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甘肃省张掖市2014-2015年度高三第一次诊断(12月月考)文科考试试题 Word版含答案(已解析)


张掖市 2014-2015 年度高三第一次诊断(12 月月考)考试 数学(文科)
第I卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.设集合 A ? ?x | x ? 2 ? 0? ,集合 B ? x | x ? 4 ? 0 ,则

A ? B ? ( )

?

?

A. ??2? 【答案】A

B. ?2?

C. ??2, 2?

D. ?

【解析方程 x 2 ? 4 ? 0 解得 x ? ?2 ,

2 则 B ? {x x ? 4 ? 0} ? {?2, 2} , A ? ?x | x ? 2 ? 0? ? ??2? ,

A ? B ? ??2? ?{?2,2} ? {?2} .故答案为:A
【考点】集合的运算 【难度】1 2.i 是虚数单位, =( ) D.﹣1+2i

A.1+2i B.﹣1﹣2i C.1﹣2i 【答案】D 【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简即可. 解: 【考点】复数综合运算 【难度】1 3.等差数列 {an } 中, a2 ? 3 , a 3 ?a4 ? 9 ,则 a1a6 的值为( A.14 【答案】A B.18 C. 21 ) ,故答案为:D

D.27

【解析】∵等差数列 {an } , a2 ? 3 , a 3 ?a4 ? 9 , ∴ a2 ? d ? a2 ? 2d ? 9 ? d ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? d ? 2 ,

a6 ? a2 ? 4d ? 7 ,∴ a1a6 ? 14 ,故答案为:A
【考点】等差数列 【难度】2 4.为了得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象上所有的点( 1 1 A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 2 2 C. 向左平移 1 个单位长度 D. 向右平移 1 个单位长度 【答案】A 【解析】 y ? cos(2 x ? 1) ? cos 2( x ? ) , 所以应该向左平移
1 个单位长度,故答案为:A 2



1 2

【考点】三角函数图象变换 【难度】2
-1-

5.一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几何 体的表面积是( )

A. ? B. 3? ? 4 C. ? ? 4 【答案】B 【解析】由三视图可知:原几何体为圆柱的一半, (沿中轴线切开) 由题意可知,圆柱的高为 2,底面圆的半径为 1,
2 故其表面积为 S ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ?

D. 2? ? 4

1 2

1 ? 2? ?1? 2 ? 3? ? 4 2

故答案为:B 【考点】空间几何体的三视图与直观图;空间几何体的表面积与体积 【难度】 2 6.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( A. m ∥ ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ n B. m ⊥ ? , n ⊥ ? 且 ? ⊥ ? ,则 m ⊥ n C. m ⊥ ? ,n ? ? , m ⊥ n .则 ? ⊥ ? D. m ?



? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ?

【答案】B 【解析】对于 A ,直线 m, n 可能平行、相交、异面,不 对; 对于 B ,由面面垂直性质得正确; 对于 C 没有 m ? ? 内,不对; 对于 D ,没有说明 m, n 是两条相交直线,不对, 故答案为 B. 【考点】点线面的位置关系 【难度】 2
? B C ,?MCA , 7. 已知 M 是 ? ABC 内的一点, 且 AB ? AC ? 2 3 ,?BAC ? 30 , 若 ?M

??? ? ??? ?

?MAB 的面积分别为 , x , y ,则
A. 20 【答案】B B. 18

1 2

1 4 ? 的最小值为( x y C. 16
??? ? ????

) D. 9

【解析】 AB ? AC ? AB AC cos A ? 2 3 ? AB AC ? 4

??? ? ????

??? ? ????

? S?ABC ?

? ???? 1 1 ??? AB AC sin A ? 1 ? x ? y ? , 2 2

1 4 ?1 4? ? y 4x ? ? = 2 ? ? ? ? x ? y ? ? 2 ? 5 ? ? ? ? 2 5 ? 2 4 ? 18 , x y x y x y ? ? ? ?

?

?

当且仅当

y 4x ? 时等号成立取最值。故答案为:B x y

【考点】数量积的定义;均值定理

-2-

【难度】2 8.函数 y ? x ? cos x 的大致图像是(



【答案】B 【解析】 因为 y? ? 1 ? sin x ? 0 , 所以函数 y ? x ? cos x 在 R 上单调递增,故可排除 C 选项; 又因为 x ? 0 时, y ? 0 ? cos 0 ? 1 ,故可排除 A 选项;

, ) 时, y ? x ? cos x ? x , 2 2 故此时函数 y ? x ? cos x 的图像在直线 y ? x 的上方,故 D 错误,
当 x ? (? 故答案为:B 【考点】导数的概念和几何意义 【难度】2 9. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黒球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率是 0.42 , 摸出白球的概率是 0.28 ,那么摸出黒球的概率是( ) A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 【答案】C 【解析】 1 ? (0.42 ? 0.28) ? 0.3 ,故答案为:C 【考点】概率综合 【难度】 1 10.某程序框图如图所示,则输出的 n 值是(

? ?

