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圆锥曲线练习题(理科)带答案


圆锥曲线训练题 一、选择题: 1 抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程是( A. y ? 1 B. y ? ?1 ) C. y ?
1 16

2

1 16 x2 y2 1 ? ? 1 所表 设 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos? ? ,则方程 sin ? cos? 5

D.


y??

示的曲线为( ). A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线
2

B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的的双曲线
5 ,且 a ? b, 则双曲

3 两个正数 a、b 的等差中项是 9 ,一个等比中项是 2 线 x2
a
2

?

y2 b2

? 1 的离心率为

A. 5

3

B.

41 4

C. 5

4

D.

41 5





4 如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别


为 e1, e2 , e3 , e4 ,其大小关系为 A. e1 ? e2 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e4 ? e3 5 B. e2 ? e1 ? e3 ? e4 D. e2 ? e1 ? e4 ? e3 )



x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的( 若 k ? R ,则 k ? 3 是方程 k ?3 3

A. 充分不必要条件 不充分也不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既

6 过抛物线 y2 ? 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P( x1, y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两点,如 果 x1 ? x2 ? 6 , 则 PQ ? ( ) B.8 C.7 D.6

A.9

7 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ? ax
1

(a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,

若 ?OAF ( O 为 坐 标 原 点 ) 的 面 积 为 4, 则 抛 物 线 方 程 为 ( w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. y2 ? ? 4x 8 设椭圆
2

).

B. y2 ? ? 8x

C.

y2 ? 4x

D.

y 2 ? 8x

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) a2 b2

的离心率为 e ? 1 ,右焦点为 F (c , 0 ),方程
2 x1

ax ? bx? c?0

的 两 个 实 根 分 别 为



x2

, 则 点

P( x1 , x2 )

(

) A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

二、填空题: 9 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线关于 x 轴对称, 顶点在原点 O , 且过点 P(2, 4) ,则该抛物线的方程是 10.以双曲线 y 2 ? x ___________ 11
x2 y 2 椭圆 ? ? 1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 25 9
2



3

? 1 的一个焦点为圆心, 离心率为半径的圆的方程是

2, 是 MF1 的中点, 为 N O

坐标原点,则 ON ? . 12 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线为 mx ? y ? 0 , 若 m 在集合 {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} 中任意取一个值, 使得双曲线的离心率大于 3 的概率是 . 13 已知圆 C : x2 ? y2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲 线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程 为 . 14
x2 y2 已知 P( x, y ) 是抛物线 y ? ?8x 的准线与双曲线 ? ? 1 的两条渐近线 8 2
2

所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的最
2

大值为 三、解答题: 15.已知椭圆的两焦点为 F1 (0, ?1) 、 F2 (0,1) ,离心率为 1 (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 P 在椭圆上,且 PF1 | ? | PF2

2

? 1 ,求 cos ?F1PF2 的值。

16 、求顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y ? ? 3 x 的双曲线的标准方
2

程。

x2 y2 17、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,过坐标原点 O 且斜 2 a b

率为 1 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B , | AB |? 2
2

10 .

⑴求 a 、 b 的值; ⑵若动圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的 取值范围.

18

抛物线 y2 ? 4x 上有两个定点 A、 B 分别在对称轴的上、 下两侧,F 为

抛物线的焦点,并且 FA ? 2, FB ? 5 。
3

(1)求直线 AB 的方程; (2)在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P ,使 ?PAB 的面积最大,并求 最大面积.(其中 O 为坐标原点)

19 一束光线从点 F1 (?1,0) 出发,经直线 l : x ? 2 y ? 6 ? 0 上一点 M 反射后, 恰好穿过点 F2 (1, 0) . (1) 求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1? 的坐标; (2) 求以 F1、F2 为焦点且过点 M 的椭圆 C 的方程; ???? ???? ? (3) 若 P 是(2)中椭圆 C 上的动点,求 PF1 ?PF2 的取值范围.

20 已知动圆 C 过点 A?? 2, 0? ,且与圆 M : ?x ? 2?2 ? y 2 ? 64 相内切. (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两
4

点 B ,D,与双曲线 x

2

4

?

y2 ? 1 交于不同两点 E , F ,问是否存在直线 12

???? ??? ? l ,使得向量 DF ? BE ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若

不存在,请说明理由.

一、选择题 DCDCA 二、填空题 9
y 2 ? 8x
x2 y 2 ? ?1 4 12

圆锥曲线训练题答案 BBA 10 14
x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

11

4

12

7 9

13

5

三、解答题 15
y 2 x2 解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b c 1 由题设知 c ? 1 , ? ∴ a ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 a 2

∴所求椭圆方程为 y + x =1
4 3

2

2

(2)由(1)知由椭圆定义知 PF1 ? PF2 ∴ PF1
? 5 , PF2 ? 3 2 2

? 2a ? 4 ,又 PF1 | ? | PF2 ? 1

又 F1F2
2

? 2c ? 2
2 2

由余弦定理 cos ?F1PF2 ? 16

PF1 ? PF2 ? F1F2 2 PF1 PF2

25 9 ? ?4 3 ? 4 4 ? 5 3 5 2? ? 2 2

x2 y2 解:方法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为 2 ? 2 a b

=1

5

?2a ? 6, 由题意,得 ? b 3 ? ?a ? 2 . ?

解得 a ? 3 ,

b?

9 .所以焦点在 x 轴 2

上的双曲线的方程为 x

2

9

?

y2 ? 1 .同理可求当焦点在 y 轴上双曲线的方 81 4

程为

y2 x2 ? ? 1. 9 4
2

方法二: 设以 y ? ? 3 x 为渐近线的双曲线的方程为 x
2

4

?

y2 ? ? (? ? 0) 当 ? > 9

0时, 2

4? ? 6 ,解得, ?

