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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:8-7 空间向量的应用(一)平行与垂直


高考调研

新课标版 · 高三数学(理)

第 7 课时

空间向量的应用(一)

平 行 与 垂 直

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2014?考纲下载

1.能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量. 3.能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题,体会 向量方法在立体几何中的作用.

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请注意!

本节知识是高考中的重点考查内容,着重考查线线、线面、 面面的平行与垂直,考查以选择题、填空题形式,出现时灵活多 变,以解答题出现时,往往综合性较强属于中档题.

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1.直线的方向向量 就 是 指 和 这 条 直 线 所 对 应 向 量
平行

(或 共 线 )的 向 量 , 显

然一条直线的方向向量可以有 无数多 个.

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2.平 面 的 法 向 量 1 ( ) 所 谓 平 面 的 法 向 量 , 就 是 指 所 在 的 直 线 量 , 显 然 一 个 平 面 的 法 向 量 也 有 2 ( ) 在 空 间 中 , 给 定 一 个 点 为 法 向 量 且 经 过 点 A的 平 面 是 与平面垂直的向

无数多个 , 它 们 是
A 和 一 个 向 量

共线 向 量 .
a

a, 那 么 以 向 量

唯一 确 定 的 .

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3.直 线 方 向 向 量 与 平 面 法 向 量 在 确 定 直 线 、 平 面 位 置 关 系 中 的 应 用 直 线 l1 的 方 向 向 量 u2=(a2,b2,c2). 如 果 l1∥l2, 那 么 如 果 l1⊥l2, 那 么 直 线 l的 方 向 向 量 为 =(a2,b2,c2). u1∥u2? (a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2) . u1⊥u2? a1a2+b1b2+c1c2=0 . u=(a1,b1,c1), 平 面 α的 法 向 量 为 n u1=(a1,b1,c1), 直 线 l2 的 方 向 向 量 为

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若 l∥α, 则 u⊥n?u· n=0? a1a2+b1b2+c1c2=0 ; 若 l⊥α, 则 u∥n?u=kn? (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) ; 平 面 α1 的 法 向 量 为 u2=(a2,b2,c2). 若 α1∥α2, 则 u1∥u2?u1=ku2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2). 若 α1⊥α2,则 u1⊥u2?u1· u2=0? a1a2+b1b2+c1c2=0 . u1=(a1,b1,c1), 平 面 α2 的 法 向 量 为

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1.两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=0 1 ( , v2=(-2 0 ) , ,则 l1 与 l2 的位置关系是( B.相交 D.不确定 )

,-1),

A.平行 C.垂直
答案 解析 A v2=-2v1,∴l1∥l2.

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2. 已 知 直 线

l的 方 向 向 量 为 ( )

v, 平 面

α的 法 向 量 为

u, 则 v· u

=0,l 与 α 的 关 系 是 A.l⊥α C.l?α
答案 D

B.l∥α D.l∥α 或 l?α

解析 若 l?α,则 l∥α. 由于题目没有强调 l?α,∴l∥α 或 l?α.

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3. 已 知 平 面

α 内有一个点 M(1,-1,2), 平 面

α 的一个法向 )

量是 n=(6,-3,6),则下列点 P 在平面 α 内的是( A.P3 2 ) , ( C.P(-0 4 ) ,
答案 A

B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4)

解析 ∵n=(6,-6 3 ) ,

是平面 α 的法向量, → =0. ,∴n· MP

→ ,在选项 A 中,MP → =1 ∴n⊥MP 4 ) ( ,

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→ =1 4. 已 知 AB 2 ) , ( 量为( )

→ =3 ,AC 5 4 ) , (

, 则 平 面

ABC 的单位法向

1 2 2 A.(3,-3,3) 1 2 2 C.± (3,-3,3)
答案 C

1 2 2 B.(-3,3,-3) 2 1 2 D.(3,3,-3)

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解 析

设 平 面

ABC 的 法 向 量

n=(x,y,z),

→· ? ? ?AB n=0, ?2x+2y+z=0, 则? 即? ? → . ?4x+5y+3z=0 ? n=0, ?AC· 1 ? ?x= , 令 z=1, 得? 2 ? -1 . ?y= 1 ∴n=(2, -1 ) ,



∴平 面 ABC 的 单 位 法 向 量 为

1 2 2 n ± (3,-3,3). |n|=±

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5. 若 平 面 -4),则( A.α∥β )