)

-3-

A.21 B.22 【答案】C 【解析】程序在执行过程中 n, p 的值依次为:

C.23

D.24

n ? 2, p ? 1 ; n ? 5, p ? 11; n ? 11, p ? 33 ; n ? 23, p ? 79 ,
程序结束,输出 n ? 23 . 故答案为:C 【考点】算法和程序框图 【难度】 2 11. 已知二次曲线

x2 y 2 ? =1, 则当 m ? ?? 2,?1? 时, 该曲线的离心率 e 的取值范围是 ( 4 m 2 3 2 6 5 6 3 6 A. [ B. [ C. [ D. [ , ] , ] , ] , ] 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2



【答案】C 【解析】由题意可知:二次曲线为双曲线,且 a ? 4, b ? ?m , 所以 c 2 ? 4 ? m ,因为 m ? ?? 2,?1? , 所以 e ?

c ? a

4?m ? 5 6? ?? , ? ,所以选 C. 2 2 2 ? ?

故答案为:C 【考点】双曲线 【难度】 2 12.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记 2 2 作{x},即 {x} ? m. 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题: 1 1 1 1 ① f (? ) ? ;② f (3.4) ? ?0.4 ;③ f (? ) ? f ( ) ;④ y ? f ( x) 的定义域是 R,值 2 2 4 4 1 1 域是 [? , ] . 则其中真命题的序号是 ( ) 2 2
B.①③ C.②④ D.③④

A.①② 【答案】B 【解析】因为 ?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 ? ? f (? ) ? ? ? { } ? 故命题 1 正确 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? ? ? ?1 ? ? f (? ) ? ? ? { } ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? 3 ? ? 3.4 ? 3 ? ?{3.4} ? 3.4 ? 3 ? 0.4 所以命题 2 错误 2 2 1 1 1 1 1 1 ? 0- ? ? 0 ? ?{? } ? 0 ? f (? ) ? ? , 2 4 2 4 4 4 1 1 同理可得 f ( ) ? 命题 3 正确 4 4 1 1 1 1 令 x ? m ? a, a ? (? , ] ? f ( x) ? x ? {x} ? a ? (? , ] 2 2 2 2
命题 4 错误 故答案为:B
-4-

【考点】函数综合 【难度】 3 第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.
2

13 .已知函数 y ? log 1 ( x 2 ? ax ? a) 在区间 ? 2, ??? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 _______ 【答案】 a ? 4 _____.
2

【解析】令 h( x) ? x ? ax ? a , y ? log 1 h( x)
2

由对数的性质可知,当 x ? 2 时, h( x) ? x ? ax ? a ? 0 恒成立;
2
2 由复合函数的单调性知,当 x ? 2 时, t ? x ? ax ? a 单调递增;

? ?a ?2 ?? 所以 ? 2 解得: a ? 4 ? ?h(2) ? 0
故答案为: a ? 4 【考点】函数综合 【难度】 2 14.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中点 M 的横坐 标为 2 ,则 | AB | 等于 .
2

【答案】 6 【解析】设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,又抛物线的准线方程为 x ? ?1 ,焦点 F (1,0) , 则根据抛物线的定义可知 | AF |? x1 ? 1,| BF |? x2 ? 1 , 所以 | AB |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 2 xm ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 . 故答案为: 6 【考点】抛物线 【难度】2

15.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量, 则 a =| a |· a0 ;②若 a0 与 a 平行,则 a = | a |· a0 ;③若 a0 与 a 平行且| a |=1,则 a = a0 .上述命题中,假命题个数是________. 【答案】3 【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 模相同, 但方向不一定相同,故①是假命题; 若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 方向有两种情况:一是同向,二是反向, 反向时 a=-|a|a0,故②、③也是假命题,故答案为:3 【考点】平面向量的概念 【难度】2 16.已知函数 f ? x ? ? ? 为________.
-5-

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? x ? 1, ?4 x ? 4, g ? x ? ? ln x ,则函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 的零点个数 2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 1,

【答案】3 【解析】函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象,如图:

由图可以看出,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点有 3 个. 故答案为:3 【考点】分段函数,抽象函数与复合函数 【难度】3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本大题 12 分) 已知数列 {an } 与 {bn } ,若 a1 ? 3 且对任意正整数 n 满足 an ?1 ? an ? 2, 数列 {bn } 的前 n 项 和 S n ? n 2 ? an . (I)求数列 {an }{ , bn } 的通项公式; (II)求数列 ? 【答案】见解析 【解析】 解: (1)由题意知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列 又因为 a1 ? 3 所以 an ? 2n ? 1 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 4 ; 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? n ? 2n ? 1 ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1
2 2

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

?

