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2015年高三数学 专题23 空间中的平行与垂直课件 理


专题23

空间中的平行与垂直

空间中的平行与垂直
主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

1.以选择、填空题的形式考查,主要利用平面的 基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定 理对命题的真假进行判断,属基础题. 2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与


考 情 面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱 解 柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考 读

查,难度中等.
3

主干知识梳理 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理

线面平 行的判

定定理
线面平 行的性 质定理

a∥ b? ? b?α ??a∥α ? a?α ?

a∥ α ? ? a?β ??a∥b ? α∩β=b?

线面垂 a?α,b?α? ? 直的判

定定理
线面垂 直的性

? a∩b=O ??l⊥α ? l⊥a,l⊥b ? ?

a⊥ α ? ??a∥b b⊥ α ?

质定理

2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理

面面垂
直的判 定定理 面面垂 直的性

a⊥ α? ??α⊥β a?β ?
α⊥β ? ? α∩β=c? a?α a⊥ c

质定理

?? a ⊥ β ? ? ?

面面平
行的判 定定理

面面平
行的性

? ? ? ??α∥β ? a∥α,b∥α? ?

a?β b?β a∩b=O

质定理

α∥β ? ? α∩γ=a ??a∥b
? β∩γ=b ?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意 其具备的条件,缺一不可.

3.平行关系及垂直关系的转化

热点分类突破

? 热点一
? 热点二 ? 热点三

空间线面位置关系的判定
平行、垂直关系的证明 图形的折叠问题

热点一

空间线面位置关系的判定

例1

(1)设a,b表示直线,α,β,γ表示不同的平面,
)
思维启迪 判断空间线面关系的基本 思路:利用定理或结论;借 助实物模型作出肯定或否定.

则下列命题中正确的是(

A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α
B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β

C.若a∥α且a∥β,则α∥β
D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β

解析

A:应该是b∥α或b?α;

B:如果是墙角出发的三个面就不符合题意; C:α∩β=m,若a∥m时,满足a∥α,a∥β,但是 α∥β不正确,所以选D. 答案 D

(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a?α,a∥β

)

C.存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α

解析

若 α∩β = l , a∥l , a?α , a?β ,则 a∥α ,

a∥β,故排除A.
若α∩β=l,a?α,a∥l,则a∥β,故排除B.

若 α∩β = l , a?α , a∥l , b?β , b∥l , 则 a∥β ,
b∥α,故排除C.故选D. 答案 D

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主 要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种 情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理
思 和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、 维 升 长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意 华

平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 .

变式训练1

设 m 、 n 是不同的直线, α 、 β 是不同的平面,有以下四 个命题: ①若α⊥β,m∥α,则m⊥β ②若m⊥α,n⊥α,则m∥n ③若m⊥α,m⊥n,则n∥α ④若n⊥α,n⊥β,则β∥α 其中真命题的序号为( )

A.①③

B.②③

C.①④ D.②④

解析

①若 α⊥β, m∥α,则 m与 β可以是直线与平

面的所有关系,所以①错误; ②若m⊥α,n⊥α,则m∥n,所以②正确; ③若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n?α,所以③错误; ④若n⊥α,n⊥β,则β∥α,所以④正确. 故选D. 答案 D

热点二

平行、垂直关系的证明

例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,

AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平
面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和

F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;

(1)PA⊥底面ABCD;
思维启迪 利用平面PAD⊥底面ABCD的性质,得线面垂直;

证明

因为平面PAD⊥底面ABCD,

且PA垂直于这两个平面的交线AD,
所以PA⊥底面ABCD.

(2)BE∥平面PAD; 证明

思维启迪

BE∥AD易证;

因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,

所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BE∥平面PAD.

(3)平面BEF⊥平面PCD. 证明

思维启迪 EF是△CPD的中位线.

因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.

所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知PA⊥底面ABCD.

所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

所以CD⊥平面BEF.
又CD?平面PCD,

所以平面BEF⊥平面PCD.

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见 类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
思 维 (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 升 (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转 华

(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.

化为证明线线垂直.

变式训练2

如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥

平面ACD,△ACD为等边三角形,AD
=DE=2AB,F为CD的中点.

求证:(1)AF∥平面BCE;

证明 如图,取CE的中点G,连接FG,BG. ∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF= 1 DE. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又AB= 1 DE,∴GF=AB. ∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG. ∵AF?平面BCE,BG?平面BCE,

2

2

∴AF∥平面BCE.

(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 ∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,

∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.

热点三

图形的折叠问题

例3

如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E

分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点, 将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD, 如图(2).

(1)求证:DE∥平面A1CB;
思维启迪

折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些
量没有变化.第(1)问证明线面平行,可以证明DE∥BC;

证明

因为D,E分别为AC,AB的中点,

所以DE∥BC.

又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.

(2)求证:A1F⊥BE;
思维启迪

第 (2) 问证明线线垂直转化为证明线面垂直,即证明
A1F⊥平面BCDE;

证明 由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.

所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC,

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD, 所以A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE,

所以A1F⊥BE.

(3) 线段 A1B 上是否存在点 Q ,使 A1C⊥ 平面 DEQ ?

请说明理由.
思维启迪
第(3)问取A1B的中点Q,再证明A1C⊥平面DEQ.



线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面

DEQ.理由如下: 如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,
则PQ∥BC.

又因为DE∥BC,所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后 的变化量和不变量 . 一般情况下,折线同一侧线
思 抓住不变量是解决问题的突破口. 维 升 (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形, 华

段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,

既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.