α, β 的法向量分别为 n1=(2, -3,5), n2=(-3,1,

B.α⊥β D. 以 上 均 不 正 确

C.α、β 相交但不垂直
答案 C

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例1 1 ( ) 在 长 方 体

A B C D

-A1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,

AA1=2,P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1,AB,CC1 的 中 点 , 证 明:PQ∥RS.
【 证 明 】 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则 P1 0 3 ) , ( ,Q2 0 ) , ( 以D为 原 点 , D-xyz, ,R0 2 3 ) , ( → ,RS=(-1 2 3 ) , ,S1 4 0 ) , ( . . → → → DA,DC,DD1分 别 为 x,y,z 轴

→ ∴PQ=(-1 2 3 ) ,

→ → → → ∴PQ=RS,∴PQ∥RS即 PQ∥RS.
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2 ( ) 在 四 棱 锥 ⊥底面 A B C D EBD. P-A B C D 中 , 底 面

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A B C D

是正方形,侧棱 PD PA∥平面

,且 PD=DC,E 是 PC 的 中 点 , 求 证 :

【 证 明 】

→ → → 连 接 AC 交 BD 于 O, 设DA=a, DC=b, DP=c,

1 → → 1 → → → → → → → 则PA=DA -DP = a-c ,EO=DO -DE =2(DA+ DC ) -2(DP + 1 → → 1 → DC)=2(DA-DP)=2(a-c). → =2EO → .又 PA?平 ∴PA 面 EBD, ∴PA∥平面 EBD.
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3 ( ) 在 正 方 体

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AC1 中,M,N,E,F 分别是 A1B1,A1D1,B1C1, .

C1D1 的中点,求证:平面 A M N ∥平面 E F D B

【证明】 如 图 所 示 , 以

D为 原 点 , 分

别以 DA、DC、DD1 ,

为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 设 AD=1, 则 D0 ) , ( A0 1 ) , ( 1,1). 1 1 ,M(1,2,1),N(2,0,1),B0 1 ) , (

1 1 ,F(0,2,1),E(2,

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1 1 → → ∴AM=(0,2,1 ) ,DF=(0,2,1 ). → =DF → .又∵AM?平 ∴AM 面 E F D B ∴AM∥平 面 E F D B 面E F D B , , 可 证 AN∥平

1 → → .又∵AN=BE=(-2,1 0 ) ,

.又 AN∩AM=A, .

∴平 面 A M N ∥平 面 E F D B

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探究 1 1 ( ) 证 明 线 线 平 行 是 证 明 线 面 平 行 和 面 面 平 行 的 基 础 , 要 证 线 线 平 行 , 只 需 证 明 相 应 的 向 量 共 线 即 可 . 2 ( ) 解 决 此 类 问 题 的 依 据 还 是 要 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 , 可 证 直 线 方 向 向 量 与 面 内 一 向 量 平 行 , 也 可 证 直 线 方 向 向 量 与 面 法 向 量 垂 直 . 3 ( ) 证 明 面 面 平 行 时 , 可 以 通 过 面 面 平 行 的 判 定 定 理 , 也 可 以 用 两 个 平 面 的 法 向 量 互 相 垂 直 来 证 . 平

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思考题 1 1 ( ) 如 图 所 示 , 在 长 方 体

O A E B

-O1A1E1B1 中,

|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点 P 在棱 AA1 上,且|AP|=2|PA1|, 点 S 在棱 BB1 上,且|SB1|=2|BS|,点 Q、R 分别是 O1B1、AE 的 中点,求证:PQ∥RS.

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【证明】 A0 3 ) , ( ,B0 4 ) , ( 方 法 一 : ,O12 0 ) , (

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如 图 所 示 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 ,A12 0 3 ) , ( ,B12 4 0 ) , ( ,E0 4 3 ) , ( .

∵|AP|=2 | PA1|, → → 2→ ∴AP=2PA1=3AA1. 2 → 即AP=32 0 ) , ( ∴P 点 坐 标 为 同 理 可 得 Q2 0 ) , ( 0 3 ( , =0 ( , 4 ,3).