= 9 .此时,所要求的双曲线的方程为
4

x2 y2 ? ? 1 .当 ? <0时, 2 ? 9? ? 6 ,解得, ? =-1. 9 81 4

此时,所要求

的双曲线的方程为 y

2

9

?

x2 ?1 4
? t) t ? 0 ) ( ……

17、 依题意,l :y ? x ……1 分, 不妨设设 A(2t , t ) 、B(?2t ,
2

2 分, 由 | AB |? 2
10 得 20t 2 ? 40 , t ? 2 ……3
2 ?8 ?a2 ? b2 ? 1 分,所以 ? ? 2 2 ?c ? a ? b ? 3 ?a a 2 ?

……5

分, 解得 a ? 4 , b ? 2 ……6 分.
? x2 y2 ? ?1 ⑵由 ?16 4 消去 y 得 3x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ……7 ? ?( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 ?

分, 动圆与椭圆 或

没有公共点,当且仅当
| m |? 5 ……9

? ? (?8m) 2 ? 4 ? 3 ? (4m 2 ? 12) ? 16m 2 ? 144 ? 0

分,解得 | m |? 3 或 | m |? 5 ……10 分。动圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 1与直

6

线 y ? x 没有公共点当且仅当 | m | ? 1 ,即 | m |?
2

5

5 ……12

分。解 ? 值 范

?| m |? 3 ?| m |? 5

或 为

?| m |? 5 ? ?| m |? 5





13







m







?m |

5 ? m ? 3或m ? 5或 ? 3 ? m ? ? 5或m ? ?5

?……14 分.………………14 分

18 解:1) ( 由已知得 F (1,0) , 设点 A 坐标为 ( x1 , y1 ) , FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1 , 由 所以 A(1, 2) 同理 B(4, ?4) 所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . (2)设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y0 ) ,且1 ? x0 ? 4,?4 ? y0 ? 2 则点 P 到直线 AB 的距离 d ?
2 x0 ? y0 ? 4 1? 4
5 10

2? ?

2 y0 ? y0 ? 4 4

5
5

1 9 ( y0 ? 1)2 ? 2 2 ? 5

所以当 y0 ? ?1 时, d 取最大值 9

,又 AB ? 3

所 以 ?PAB 的 面 积 最 大 值 为 S ? 1 ?3
2

9 5 27 5? ? , 10 4

此时 P 点坐标为

1 ( ,?1) . 4

19 解:(1) 设 F1?( x0 , y0 ) ,则

x ?1 y y0 ? 2? 0 ? 6 ? 0, ?2且 0 2 2 x0 ? 1

解得 x0 ? ?3, y0 ? ?4 ,故点 F1? 的坐标为 (?3, ?4) . (2) 由对称性知, MF1 ? MF1? ,根据椭圆定义,得 2a ?| MF1?| ? | MF2 |?| F1?F2 | ? (?3 ? 1) 2 ? (?4 ? 0) 2 ? 4 2 ,即 a ? 2 ∵ c ? 1 ,∴ b ? (3) 设
a2 ? c2 ? 7 .
P ( x, y )

2.
2

∴椭圆 C 的方程为 x , 则
7 y2 ? 7 ? x2 8

8

?

y2 ? 1. 7



∴ .

???? ???? ? 1 2 PF1 ?PF2 ? (?1 ? x, ? y ) ? (1 ? x, ? y ) ? x 2 ? y ? 1 ? 2 x ? 6 8 ???? ???? ? ∵ x ?[?2 2, 2 2] ,则 x2 ?[0,8] , ∴ PF1 ?PF2 的取值范围是 [6, 7] .

20 解: (1)圆 M : ?x ? 2?2 ? y 2 ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 .
7

∵ AM ? 4 ? R ,∴点 A?? 2, 0? 在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r ? CA ,且 CM ? R ? r , 即 CM ? CA ? 8 ? AM . ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的 椭圆,设其方程为
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , a2 b2

则 a ? 4, c ? 2 .∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 .
2

∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 x
? y ? kx ? m, (2)由 ? x 2 ? y 2 ? 1. ? ? 16 12 ?

16

?

y2 ? 1. 12

消去 y 化简整理得: ?3 ? 4k 2 ?x 2 ? 8kmx? 4m2 ? 48 ? 0 .
8km 3 ? 4k 2

设 B( x1, y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? △ 1 ? ?8km?2 ? 4?3 ? 4k 2 ??4m2 ? 48? ? 0 .
? y ? kx ? m, 由 ? x 2 ? y 2 ? 1. ? ? 4 12 ?

.



消去 y 化简整理得: ?3 ? k 2 ?x 2 ? 2kmx? m2 ? 12 ? 0 .
? 2km 3?k2

设 E?x3 , y3 ?, F ?x4 , y4 ? ,则 x3 ? x 4

,

△ 2 ? ?? 2km?2 ? 4?3 ? k 2 ??m2 ? 12? ? 0 . ② ???? ??? ? ∵ DF ? BE ? 0 ,∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , ∴?
8km 2km ? 2 3 ? 4k 3?k2

.∴ 2km ? 0 或 ?

4 1 ? 2 3 ? 4k 3?k2

.解得 k ? 0 或 m ? 0 .

当 k ? 0 时,由①、②得 ? 2 3 ? m ? 2 3 , ∵ m ?Z,∴ m 的值为 ? 3,?2 ?1, 0 ,1 ,2,3 ; 当 m ? 0 ,由①、②得 ? 3 ? k ? 3 , ∵ k ? Z,∴ k ? ?1, 0, 1 . ∴满足条件的直线共有 9 条.

8


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