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2013年上学期祁阳二中高一数学竞赛试题


2013年上学期祁阳二中 高一数学竞赛试题

一、CADDB
6 二、11. ? ; 3
5 13. ? ; 2

CDCBC
12. 11 , 13 ;

14. -1 或 4

; 15. ①②

1.sin(-330 )的值为 ( A. ?<

br />3 2

0


1 2

B. ?

C.

1 2

D.

3 2

1 解 sin( ?330 ) ? sin( ?330 ? 360 ) ? sin 30 ? 2
? ? ? ?

2.一个公司共有 300 名员工,现采用分层抽样方法从全体 员工中抽取一个容量为 20 的样本,已知某部门有 60 名员工,那么从这一部门抽取的员工人数是( ) A.4 B.5 C.6 D.8

20 解 60 ? ?4 300

3. 已知 a ? (2,1),b ? ( x,?2) ,且 a ? b ,则 x ? ( A.-3 B. 3 C.-1 D.1



解 2 x - 2 ? 0, x ? 1

4.在边长为 2 的正△ABC 所在平面内,以 A 为圆心, 3为 半径画一弧,分别交 AB、AC 于 D、E.若在△ABC 这一平 面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形 ADE 内的概率 是( )

? A. 2

? B. 3

3? C. 4

3? D. 6

1 ? 1 2 ? ? ( 3)2 ?R S扇 2 3? 2 3 解 ? ? ? 1 1 S? 6 ah ? 2? 3 2 2

1 1 tan 5. 锐角 ?、? 满足 tan ? ? , ? ? ,则 ? ? ? 的值为 ( ) 3 2

A. 300

B. 450

C. 600

D.900

1 1 ? 解 tan(? ? ? ) ? 3 2 ? 1 1 1 1- ? 3 2

? 0 ? ? , ? ? 90 ,? 0 ? ? ? ? ? 180
? ? ?

?

故? ? ? ? 45

?

??? ???? ? ???? ???? 6. 在四边形 ABCD 中,若 AB ? DC ,且 AC ? BD ,则四边形
ABCD 的形状(
A. 梯形 ) C. 长方形 D. 正方形

B. 菱形

? 7. 已 知 函 数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 2 的部分图象如下图所示,则 f ( x ) 的解析式为( ) 1 ? 1 ? f ( x ) ? 2 sin( x ? ) B. f ( x ) ? 2 sin( x ? ) 2 6 2 6 ? ? C f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) D. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6 6

解 A?2 T 5? ? 2? ? ? ,T ? ? ,? ? ?2 4 12 6 T

考虑点( , 2) 6

?

1 sin 35°- 2 8.化简 =( cos 10°cos80° 1 A、-2 B、- 2
2

) C、-1 D、1

2sin 2 35? ? 1 ? cos 70? 解 原式= ? ? ?1 ? ? ? 2cos10 sin10 sin 20

9. 如右图平行四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于 O, 点 E 为靠近 D 的 DC 的三等分点,设 AB ? a, AD ? b , 用 a , b 表示向量 OE 的结果为( )

1 1 a? b A. 6 2 5 1 a? b C. 6 2

1 1 B. ? a ? b 6 2 5 1 a? b D. 6 2

??? ??? ???? 1 ? ? 1 ? ? ? 1? 1? 解 OE ? OD ? DE ? (b ? a ) ? a ? ? a ? b 2 3 6 2

10.已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,

( 则 cos ? ? ?) =(
A.1
1 B. 2


1 C. ? 2

3 D. 2

解 sin ? ? sin ? ? ? sin ? ,cos ? ? cos ? ? ? cos ? 平方相加, 得 2 ? 2cos(? ? ? ) ? 1
? cos(? ? ? ) ? ?1 / 2

1 ? ? ? 11.已知 sin ? ? , ? ? (0, ) , 则 sin ? cos ? _______ 3 2 2 2

解 ?0 ?

?
2

?

?
4
2

, ? sin

?
2

? cos

?
2

2 (sin ? cos ) ? 1 ? sin ? ? 2 2 3

?