?

?

?

对 b1 =4 不成立 所以,数列 {bn } 的通项公式: bn ? ? (2) n ? 1 时, T1 ?

?4, (n ? 1) ?2 n ? 1, (n ? 2)

n ? 2 时,
所以 Tn ?

1 bnbn ?1

1 1 ? b1b2 20 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

n ? 1 仍然适合上式 1 n ?1 6n ? 1 ? ? 综上, Tn ? 20 10n ? 15 20(2n ? 3)
【考点】数列的综合 【难度】3 18. (本大题 12 分)

1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 n ?1 6n ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 20 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

-6-

在长方体 ABCD ? A 1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体的 1B 1C 1D 1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A 一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? AC 1 1D 1 ,且这个几何体的体积为 10 . (I)求棱 A1 A 的长; (II)若 A1C1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1 D1 所成角的余弦值.

【答案】见解析 【解析】 解: (1)设 A1 A ? h ,由题设 VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1 ? 10 , 得 S ABCD ? h ? ? S?A1B1C1 ? h ? 10 ,即 2 ? 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? h ? 10 , 解得 h ? 3 .故 A1 A 的长为 3 . (2)因为在长方体中 A1 D1 // BC , 所以 ?O1 BC 即为异面直线 BO1 与 A1 D1 所成的角(或其补角) . 在△ O1 BC 中,计算可得 O1B ? O1C ? 11 , 则 ?O1 BC 的余弦值为

1 3

1 1 3 2

11 。 11

【考点】立体几何综合 【难度】3 19. (本大题 12 分) 某小组共有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指 标(单位:千克/米 2)如下表所示:

A

B

身高 1.69 1.73 1.79 1.82 19.2 25.1 23.3 20.9 体重指标 (I) 从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人, 求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; 2 2 ( II )从该小组同学中任选 人,求选到的 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在

C 1.75 18.5

D

E

? 中的概率. ?18.5, 23.9

【答案】见解析 【解析】 3. (1)选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为

1 ; 2 3 . 10

(2)选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 ?18.5.23.9? 中的概率为

解析: (1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个.

-7-

因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P 1 ?

3 1 ? . 6 2

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A, D), (A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 P2 ? 【考点】概率综合 【难度】3 20.(本大题 12 分)

3 . 10

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,焦点 F 1 ? 0, ?c ? , F 2 ? 0, c ? 过 F1 的直 2 a b 2 线交椭圆于 M , N 两点,且△ F2 MN 的周长为 4.
已知椭圆: (I) 求椭圆方程; (II) 与 y 轴不重合的直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m)(m ? 0),与椭圆 C 交于相异两点 A,B 且

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? PB .若 OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围。

【答案】见解析 【解析】

y2 x2 解析: (1)设 C: 2 ? 2 ? 1 ( a >b>0) , a b 设 C>0, c 2 ? a 2 ? b 2 , 2 c 2 由条件知 4 a =4, ? ,∴a=1,b=C= , 2 a 2 2 2 故 C 的方程为: y ? 2 x ? 1 ; (Ⅱ)设 l :y=kx+m 与椭圆 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y2 )。
将 y=kx+m 代入 y ? 2 x ? 1
2 2

得 (k ? 2) x ? 2kmx ? m ?1 ? 0 ,
2 2 2

所以 ? ? 4(k ? 2m ? 2) ? 0 ①,
2 2

?2km m2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?2 ?2 ??? ? ??? ? ??? ? k ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因为 AP ? ? PB , OA ? ? OB ? 4OP ,所以 AP ? 3PB , 2 所以 x1 ? x2 ? ?2x2 , x1x2 ? ?3x2 ,
消去 x 2 得 3( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 0 ,所以 3(
2 2 2 2 即 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 ,当 m 2 ?

