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2013版高中全程复习方略课时提能训练:单元评估检测(二)(苏教版·数学文)


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单元评估检测(二)
(第二章) (120 分钟 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题 中横线上) 1.函数 y= 2 x ?1 的值域为_______. 2.(20

12·淮安模拟)已知函数 f(x)= ?
?log 3 x, x>0 1 , f(f( ))=______. 则 x 9 ?2 , x ? 0
1

3.(2012·连云港模拟)已知函数 f(x)=xf(x)的大小关系为________.

k (k>0,x>0),则 f(x2+1)与 x

4.已知奇函数 f(x)在区间 +∞)上单调递增, [0, 则满足 f(2x-1)<f( ) 的 x 的取值范围是________. 5.已知函数 f(x)= x3+x2+(2a-1)x+a2-a+1,若 f′(x)=0 在(1,3]上有 解,则实数 a 的取值范围是______. 6.已知函数 f(x)= ? 数为_____. 7.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx, 则 f′(1)=________.
? 4x ? 4,x ? 1 , 则关于 x 的方程 f(x)=log2x 解的个 2 ? x ? 4x ? 3, x>1

1 3

1 3

8.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1,3),则 b=_____. 9.(2012·苏州模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x),若当 x<0 时, f(x)=x2+x,则当 x≥0 时,f(x)=_____. 10.用 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值.若函数 f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象关于直线 x=- 对称,则 t=______. 11.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使 f(x)<0 的 x 的取 值范围是______. 12.(2011·湖南高考)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为______. 13.已知函数 f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 2x-3y+1=0, 则 f(1)+ f′(1)=_____. 14.(2012·扬州模拟)对于定义在 R 上的函数 f(x),有下述命题: ①若 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ③若对 x∈R,有 f(x-1)=-f(x),则 f(x)的周期为 2; ④函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于直线 x=0 对称. 其中正确命题的序号是______. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(14 分)求下列关于 x 的函数的定义域和值域: (1)y= 1 ? x ? x;
1 2

(2)y=log2(-x2+2x); (3) x y 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7

16.(14 分)两个二次函数 f(x)=x2+bx+c 与 g(x)=-x2+2x+d 的图象有 唯一的公共点 P(1,-2). (1)求 b,c,d 的值; (2)设 F(x)=(f(x)+m)·g′(x),若 F(x)在 R 上是单调函数,求 m 的 取值范围,并指出 F(x)是单调递增函数,还是单调递减函数. 17.(14 分)设函数 f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3, 其中 x∈R, t∈R, 将 f(x)的最小值记为 g(t). (1)求 g(t)的表达式; (2)讨论 g(t)在区间[-1,1]内的单调性; (3)若当 t∈[-1,1]时,-k≤g(t)≤k 恒成立,其中 k 为正数,求 k 的取值范围. 18.(16 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成 本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的 销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率 为 x2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的

月平均利润最大. 19. 分)已知幂函数 f(x)= x ? m ?2m?3 (m∈Z)为偶函数, (16 且在区间(0,+
2

∞)上是单调增函数. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)=
1 9 f(x)+ax3+ x2-b(x∈R), 其中 a,b∈R. 若函数 g(x) 4 2

仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围. 20.(16 分)(2012·宿迁模拟)已知函数 f(x)=(x2-3x+3)·ex 定义域为 [-2,t](t>-2),设 f(-2)=m,f(t)=n. (1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[-2,t]上为单调函数; (2)求证:n>m; (3)求证: 对于任意的 t>-2, 总存在 x0∈(-2, 满足 t), 并确定这样的 x0 的个数.
f ? ? x0 ? e
x0

?

2 2 ? t ? 1? , 3

答案解析
1.【解析】≧ +≦). 答案:(0,1)∪(1,+≦) 2.【解析】由题意 f( )=log3
1 9 1 =-2, 9
1 ≠0,? 2 x ?1 ≠1,又 2 x ?1 >0,故其值域为(0,1)∪(1, x ?1
1 1

1 9 1 答案: 4

故 f(f( ))=f(-2)=2-2= .

1 4

3.【解析】f′(x)=1+
1 2 3 4

k >0,?f(x)在(0,+≦)上是增函数, x2

又 x2+1-x=(x- )2+ >0,?x2+1>x ?f(x2+1)>f(x). 答案:f(x2+1)>f(x) 4.【解析】由题意 2x-1< ,?x< . 答案:(-≦, ) 5.【解析】f′(x)=x2+2x+2a-1, ?2a=-x2-2x+1=-(x+1)2+2, ≧x∈(1,3] ,?-14≤2a<-2,?-7≤a<-1. 答案: [-7,-1) 6.【解析】在同一直角坐标系中画出 y=f(x)与 y=log2x 的图象,从图 象中可以看出两函数图象有 3 个交点,故其解有 3 个.
2 3 1 3 2 3

答案:3 7. 【解析】f′(x)=2f′(1)+ ,令 x=1 得 f′(1)=2f′(1)+1,?f′
1 x

(1)=-1. 答案:-1 8.【解析】≧y′=3x2+a, ?k=y′|x=1=3+a. 又点(1,3)为切点,
?3 ? k ?1 ? 1 ? ?3 ? 13 ? a ?1 ? b , 解得 b=3. ? ?k ? 3 ? a ?