4 ,3). ,R0 2 3 ) , ( ,S4 0 ( , 2 ,3).
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2 → → ∴PQ=(-2 3 , ,3)=RS. → ∥RS →. ∴PQ 又∵R?PQ,∴PQ∥RS. 方 法 二 : 设

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→ =a,OB → =b,OO → =c, OA 则 1

1 → → 1→ → → → → PQ=PA1+A1O1+O1Q=3AA1-OA+2OB 1 1 =3c-a+2b, → =RA → +AO → +OB → +BS → RS
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1→ → → 1 → =-2OB-OA+OB+3BB1 1 1 =-a+2b+3c. → =RS → ,∴PQ → ∥RS →. ∴PQ 又∵R?RQ,∴PQ∥RS.

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2 ( ) 如 图 所 示 , 在 正 方 体

A B C D

-A1B1C1D1 中,M,N 分 别 是

C1C,B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

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【证明】 DD1 所 在 直 线 分 别 为 正 方 体 的 棱 长 为 M1 0 ( ,

方 法 一 : 如 图 所 示 , 以

D 为 原 点 ,

DA,DC, , 设

x轴 、 y 轴、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 1, 则 可 求 得 ,D0 ) , ( ,A11 0 ) , ( ,B0 1 ) , ( ,

1 1 ,2),N(2,1 ) ,

1 1 → 于 是 MN=(2,0,2). 设 平 面 A1BD 的 法 向 量 是 n=(x,y,z).

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→ =0, → =0, 则 n· DA 且 n · DB 1
? ?x+z=0, 得? ? . ?x+y=0

取 x=1, 得 y= - 1,z= -1 . ∴n=(1, - 1, -1 ). 1 1 → 又MN· n=(2,0,2 1 (· ) , - 1, -1 ) =0, → ⊥n, ∴MN 又 ∵MN?平 面 A1BD,∴MN∥平 面 A1BD.

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1 → 1→ → → → 方法二:∵MN=C1N -C1M=2C1B1-2C1C 1 → 1→ → =2(D1A1-D1D)=2DA1, → ∥DA → .又∵MN?平面 A BD, ∴MN 1 1 ∴MN∥平面 A1BD.

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例2 1 ( ) 已 知 空 间 四 边 形

O A B C

中,M 为 BC 中点,N 为 AB=OC.求证:PM

AC 中点,P 为 OA 中 点 , Q 为 OB 中 点 , 若 ⊥QN.
【思路】 欲证 PM⊥QN, 只 需 证 明

→ → PM· QN=0.

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【 证 明 】

→ → → 设OA=a,OB=b,OC=c.

1 → → 1 → ∵OM=2(OB+OC)=2(b+c), 1 → → 1 → ON=2(OA+OC)=2(a+c), 1 1 1 → → → ∴PM=PO+OM= - 2a+2(b+c)=2(b+c-a), 1 1 1 → → → QN=QO+ON= - 2b+2(a+c)=2(a+c-b).

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1 → → ∴PM· QN=4[c-(a-b[ ] ) c+(a-b)] 1 2 1 →2 →2 2 =4[c -(a-b) ]=4(|OC| -|BA| ). → |=|OC → |,∴PM →· → =0,即PM → ⊥QN →. ∵|AB QN ∴PM⊥QN.

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2 ( ) 在 正 方 体

A B C D

-A1B1C1D1 中,求证:BD1⊥平面 A C B

1.

→ 、DC → 、DD → 分别为 x、y、z 轴 【证明】 以 D 为原点,DA 1 建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1 ,则 B0 1 ) , ( D11 0 ) , ( 、A1 ( , 0,0)、B11 ) , ( 、C0 1 ) , ( . 、

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→ =(-1,-1,1),AB → =1 ∴BD ) , ( 1 1 0

→ =(-1,1,0). ,AC

→· → =(-1)×0+(-1)×1+1×1=0, 又BD AB 1 1 → → BD1· AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0. → ⊥AB → ,BD → ⊥AC → ,即 BD ⊥AB ,BD ⊥AC. ∴BD 1 1 1 1 1 1 又 AB1∩AC=A,∴BD1⊥平面 A C B
1.

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3 ( ) 已 知 正 方 体 A B C D

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-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD

的中点,求证:平面 D E A ⊥平面 A1FD1.