变式训练3
如图(1),已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD= π ,

2 AB = BC = 2AD = 4 , E , F 分别是 AB , CD 上的点,
EF∥BC , AE = x. 沿 EF 将 梯 形 ABCD 翻 折 , 使 平 面

AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示),G是BC的中点.

(1)当x=2时,求证:BD⊥EG; 证明 作DH⊥EF,垂足为H,

连接BH,GH, 因为平面AEFD⊥平面EBCF,交
线为EF,DH?平面AEFD,

所以DH⊥平面EBCF,又EG?平面EBCF,
故EG⊥DH.

因为EH=AD= 1BC=BG=2,BE=2,EF∥BC, ∠EBC=90°,2

所以四边形BGHE为正方形,故EG⊥BH. 又BH,DH?平面DBH,且BH∩DH=H, 故EG⊥平面DBH. 又BD?平面DBH,故EG⊥BD.

(2)当x变化时,求三棱锥D-BCF的体积f(x)的函数式.
解 因为 AE⊥EF ,平面 AEFD⊥ 平面 EBCF ,交线

为EF,AE?平面AEFD,

所以AE⊥平面EBCF.
由(1)知,DH⊥平面EBCF,故AE∥DH, 所以四边形AEHD是矩形,DH=AE, 故以B,F,C,D为顶点的三棱锥D-BCF的高 DH=AE=x.

1 1 又 S△BCF= BC· BE= ×4×(4-x)=8-2x, 2 2
1 所以三棱锥 D-BCF 的体积 f(x)= S△BFC· DH 3 1 1 = S△BFC· AE= (8-2x)x 3 3
22 8 =- x + x(0<x<4). 3 3

本讲规律总结 1.证明线线平行的常用方法

(1) 利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直
线平行;

(2)利用平行四边形进行转换;
(3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证 线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证 面面平行.

3.证明面面平行的方法
证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条 相交直线与另一个平面平行即可,从而将证面面平行转 化为证线面平行,再转化为证线线平行.

4.证明线线垂直的常用方法 (1) 利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩 形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直; (2)利用勾股定理逆定理; (3) 利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明 一线垂直于另一线所在平面即可.

5.证明线面垂直的常用方法

(1) 利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化
为证明线线垂直;

(2) 利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为
证面面垂直;

(3) 利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个
平面,则另一条也垂直于这个平面.

6.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面 过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线 面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样 的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.

真题与押题

? 真题感悟

? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2014· 辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示
平面.下列说法正确的是( )

A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n?α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

1

2

真题感悟

解析 方法一

若m∥α,n∥α,

则m,n可能平行、相交或异面,A错; 若 m⊥α , n?α ,则 m⊥n ,因为直线与平面垂直时, 它垂直于平面内任一直线,B正确; 若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n?α,C错; 若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也 可能n?α,D错.

1

2

真题感悟

方法二

如图,在正方体ABCD-

A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.
A项中,若m为A′B′,n为B′C′, 满足m∥α,n∥α, 但m与n是相交直线,故A错. B项中,m⊥α,n?α,

∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.

1

2

真题感悟

C项中,若m为AA′,n为AB,

满足m⊥α,m⊥n,但n?α,故C错.
D项中,若m为A′B′,n为B′C′,

满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.
答案 B

1

2

真题感悟

2.(2014· 辽宁)如图,△ABC和△BCD 所在平面互相垂直,且AB=BC=BD =2,∠ABC=∠DBC=120°,E, F,G分别为AC,DC,AD的中点.

1

2

真题感悟

(1)求证:EF⊥平面BCG;
证明 由已知得△ABC≌△DBC,

因此AC=DC.

又G为AD的中点,所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,又BG∩CG=G,

因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.

1

2

真题感悟

(2)求三棱锥D-BCG的体积.

附:锥体的体积公式V= 1 Sh,其中S为底面面积,
h为高. 解

3

在平面ABC内,作AO⊥BC,交CB的延长线于O.

由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.
又 G 为 AD 中点,因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长

度的一半.

1

2

真题感悟

在△AOB 中,AO=AB· sin 60° = 3,
1 所以 VD-BCG=VG-BCD= S△DBC· h 3
1 1 3 1 = × BD· BC· sin 120° · =. 3 2 2 2

1

2

押题精练

1. 如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异 于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面, 点M为线段PB的中点.有以下四个命题:

①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC; ③OC⊥平面PAC; ④平面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).

1

2

押题精练

解析

①错误,PA?平面MOB;

②正确; ③错误,否则,有OC⊥AC,这与BC⊥AC矛盾; ④正确,因为BC⊥平面PAC. 答案 ②④

1

2

押题精练

2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1

中,E是棱DD1的中点.
(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE; 证明 如图,

因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以B1C1⊥面ABB1A1.

因为A1B?面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B.

1

2

押题精练

又因为A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, 所以A1B⊥面ADC1B1. 因为A1B?面A1BE, 所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.

1

2

押题精练

(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE? 并证明你的结论. 解 当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.

证明如下:

取C1D1中点F,连接EF,B1F
易知:EF∥C1D,且EF= 1C1D.

2

1

2

押题精练

设AB1∩A1B=O,连接OE, 则B1O∥C1D且B1O= 1 C1D, 所以EF∥B1O且EF=B1O, 所以四边形B1OEF为平行四边形.

2

所以B1F∥OE.
又因为B1F?面A1BE,OE?面A1BE.

所以B1F∥面A1BE.


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