错误. 故答案为:①②③ 点评: 本题①②考查指数,对数的定义和性质,③考察奇函数的定义,④考察集合的包 含关系,易错点是④中忽略?. 三、解答题: (本题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 x 16. (8 分)已知指数函数 f(x)=(3m ﹣7m+3)m 是减函数,求实数 m 的值. 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由指数函数的概念得 3m﹣7m+3=1,求出 m 的值,再由指数函数的单调性和 f(x) 是减函数,对 m 的值进行取舍.

解答: 解:由题意得,得 3m﹣7m+3=1,解得 m= 或 m=2, 又 f(x)是减函数,则 0<m<1, 所以 m= . 点评: 本题考查指数函数的概念,以及指数函数的单调性,属于基础题. 17. (10 分)已知集合 A={x|3≤x<6},B={y|y=2 ,2≤x<3}:分别求: (1)A∩B; (2)?RB∪A. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由指数函数的性质求出集合 B,由补集的运算求出?RB, (1)由题意和交集的运算求出 A∩B; (2)由并集的运算求出?RB∪A. x 解答: 解:由 2≤x<3 的,4≤2 <8,则集合 B=[4,8) , 所以?RB=(﹣∞,4)∪[8,+∞) , (1)集合 A={x|3≤x<6}=[4,6) , 所以 A∩B=[4,6) ; (2)集合 A={x|3≤x<6}=[4,6) , 所以?RB∪A=(﹣∞,6)∪[8,+∞) . 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,属于基础题. 18.比较下列各题中值的大小: (1)0.8 ,0.8 0.3 3.1 (2)1.7 ,0.9 1.3 2.5 (3)a ,a 5 2 0.3 (4)P=log4 ,Q=log3 ,T=log2 . 考点: 对数值大小的比较;不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: (1)考察指数函数 y=0.8 在 R 上的单调递减,即可得出; 0.3 3.1 (2)由于 1.7 >1,0.9 <1,即可得出; (3)对 a 分类讨论,利用指数函数的单调性即可得出; (4)由于 P=log4 >1,0<Q=log3 <1,T=log2 <0.即可得出. ﹣0.1 ﹣0.2 x 解答: 解: (1)考察指数函数 y=0.8 在 R 上的单调递减,可得 0.8 >0.8 ; 0.3 3.1 0.3 3.1 (2)∵1.7 >1,0.9 <1,∴1.7 >0.9 ; 1.3 2.5 1.3 2.5 (3)当 0<a<1 时,a >a ;当 a>1 时,a <a ; ( 5 2 0.3 (4)∵P=log4 >1,0<Q=log3 <1,T=log2 <0. ∴P>Q>T. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 19. (12 分)计算:
5 2 0.3
﹣0.1 ﹣0.2

x

(1) (2a b (2)lg ﹣2lg
14

﹣3

)?(﹣3a b)÷(4a b +lg ﹣lg .
7 18

﹣1

﹣4

) ;

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= a
﹣3﹣1﹣(﹣4)

=



(2)原式=

=lg1=0.

点评: 本题考查了指数幂与对数的运算法则,属于基础题. 20. (10 分)已知﹣1≤x≤0,求函数 y=2
x+2

﹣3?4 的最大值和最小值.

x

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. x 分析: 先化简, 然后利用换元法令 t=2 根据变量 x 的范围求出 t 的范围, 将原函数转化成关 于 t 的二次函数,最后根据二次函数的性质求在闭区间上的最值即可. x+2 x x 2 x 解答: 解:令 y=2 ﹣3?4 =﹣3?(2 ) +4?2 (3 分) 令 t=2 ,则 y=﹣3t +4t= ∵﹣1≤x≤0,∴ 又∵对称轴 ∴当 ,即 , (10 分)
x 2

(6 分) (8 分)

当 t=1 即 x=0 时,ymin=1(12 分) 点评: 本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及利用换元法转化成二次函数求解值 域的问题,属于基础题.

21. (15 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f(x)的单调性; 2 2 (Ⅲ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质;二次函数的性质;利用导数研究函数的单调 性. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)利用奇函数定义 f(x)=﹣f(x)中的特殊值 f(0)=0 求 b 的值; (Ⅱ)设 x1<x2 然后确定 f(x1)﹣f(x2)的符号,根据单调函数的定义得到函数 f(x)的单 调性; (III)结合单调性和奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 转化为关于 t 的一元 二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即 ?b=1,
2 2





(Ⅱ)由(Ⅰ)知



设 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)=



=

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1<x2∴f(x1)﹣f(x2)= 即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数 (III)f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,又因为 f(x)是奇函数, 2 2 所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . .

x

>0

点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问 题的解决策略,是一道综合题.


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