【 证 明 】 则有 D0 ) , ( F0 1 ) , ( . → =0 此 时 DA 2 ) , ( 设 平 面 A D E

建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , D12 0 ) , ( , A0 2 ) , (

D-xyz, 令 DD1=2, , A12 0 ) , ( , E1 2 ) , ( ,

→ =1 ,DE 2 ) , ( 的 一 个 法 向 量 为

. n1=(x,y,z), 则

? ?x=0, ? ? . ?2x+2y+z=0

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令 y=1, 则 z= - 2,∴n1=1 0 ( , → 又D 0 ) , 1A1=(2 设 平 面 → ,D 0 ( , 1F=1

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, -2 ).

, -2 ), n2=(x′,y′,z′), 则

A1FD1 的 一 个 法 向 量 为

? ?x′=0, ? ? . ?y′-2z′=0

令 z′=1, 则 y′=2,∴n2=1 2 0 ) , ( ∵n1· n2=2-2=0,∴n1⊥n2. ∴平 面 D E A ⊥平 面 A1FD1.



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探究 2 1 ( ) 要 证 明 两 线 垂 直 , 需 转 化 为 两 线 对 应 的 向 量 垂 直 , 进 一 步 转 化 为 证 明 两 向 量 的 数 量 积 为 零 , 这 是 证 明 两 线 垂 直 的 基 本 方 法 , 线 线 垂 直 是 证 明 线 面 垂 直 , 面 面 垂 直 的 基 础 .

2 ( ) 证 明 线 面 垂 直 , 可 利 用 判 定 定 理 . 如 本 题 解 法 , 也 可 证 明 此 直 线 与 平 面 的 法 向 量 共 线 . 3 ( ) 用 向 量 证 明 两 个 平 面 垂 直 , 关 键 是 求 出 两 个 平 面 的 法 向 量 , 把 证 明 面 面 垂 直 转 化 为 法 向 量 垂 直 .

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思考题 2 如图所示,已知四棱锥 P-A B C D

的 底 面 是 直

角梯形,∠ABC=∠B C D =90° ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧 面 PBC⊥底面 A B C D .

1 ( ) 求证:PA⊥BD; 2 ( ) 求 证 : 平 面 P A D ⊥平面 PAB.

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【 思 路 】

空 间 中 各 元 素 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系 其 核 心 是 线

与 线 的 关 系 , 线 与 线 的 关 系 完 全 可 以 用 数 量 关 系 来 表 示 , 从 而 为 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 奠 定 了 坚 实 的 基 础 . 考 虑 到 面 A B C D 及 PC=PB, 故 可 取 BC 的 中 点 O为 原 点 , PBC⊥面 OP 为 z 轴 ,

OB 为 x 轴 .

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【 证 明 】 1 ( ) 取 BC 的 中 点 O,

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∵侧 面 PBC⊥底 面 A B C D ∴PO⊥底面 A B C D 以 BC 的 中 点 O 与 AB 平 行 的 直 线 为 不 妨 设 CD=1, .

,△P B C

为 等 边 三 角 形 ,

O为 坐 标 原 点 , 以

BC 所 在 直 线 为

x轴 , 过 点 直 角 坐 标 系 .

y轴 , 如 图 所 示 , 建 立 空 间

则 AB=BC=2,PO= 3.

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∴A(1,-2,0),B0 1 ) , (

,D(-1,-1,0),P0 ( ,

, 3).

→ =(-2,-1,0),PA → =(1,-2,- 3). ∴BD →· → =(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(- 3)=0, ∵BD PA → ⊥BD → ,∴PA⊥BD. ∴PA

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2 ( ) 取 PA 的 中 点 M, 连 接

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1 3 DM, 则 M(2, - 1, 2 ). ,- 3),

3 3 → → ∵DM=(2,0, 2 ),PB=0 1 ( ,

3 → → 3 ∴DM· PA=2×1+0×(-2 ) + 2 ×(- 3)=0 . → ⊥PA →, ∴DM 即 DM⊥PA. 3 3 → → 又DM· PB=2×1+0×0+ 2 ×(- 3)=0, → ⊥PB →, ∴DM 即 DM⊥PB.又∵PB∩PA=P, ∴DM⊥平 面 P A B ,∴平 面 P A D ⊥平 面 P A B .
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例 3 2 ( 0 1 4 ·

东 北 四 校 联 考

)如 图 所 示 , 在 长 方 体

A B C D



A1B1C1D1 中 , AB=1,BC=2,CC1=5,M 为棱 CC1 上 一 点 . 3 1 ( ) 若 C1M=2, 求 异 面 直 线 2 ( ) 是 否 存 在 这 样 的 点 A1M 和 C1D1 所 成 角 的 正 切 值 ;

M使 得 BM⊥平 面 A1B1M? 若 存 在 ,

求 出 C1M 的 长 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .

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【 解 析 】

1 ( ) 过 点 M 作 MN∥C1D1 交 DD1 于 N, 并 连 接 A1M 和 C1D1 所 成 的 角 . 32 5 2 +?2? =2.
2

A1N, 则 ∠A1MN 是 异 面 直 线 由 题 意 , 可 得

MN=1,A1N=

A1N 5 ∴a n t ∠A1MN= MN =2. 3 ∴当 C1M=2时 , 异 面 直 线 A1M 和 C1D1 所 成 角 的 正 切 值 为 5 2.

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2 ( ) 假 设 存 在 点

M 使得 BM⊥平面 A1B1M, 并 设
1.

C1M=x,则

有 Rt△B1C1M∽Rt△B M B

C1M B1M ∴B M= BB ,∴4+x2=5x,∴x=4 或 x=1. 1 1 ∴当 C1M=1 或 4 时,使得 BM⊥平面 A1B1M.

5 【答案】 1 ( ) 2 2 ( ) 存 在 点

M,C1M=1 或 4

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探 究 3 1 ( ) 证 明 线 面 平 行 须 证 明 线 线 平 行 , 只 须 证 明 这 条 直 线 与 平 面 内 的 直 线 的 方 向 向 量 平 行 . 可 用 传 统 法 也 可 用 向 量 法 . 用 向 量 法 更 为 普 遍 . 2 ( ) 证 明 线 面 垂 直 的 方 法 : 可 用 直 线 的 方 向 向 量 共 线 证 明 ; 也 可 用 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 内 两 条 相 交 直 线 的 方 向 向 量 垂 直 证 明 . 3 ( ) 证 明 面 面 垂 直 通 常 转 化 为 证 线 面 垂 直 , 也 可 用 两 平 面 的 法 向 量 垂 直 来 证 明 . 向量与平面的法

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思 考 题 ⊥平 面 A B C D

3

如 图 所 示 , 四 棱 柱 A B C D 是 边 长 为

A B C D

-A1B1C1D1 中 , A1D A1A=2 .

, 底 面

1的 正 方 形 , 侧 棱

1 ( ) 证 明 : AC⊥A1B; 2 ( ) 是 否 在 棱 ⊥面 PB1C1. A1A 上 存 在 一 点 → =λPA →且 P, 使 得 AP 1 面 AB1C1

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【 解 析 】

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从 DA、DC、DA1 所 在 直 线 分 别 为 D0 ) , ( ,A0 1 ) , ( ,C0 1 ) , (

x轴 、 y轴 、z ,A10 ( , ,

轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 3),B0 1 ) , (

,D1(-0 1 , , 3),B11 0 ( , → ,A ( , 1B=1 , -

, 3),C1(-1 , , 3). 3),

→ =(-0 1 ( ) AC 1 ) ,

→· → ∴AC A 1B=0,∴AC⊥A1B. 2 ( ) 假 设 存 在 1 3λ → → ∵AP=λPA1,∴P( , 0, ). 1+λ 1+λ

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设平面 AB1C1 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), → =(-1,1, 3),AC → =(-2,1, 3), ∵AB 1 1 → =-x +y + 3z =0, ? ?n1· AB 1 1 1 1 ∴? → =-2x +y + 3z =0. ? AC ?n1· 1 1 1 1 令 z1= 3,则 y1=-3,x1=0. ∴n1=(0,-3, 3).

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同 理 可 求 面 ∴n1· n2=0 .

PB1C1 的 一 个 法 向 量 为

3 n2=(0, , -1 ), λ +1

3 3 ∴- - 3=0, 即 λ= -4 . 1+λ ∵P 在 棱 A1A 上 , ∴λ>0 矛 盾 . ∴这 样 的 点 P不 存 在 .