?

6 sin ? cos ? ? 2 2 3


?

?

12.完成右边进制的转化: 1011(2)= ______ (10)= ______ (8)

11

13

解 1011(2) ? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 11
3 1

8 8

11

1
0

3
1

13.△ABC 中,AB=3, AC=2,D 是 BC 中点,则 AD ? BC ? _____

??? ???? ? ??? ??? AB ? AC ???? ??? ? ? ? 解 AD?BC ? ?( AC ? AB) 2 ? 1 ???? 2 ??? 2 1 5 ? ( AC ? AB ) ? (4 ? 9) ? ? 2 2 2

14.阅读以下程序:INPUT x IF x<0 THEN y=x*x-2*x+6 ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END

-1或4 若输出 y=9, 则输入的 x 值应该是____________.
?x ? 0 ?x ? 0 解? 2 或? ? x ? ?1, 或x ? 4 2 ? x ? 2 x ? 6 ? 9 ?( x ? 1) ? 9

15.给出下列命题:

5? ? 2 x) ( x ? R) 是偶函数; ① 函数 y ? sin( 2
② 函数 f ( x) ? cos x ?
2

1 2

( x ? R) 的周期为 ? ;

③ 函数 y ? sin( x ?

?
4

) 在闭区间 [ ?

? ?

④ 将函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

, ] 上是增函数; 2 2

) ( x ? R) 的图象向左平移

?

3

个单位,得到函数 y ? cos2 x 的图象.

①② 其中正确的命题的序号是:____________.

16. (本小题 12 分)在 2012 年奥运会上甲、乙两名射击运动 员在比赛中打出的成绩如右茎叶图所示,茎表示成绩的整 数环数,叶表示小数点后的数字。 (I) 根据茎叶图分别求出他们的中位数; (II) 分别求出他们的平均数,并分析甲、乙两人成绩。

解:(I) 甲的中位数是 9.05,乙的中位数是 9.15 (II) 甲的平均数是 9.11,乙的平均数是 9.14 乙的平均数比甲的平均数大,可知乙的水平比甲水平高;乙的 成绩大致对称,可看出乙发挥稳定性好,甲波动性

17. (本小题12分)已知 a ?

2, b ? 1 .

(1)若 a, b 的夹角 ? 为45°,求 a ? b ; (2)若 (a ? b) ? b ,求 a 与 b 的夹角 ? .

解: (1)

? ? ?2 ?? ? 2 2 | a ? b |? a ? 2ab ? b ? 2 ? 2 ? 2 ?1? ?1 ? 1 2 ? ? ? (2)? (a ? b) ? b , ? ? ? ? ? ?2 ? (a ? b) ? b ? a ? b ? b ? 2 ?1? cos ? ? 1 ? 0 ,

? 2 ? cos ? ? (0 ? ? ? ? ) ,?? ? 4 2

18.(本小题 12 分)《中华人民共和国道路交通安全法》规 定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉 酒驾车, 对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予 不同程度的处罚. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次 拦查行动中, 依法检查了 250 辆机动车, 查出酒后驾车和醉 酒驾车的驾驶员 20 人, 下图是对这 20 人血液中酒精含量进 行检查所得结果的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求此次抽查的 250 人中,醉酒驾 车的人数; (2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取 2 人, 求恰有 1 人属于醉酒驾车的概率.

18. 解(1) 此次抽查的250人中,醉酒驾车的人数为3人
酒精含量 [20,30) [30,40) [40,50) (mg/100ml) 人数 3 4 4 [50,60) 1

酒精含量 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (mg/100ml) 人数 2 3 2 1

(2) 因为血液酒精浓度在[70, 内范围内应抽 3 人, 80) 记为 a, b,c,[80,90)范围内有 2 人,记为 d,e。则从中任取 2 人的所 有情况为 {a,b},{a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c},{b,d}, {b,e} ,{c,d}, {c,e}, {d,e},共 10 种 恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有 6 种

6 3 ? 设“恰有 1 人属于醉酒驾车”为事件 A,则 P(A)= 10 5

19. (本小题 13 分)求值:

2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos100

2sin 500 ? cos100 ? 3 sin100 2sin 500 ? 2sin 400 解 原式 ? ? 0 2 cos5 2 cos50

2sin 50 ? 2cos50 ? 2 cos50
0

0

?

