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江苏13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编17:不等式选讲


【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 17:不等 式选讲
一、解答题 1 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)选修 4-5:不等式选讲

已知 x, y, z ? R ,且 x ? 2 y ? 3z ? 4 ,求 x2 + y 2 + z 2 的最小值.
【答案】由柯西不等式,得 [ x + (?2) y + (?3) z]2 ≤[12 + (?2)2 + (?3)2 ]( x2 + y 2 + z 2 ) ,

即 ( x ? 2 y ? 3z)2 ≤14( x2 + y 2 + z 2 ) , 即 16 ≤14( x2 + y 2 + z 2 ) . 所以 x2 + y 2 + z 2 ≥ ,即 x2 + y 2 + z 2 的最小值为

8 7

8 7

2 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)(选修 4-5:不等式选讲)

若 x ???

? 1 2? , ? ,证明 1 ? 2x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 ? 2 3?

【答案】证明:由柯西不等式可得

18 ? ? ??1 ? 2 x ? ? ? 3 ? x ? ? ? 2 ? 3x ?? ? ?1 ? 1 ? 1? ?
分 又 x ?? ?

?

1 ? 2 x ?1 ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? 3 x ? 1

?

2

7

? 1 2? , ? ,所以 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 ? 2 3?

3 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)(选修 4—5:不等式选讲)

设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围.
【答案】解:(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,

如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2
y y= x+1 + x-2

5 y=5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x

1

和 y ? 5 的图象(如图所示), 知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a 由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ? a ? 3, ? a ? ?3 [必做题]
4 . (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) 选修 4-5: 不等式选讲已知

|x+1|+|x-l|<4 的解集为 M,若 a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.
【答案】

5 . (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)[选修 4—5 :不等

式选讲]已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2, 求 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.
【答案】由柯西不等式, ( x ? y ? z ) 2 ≤ ?( 2 x) 2 ? ( 3 y) 2 ? z 2 ? ? ?(

?

1 2 2? ? 1 2 , ? ? 2 ) ? ( 3 ) ?1 ? ?

因为 x + y + z ? 2 ,所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥

24 , 11

当且仅当

2x 3y z 6 4 12 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 1 1 1 11 11 11 2 3

所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值为

24 11

6 . (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

【答案】D.

2

解:∵(x+2y+2z) ?(1 +2 +2 )(x +y +z )=9,当且仅当 = = 时取等号, 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2

x y z

?|a-1|?3,解得 a?4,或 a?-2
7 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)(选修 4—5:不等式选讲)

已知 a , b , c 都是正数,且 a ? 2b ? 3c ? 6 ,求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.
【答案】

8 . (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)选修 4-5:不等式选讲

已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,求 S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值.
【答案】解:? a ? 0, b ? 0, 2a ? b ? 1,

∴ 4a 2 ? b 2 ? (2a ? b) 2 ? 4ab ? 1 ? 4ab , 且 1 ? 2a ? b ? 2 2ab ,即 ab ? 2 , ab ? 1 , 8 4 ∴ S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 ? 2 ab ? (1 ? 4ab) ? 2 ab ? 4ab ? 1 ? 2 ? 1 , 2 当且仅当 a ? 1 , b ? 1 时,等号成立 4 2
9 . (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)选修 4—5:不等式选讲

解不等式 x|x-4|-3<0.
【答案】选修 4—5:不等式选讲



原不等式等价于 ?

?x≥4,
2

?x<4, 或? 2 ?x -4x-3<0, ?-x +4x-3<0.

? ?x≥4, ?x<4, 解得? 或? ?2- 7<x<2+ 7, ?x<1或x>3. ?
即 4≤x<2+ 7或 3<x<4 或 x<1. 综上,原不等式的解集为{x| x<1 或 3<x<2+ 7}
10. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)选修 4—5:不等式选讲

设 f ( x) ? x ? x ? 14, 且 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a ) |? 2(| a | ?1) .
2

3

【答案】选修 4—5:不等式选讲

证明:由 | f ( x) ? f (a ) |?| x ? a ? a ? x |?| ( x ? a )( x ? a ? 1) |
2 2

= | x ? a || x ? a ? 1|?| x ? a ? 1|?| ( x ? a ) ? 2a ? 1| ?| x ? a | ? | 2a | ?1 ?| 2a | ?2 = 2(| a | ?1) .
11. (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)(选修 4-5:不等式选讲)



a1 , a2 , ???, an 都是正数, 且 a1 ? a2 ????? an =1, 求证: (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ? 2n .
1 ? a 1≥ 2 a 1

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
【答案】解:因为 a 1 是正数,所以

同理 得

1 ? a j≥ 2 a j ( j ? 2,3,? n)

,将上述不等式两边相乘, ,

(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? (1 ? an ) ≥ 2n ? a1 ? a2 ? ? ? an

n 因为 a1 ? a2 ? ??an ? 1 ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? (1 ? an ) ≥ 2

12. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)(选修 4—5:不等式选讲)

已知 a , b , x , y 都是正数,且 a ? b ? 1 ,求证: (ax ? by )(bx ? ay ) ? xy .
【答案】

13. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)(选修 4—5:不等式选

讲) 已知常数 a 满足 ?1 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式: ax ? x ? 1 ? 1 .
【答案】

4

14. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)选修 4-5:不等式选

讲 设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求
1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

【答案】 【解】因为 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2) ? 9 .

于是

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?

≥33

1 ? 33 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ? 9 , (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2)

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立 3 即
1 ? 1 ? 1 ≥1 ,故 1 ? 1 ? 1 的最小值为 1 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

5



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