【答案】 1 ( ) 略 2 ( ) 点 P 不存在

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用 向 量 知 识 证 明 立 体 几 何 问 题 有 两 种 基 本 思 路 : 一 种 是 用 向 量 表 示 几 何 量 , 利 用 向 量 的 运 算 进 行 判 断 ; 另 一 种 是 用 向 量 的 坐 标 表 示 几 何 量 , 共 分 三 步 : 用 空 间 向 量 ①建 立 立 体 图 形 与 空 间 向 量 的 联 系 ,

(或 坐 标 )表 示 问 题 中 所 涉 及 的 点 、 线 、 面 , 把 立 体 几 ②通 过 向 量 运 算 , 研 究 点 、 线 、 面 之 间

何 问 题 转 化 为 向 量 问 题 ; 的 位 置 关 系 ;

③根 据 运 算 结 果 的 几 何 意 义 来 解 释 相 关 问 题 .

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1.已知向量 a=0 1 ) , ( 互相垂直,则 k 的值是( A.1 3 C.5
答案 D

,b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b ) 1 B.5 7 D.5

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解 析

易 知 ka+b=k0 1 ) , ( -(-2 0 1 ) ,

+(-2 0 1 ) , =2 3 ( ,

=(k-1,k,2 ),

2a-b=0 1 2 ) , (

, -2 ).

∵ka+b 与 2a-b 互 相 垂 直 , ∴ ( ka + b 2 (· ) a-b)=(k-1,k, 2 3 ( ,2 · ) 故 选 D. 7 ,-2 ) =0,解得 k=5.

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2. 已 知 点 → → AB与AC的 夹 角 为 A.3 0 ° C.6 0 °
答案 C

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A(2,-1 5 ) , ( )

,B(2,-4 2 ) ,

,C(1,-1 4 ) ,

, 则 向 量

B.4 5 ° D.9 0 °

→ =3 解析 由已知得AB 0 ) , (

→ =(-1,1,0), ,AC

→· → AB AC 3 1 → → ∴c o s 〈AB,AC〉= = =2. → ||AC → | 3 2× 2 |AB → 与AC → 的夹角为 6 ∴向量AB 0 ° .
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3.棱长为 a 的正方体 A B C D 否存在一点 P 使 B1D⊥平面 P A C ?
答案

-A1B1C1D1 中,在棱 DD1 上是

点 P 与 D1 重合时,DB1⊥平面 P A C .

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解 析 设 存 在 点 =(a,a,a). ∵B1D⊥平 面 P A C , → → → → ∴DB1· AP=0,DB1· AC=0 . ∴-a2+a z =0 . ∴z=a, 即 点 ∴存 在 一 点 P 与 D1 重 合 . P, 即 点 P 与 D1 重 合 时 ,

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以D为 原 点 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 , P0 ( , → =(-a → =(-a,a → ,z),AP , 0,z),AC ,0 ) ,DB 1

DB1⊥平 面 P A C .

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4. 在正方体 A B C D 棱 CC1 上 求 一 点

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-A1B1C1D1 中,E 是棱 BC 的 中 点 , 试 在

P,使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.

答案

当 P 为 C1C 的中点时,平面 A1B1P⊥平面 C1DE.
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解 析

如 图 所 示 ,

以D为 原 点 , 直 线

DA、DC、DD1 分 别 为

x轴 、 y轴 、 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 设 正 方 体 的 棱 长 为 则 P1 0 ( , ,a)、A11 0 ) , ( 1,CP=a, 、B11 ) , ( 1 、E(2,0 1 ) , 、C11 0 ) , ( ,

∴A→ 0 1 ) , ( 1B1= 1 → DE=(2,0 1 ) ,

→ ,A , ,a-1 ), 1P=(-1 → ,DC1=1 0 ( , 1 ) , .

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设 平 面 A1B1P 的 一 个 法 向 量 为

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n1=(x1,y1,z1),

? ? ?n1· A→ ?y1=0, 1B1=0, 则? 即? ? → . ?-x1+y1+?a-1?z1=0 ? n · A P = 0 , ? 1 1 令 z1=1,得 x1=a-1. ∴n1=(a-1 0 ) , 设 平 面 . n2=(x2,y2,z2),

C1DE 的 一 个 法 向 量 为

1 → ? ? ? ?n2· DE=0, x2+y2=0, 2 则? ?? → ? ? n · DC . ? 2 ? y 2 + z 2 =0 1 =0
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令 x2=-2,y2=1,z2=-1,∴n2=(-2,1,-1). ∵面 A1B1P⊥面 C1DE, 1 ∴n1· n2=0?-2(a-1)-1=0,得 a=2. ∴当 P 为 C1C 的中点时,平面 A1B1P⊥平面 C1DE.

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