?2km 2 m2 ? 1 ) ? 4( )?0, k2 ? 2 k2 ? 2

1 2 2 2 2 时, 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 4 2 1 1 1 2 2 ? 2m 2 2 所以 m 2 ? , k ? 由①得 k ? 2m ? 2 ,解得 m ? (?1, ? ) ? ( ,1) 2 2 2 4m ? 1 4
【考点】圆锥曲线综合 【难度】4

-8-

21. (本大题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e
x

? ax ? b? ? x2 ? 2x ,曲线 y ? f ? x? 经过点 P ? 0,1? ,
2

且在点 P 处的切线为 l : y ? 4 x ? 1 . (I)求 a 、 b 的值; 围. 【答案】见解析 【解析】 解: (1) f ? ? x ? ? e 依题意, ?
x

(II)若存在实数 k ,使得 x ? ?? 2, - 1? 时, f ? x ? ? x ? 2 ? k ?1? x ? k 恒成立,求 k 的取值范

? ax ? a ? b? ? 2x ? 2 ,

? x ???2, -1? 时, 2 x ? 1 ? 0
2

(2)由 f ? x ? ? x ? 2 ? k ?1? x ? k ,得: e
2

? ?a ? b ? 2 ? 4 ?a ? 1 ? f ? ? 0? ? 4 ,即 ? ,解得 ? ; ?b ? 1 ?b ? 1 ? ? f ? 0? ? 1
x

? x ?1? ? k ? 2x ?1? ,

e x ? x ? 1? , ? f ? x ? ? x ? 2 ? k ?1? x ? k 即 e ? x ?1? ? k ? 2x ?1? 恒成立,当且仅当 k ? 2x ?1 e x ? 2 x 2 ? 3x ? e x ? x ? 1? 设 g ? x? ? , x ???2, ?1? , g ?( x) ? , 2 2x ?1 ? 2 x ? 1?
x

3 e x ? x ? 1? ? 3? 1 ? 在区间 ??2, ?1? 上的最大值为 g ? ? ? ? e 2 , ? g ? x? ? 2x ?1 ? 2? 4 ?1 ?3 ? 所以常数 k 的取值范围为 ? e 2 ,?? ? . ? ?4 ?

3 , 2 3? ? ? 3 ? 当 x ? ? ?2, ? ? , g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ? , ?1? , g? ? x ? ? 0 , 2? ? ? 2 ?
由 g? ? x ? ? 0 得 x ? 0 (舍去) ,x ? ?

【考点】导数的综合运用 【难度】4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. (本小题满分 10 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的 角平分线, 过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点, CM⊥AB, 垂足为点 M. (I)求证:DC 是⊙O 的切线; (II)求证:AM· MB=DF· DA. 【答案】见解析 【解析】 解: (I)连结 OC,∴∠OAC=∠OCA, 又∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC, ∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD ∵ CD⊥AF,
-9-

∴CD⊥O C,即 DC 是⊙O 的切线 (Ⅱ)连结 BC,在 Rt△ ACB 中, CM⊥AB,∴CM2=AM· MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF· DA. 易知△ AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM· MB=DF· DA 【考点】圆 【难度】3 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 参数方程和极坐标 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知

1 ? x ? 2? t ? 2 ( t 为参数) ? 直线 l 的参数方程为 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 8cos? . ? ? y? 3t ? ? 2 (I)求 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | .
【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由 ? sin
2

? ? 8cos ? ,得 ? 2 sin 2 ? ? 8? cos? ,
2 2

即曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 8x . (Ⅱ)将直线 l 的方程代入 y ? 8x ,
2 并整理得, 3t ? 16t ? 64 ? 0 ,

t1 ? t2 ?

16 64 , t1t2 ? ? . 3 3
(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 32 . 3

所以 | AB |?| t1 ? t2 |?

【考点】曲线参数方程 【难度】3 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

() x ?? x1 ?? xa . 已知函数 f

1,解不等式 f (x (I)若 a ?? ) ?3; (II)如果 ? ,求 a 的取值范围. x ? R ,f () x ? 2
【答案】见解析 【解析】

() x???? x1 x 1 . 1时, f 解: (Ⅰ)当 a ?? ?? 1 x ? 1 ? 3 . 由 f (x ) ?3得 x
3 2

? x ? x ? 1 ? 3 , 即 ? 23 x ? 当 x ??1时,不等式可化为 1 ,其解集为 ( ?? , ? ].

1 ? x? 1 ??? x x13 ?,不可能成立,其解集为 ? ; 当? 时,不等式化为 1
? 1 ? x ? 1 ? 3 , 即 23 x ? 当 x ? 1 时,不等式化为 x ,其解集为 [ , ? ? ).
3 3 2 2 fx ( ) ? x ? 1 ? x ? aa ? ? 1 (Ⅱ)? ,
综上所述, f (x ) ?3的解集为 ( ? ?? , ]? [ ,? ? ) .

3 2

- 10 -

∴要 ? 成立, x ? R ,f () x ? 2 则 a ?1 ? 2 ,? , a ? ? 1 或 a ? 3 即 a 的取值范围是 ( 。 ? ? , ? 1 ] ? [ 3 , ? ? ) 【考点】集合的运算 【难度】3

- 11 -


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