答案:3 9.【解析】f(0)=0,当 x>0 时,-x<0, ?f(-x)=x2-x, ?-f(x)=x2-x, ?f(x)=-x2+x. ?当 x≥0 时,f(x)=-x2+x. 答案:-x2+x 10. 【解析】方法一:由定义得到分段函数,作出函数 y=|x|在 R 上 的图象,由于函数 y=|x+t|的图象是由 y=|x|的图象平行移动而得到
1 2 1 1 1 1 到两个函数的交点为(- , ),把点(- , )代入 y=|x+t|得到 t=0 2 2 2 2

的,向右移动显然不满足条件关于 x=- 对称,因此向左移动,移动

或 t=1,显然 t=0 不成立,因此 t=1. 方法二:画出函数的图象如图,要使 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关 于 x=- 对称,则 t=1.
1 2

答案:1 11. 【解析】f(x)<0 loga(a2x-2ax-2)<0 loga(a2x-2ax-2)<loga1,因 (ax-1)2>4 ax-1>2

为 0<a<1,所以 a2x-2ax-2>1,即(ax)2-2ax+1>4

或 ax-1<-2,所以 ax>3 或 ax<-1(舍去),因此 x<loga3. 答案:(-≦,loga3) 12. 【解析】≧f(a)>-1,?g(b)>-1, ?-b2+4b-3>-1,?b2-4b+2<0, ?2- 2 <b<2+ 2 . 答案:(2- 2 ,2+ 2 ) 13. 【解析】≧在点 M(1,f(1))处的切线方程是
2 ? ?f ? ?1? ? 3 , 2x-3y+1=0,? ? ? 2 ? 1 ? 3f ?1? ? 1 ? 0 ? 2 ? ?f ? ?1? ? 3, 解得 ? ?f ?1? ? 1 ?

?f(1)+f′(1)= . 答案:
5 3

5 3

14.【解析】①中 f(x)关于原点对称,故 f(x-1)的图象关于(1,0) 对称;

②中 f(x)由 f(x-1)向左移一个单位得到,故 f(x)关于 y 轴对称,为 偶函数; ③中 f(x-2)=-f(x-1)=f(x),故周期为 2; ④中函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)关于 x=1 对称,错误. 答案:①②③ 15. 【解析】(1)要使函数有意义,则 ? ?0≤x≤1,函数的定义域为[0,1]. ≧函数 y= 1 ? x ? x 为减函数, ?函数的值域为[-1,1]. (2)要使函数有意义,则-x2+2x>0,?0<x<2. ?函数的定义域为(0,2). 又≧当 x∈(0,2)时,-x2+2x∈(0,1], ?log2(-x2+2x)∈(-≦,0]. 即函数的值域为(-≦,0]. (3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}, 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}. 【误区警示】本题(1)易出现不知先求出定义域后利用单调性求值域 的情况,而本题(2)易漏掉函数的定义域而导致错误. 16. 【解题指南】(1)把点 P 的坐标代入两函数解析式,结合 x2+bx+c=-x2+2x+d 有唯一解,可求得 b,c,d. (2)若 F(x)在 R 上是单调函数, F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≥0 或 F′ 则 (x)≤0.
?1 ? x ? 0 , ?x ? 0

【解析】(1)由已知得 ? 且 x2+bx+c=-x2+2x+d,

?1 ? b ? c ? ?2 ? b ? c ? ?3 , 化简得 ? , ? ?1 ? 2 ? d ? ?2 ?d ? ?3

即 2x2+(b-2)x+c-d=0 有唯一解, 所以Δ=(b-2)2-8(c-d)=0,即 b2-4b-8c-20=0, 消去 c 得 b2+4b+4=0,解得 b=-2,c=-1,d=-3. (2)由(1)知 f(x)=x2-2x-1,g(x)=-x2+2x-3, 故 g′(x)=-2x+2, F(x)=(f(x)+m)·g′(x) =(x2-2x-1+m)·(-2x+2) =-2x3+6x2-(2+2m)x+2m-2, F′(x)=-6x2+12x-2-2m. 若 F(x)在 R 上为单调函数,则 F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≤0 或 F′ (x)≥0 成立. 因为 F′(x)的图象是开口向下的抛物线, 所以 F′(x)≤0 在 R 上恒成立, 所以Δ=122+24(-2-2m)≤0,解得 m≥2, 即 m≥2 时,F(x)在 R 上为单调递减函数. 17.【解析】(1)f(x)=(x-t)2+4t3-3t+3,当 x=t 时,f(x)取到 其最小值 g(t),即 g(t)=4t3-3t+3. (2)≧g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1), 列表如下:

(-1,- t g′(t) g(t)
1 ) 2

- 0

1 2

(- , ) -

1 2

1 2

1 2

( ,1) +

1 2



0 极小值

极大值 g(- )

1 1 g( ) 2 2 1 1 1 1 由此可见, g(t)在区间(-1,- )和( ,1)上单调递增, 在区间(- , ) 2 2 2 2

上单调递减. (3)≧g(1)=g(- )=4,g(-1)=g( )=2, ?g(t)max=4,g(t)min=2, 又≧-k≤g(t)≤k 恒成立,
?k ? 4 ?? , k ? 4. ? ??k ? 2

1 2

1 2

18. 【解析】(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月平 均销售量为 a(1-x2)件, 则月平均利润 y=a(1-x2)· 20(1+x)-15] [ (元), ?y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). (2)y′=5a(4-2x-12x2), 令 y′=0 得 x1= ,x2=1 2 1 2 1 2 2 (舍), 3

当 0<x< 时 y′>0; <x<1 时 y′<0,
1 2 1 故改进工艺后,产品的销售价为 20(1+ )=30 元时,旅游部门销售该 2

?函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x= 处取得最大值.

纪念品的月平均利润最大. 【变式备选】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 m

米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个 桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程 费用为(2+ x )x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【解析】(1)设需要新建 n 个桥墩,(n+1)x=m,即 n= 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x =256( =
m m -1)+ (2+ x )x x x m -1, x

256m +m x +2m-256. x
1 ? 256m 1 ? mx 2 x2 2

(2)由(1)知,f′(x)= ?
?
3 m (x 2 ? 512). 2x 2
3

令 f′(x)=0,得 x 2 =512,所以 x=64, 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)上为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)上为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时,
n? m 640 ?1 ? ? 1 ? 9, x 64

故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 19. 【解题指南】(1)由函数 f(x)在区间(0,+≦)上为增函数,可得 -m2+2m+3>0,再由 f(x)为偶函数得 m 的值. (2)g(x)仅在 x=0 处有极值, 则意味着 g′(x)=0 有唯一一个变号零点

是 0. 【解析】(1)≧f(x)在区间(0,+≦)上是单调增函数, ?-m2+2m+3>0 即 m2-2m-3<0, ?-1<m<3.又 m∈Z, ?m=0,1,2, 而 m=0,2 时,f(x)=x3 不是偶函数,m=1 时,f(x)=x4 是偶函数,? f(x)=x4. (2)g(x)= x4+ax3+ x2-b, g′(x)=x(x2+3ax+9), 显然 x=0 不是方程 x2+3ax+9=0 的根. 为使 g(x)仅在 x=0 处有极值,则有 x2+3ax+9≥0 恒成立, 即有Δ=9a2-36≤0,解不等式,得 a∈[-2,2] . 这时,g(0)=-b 是唯一极值,?a∈[-2,2] . 20.【解析】(1)因为 f′(x)=(x2-3x+3)·ex+(2x-3)·ex=x(x-1)·ex 由 f′(x)>0?x>1 或 x<0;由 f′(x)<0?0<x<1,所以 f(x)在(-≦, 0),(1, +≦)上递增,在(0,1)上递减,要使 f(x)在[-2,t]上为单调函数, 则-2<t≤0. (2)因为 f(x)在(-≦,0),(1,+≦)上递增,在(0,1)上递减,所以 f(x)在 x=1 处取得极小值 e. 又 f(-2)=
13 <e,所以 f(x)在[-2,+≦)上的最小值为 f(-2), e2

1 4

9 2

从而当 t>-2 时,f(-2)<f(t),即 m<n.

(3)因为

f ? ? x0 ? e
x0

? x 20 ? x 0 ,

f ? ? x0 ? e
x0

?

2 2 2 2 2 ? t ? 1? 即为 x 0-x0= (t-1) , 3 3

令 g(x)=x2-x- (t-1)2,从而问题转化为证明方程 g(x)=x2-x- (t-1)2=0 在(-2,t)上有解,并讨论解的个数.
2 2 (t-1)2=- (t+2)(t-4), 3 3 2 1 g(t)=t(t-1)- (t-1)2= (t+2)(t-1), 3 3

2 3

2 3

因 g(-2)=6-

所以①当 t>4 或-2<t<1 时,g(-2)·g(t)<0, 所以 g(x)=0 在(-2,t)上有解,且只有一解. ②当 1<t<4 时,g(-2)>0 且 g(t)>0,但由于 g(0)=以 g(x)=0 在(-2,t)上有解,且有两解.
2 (t-1)2<0,所 3


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