2 2 sin ? 500 ? 450 ? 2 cos 50
0

2 2 sin 95 2 2 cos5 ? ? ?2 0 0 2 cos5 2 cos5

0

20. (本小题 13 分)已知向量

? ? ? ? 2 5 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), a ? b ? . 5
(1) 求 cos(? ? ? ) 的值;

5 (2) ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? ? ? ? , sin ? ? ? , 求 sin ? . 2 13

?

解 (1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).

2 5 2 2 2 5 ∵|a-b|= , ∴ (cosα-cosβ) +(sinα-sinβ) = , 5 5 4 3 即 2-2cos(α-β)= ,∴cos(α-β)= . 5 5

20. (本小题 13 分)已知向量

? ? ? ? 2 5 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), a ? b ? . 5
(1) 求 cos(? ? ? ) 的值;

5 (2) ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? ? ? ? , sin ? ? ? , 求 sin ? . 2 13
3 4 (2)∵0<α-β<π,cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= 5 5 5 π 12 ∵sinβ=- ,- <β<0,∴cosβ= , 13 2 13
∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ 4 12 3 5 33 = · + · (- )= .) 5 13 5 13 65

?

?? ? ?? ? f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ? ⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域;
2

?? ? ⑵若 x ? x0 ? 0 ? x0 ? ? 为 f ( x) 的一个零点,求 f (2 x0 ) 的值. 2? ?

? ? ? ?? ?? 解 f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? ? ( x ? ) ? sin ? x ? ? 4 ? ? 4? ?2 ?? ? ?? ? 2
2

? sin x ? 2 3 sin x cos x ? cos ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4? ?
2

1 ? ? ? 1 ? cos 2 x 1 ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? 2 x ? ? ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 ? 2? 2 2

1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2

?? 1 ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? ?

? 3 5? 值域为 ? ? , ? ? 2 2?

21.(本小题 13 分) 已知函数

?? ? ?? ? f ( x) ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4? ? ⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域;
2

?? ? ⑵若 x ? x0 ? 0 ? x0 ? ? 为 f ( x) 的一个零点,求 f (2 x0 ) 的值. 2? ?
?? 1 ? ⑵ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,由题设知 f ( x0 ) ? 0 6? 2 ? ?? 1 ? ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 4 ?
?? 5? ? 由 0 ? x0 ? ? ? ? 2 x0 ? ? ,结合 sin ? 2 x0 ? ? ? 0 知 6? 2 6 6 6 ?

?

?

?

?? 15 ? ? ? . ? ? 2 x0 ? ? 0 ,可得 cos ? 2 x0 ? ? ? 6? 4 6 6 ?

?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? sin 2 x0 ? sin ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? sin ? 2 x0 ? ? cos ? cos ? 2 x0 ? ? sin 6? 6? 6? 6 6? 6 ?? ? ?

1 3 15 1 15 ? 3 ?? ? ? ? ? , 4 2 4 2 8 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? cos 2 x0 ? cos ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin 6? 6? ?? 6? 6 6? 6 ? ? 15 3 1 1 3 5 ?1 ? ? ? ? ? , 8 4 2 4 2 ?? ?? ?? ? ? ? ? sin ? 4 x0 ? ? ? sin 2 x0 cos ? 2 x0 ? ? ? cos 2 x0 sin ? 2 x0 ? ? 6? 6? 6? ? ? ?
? 15 ? 3 15 3 5 ? 1 ? 1 ? 7 ? 3 5 ? ? ??? ? ? 8 4 16 8 ? 4?

7 ? 3 5 1 11 ? 3 5 ?? 1 ? ? ? ? f (2 x0 ) ? 2sin ? 4 x0 ? ? ? ? 2 ? 16 2 8 6? 2 ?


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