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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第二章 第二节 函数的单调性与最值课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第二章 第二节 函数的单调性 与最值课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.(2013·济南模拟)已知函数 f(x)=4x +kx+8 在区间[5,20]上具有单调性,则实数 k 的取值范围是( ) (A)(-∞,-160]∪[-40,+∞) (B)(-∞,-80]∪[-20,+∞) (C)(-∞,40]∪[160,+∞) (D)(-∞,20]∪[80,+∞) 2.(2013·威海模拟)函数 y=lg(|x|+1)的单调性为( ) (A)在(-∞,+∞)上单调递增 (B)在(-∞,+∞)上单调递减 (C)在(0,+∞)上单调递增 (D)在(0,+∞)上单调递减 3.函数 f(x)=12

1 ( x ?1

)

(A)在(-1,+∞)上单调递增 (B)在(1,+∞)上单调递增 (C)在(-1,+∞)上单调递减 (D)在(1,+∞)上单调递减 4.(2013·佛山模拟)若函数 y=ax 与 y= ? (A)增函数 (C)先增后减 5.已知函数 f(x)= ?

b 2 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax +bx 在(0,+∞)上是( x

)

(B)减函数 (D)先减后增
2 ? ? x ? 4x, x ? 0, 2 若 f(2-a )>f(a),则实数 a 的取值范围是( 2 ? ?4x ? x , x ? 0,

)

(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2) (C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) 6.已知函数 f(x)= ?

( 1) , ? 3a ? 2)x ? 6a ? 1(x< ?a(x ? 1)
x

单调递减,那么实数 a 的取值范围
-1-

是(

) (B)(0,

(A)(0,1)

2 ) 3

(C)[

3 2 , ) 8 3

(D)[

3 ,1) 8
)

7.定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且 f(x+2)的图象关于 x=0 对称,则( (A)f(-1)<f(3) (C)f(-1)=f(3) (B)f(0)>f(3) (D)f(0)=f(3)

8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在[a,b]上有( (A)最小值 f(a) (C)最小值 f(b) (B)最大值 f(b) (D)最大值 f(

)

a?b ) 2
)

x ? ? 2 ? a, x>2, 9.(2013·天津模拟)设函数 f(x)= ? 若 f(x)的值域为 R,则常数 a 的取值范围是( 2 ? ? x ? a , x ? 2.

(A)(-∞,-1]∪[2,+∞) (B)[-1,2] (C)(-∞,-2]∪[1,+∞) (D)[-2,1] 10.(能力挑战题)已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意 x∈(0,+∞),都有 f(f(x)则 f( (A)5 二、填空题 11.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是 .

1 )=2, x

1 )的值是( 5
(B)6

) (C)7 (D)8

12.(2013· 广州模拟)对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}= ? h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 13.设函数 f(x)= ? .

?a,a ? b, 设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 ?b,a>b.

1, ? ? x ? a, x<
x ?2 , x ? 1

的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是

. .

14.(2013·成都模拟)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|,则 f(x)的取值范围是 三、解答题 15.已知 f(x)=

x (x≠a). x?a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
-2-

(2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围.

答案解析 1.【解析】选 A.∵f(x)=4x +kx+8 的对称轴是 x ? ? , 又函数 f(x)=4x +kx+8 在
2 2

k 8

x∈[5,20]上具有单调性, ∴?

k k ? 5或 ? ? 20, 8 8

解得 k≥-40 或 k≤-160. 2.【解析】选 C.∵内函数 M=|x|+1 在(0,+∞)上递增,在(-∞,0)上递减,外函数 y=lg M 在(-∞,+∞)上递 增. 根据内外函数“同增异减”的原则, 函数 y=lg(|x|+1)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 3.【解析】选 B.f(x)可由 ?

1 沿 x 轴向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到,如图. x

由图象可知函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增.

b 在(0,+∞)上都是减函数, x b 2 ∴a<0,b<0,∴y=ax +bx 的对称轴 x= ? <0, 2a
4.【解析】选 B.∵y=ax 与 y= ? ∴y=ax +bx 在(0,+∞)上为减函数. 5.【解析】选 C.f(x)= ?
2 ? x 2 ? 4x ? (x ? 2) ? 4, x ? 0, ? 2 2 ? x ? 2)? 4, x ? 0, ? ?4x ? x ? (
2 2 2 2

由 f(x)的图象可知 f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由 f(2-a )>f(a)得 2-a >a,即 a +a-2<0,解得-2<a<1.

-3-

6.【解析】选 C.由题意知需满足:

?3a ? 2<0, 3 2 ? 1, ? ? a< . ?0<a< 8 3 ? 3a ? 2) ( ?1 ? 6a ? 1 ? a1 ?
7.【解析】选 A.因为 f(x+2)的图象关于 x=0 对称,所以 f(x)的图象关于 x=2 对称,又 f(x)在区间(-∞,2) 上是增函数,则其在(2,+∞)上为减函数,作出其图象大致形状如图所示.

由图象知,f(-1)<f(3),故选 A. 8.【思路点拨】先探究 f(x)在[a,b]上的单调性,再判断最值情况. 【解析】选 C.设 x1<x2, 由已知得 f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2). 又 x1-x2<0,∴f(x1-x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),即 f(x)在 R 上为减函数. ∴f(x)在[a,b]上亦为减函数. ∴f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),故选 C. 9.【解析】选 A.当 x>2 时,f(x)>4+a,当 x≤2 时,f(x)≤2+a ,由题意知 2+a ≥4+a,解得 a≥2 或 a≤-1. 10. 【思路点拨】 解答本题的关键是从条件中得出 f(x)可求. 【解析】选 B.由题意知 f(x)2 2

1 1 是一个常数,从而令 f(x)= +k(k 为常数),则 f(x) x x

1 1 为常数,令 f(x)- =k(k 为常数), x x
-4-

1 1 +k,由 f(f(x)- )=2 得 f(k)=2. x x 1 1 又 f(k)= +k=2,∴k=1,即 f(x)= +1, k x 1 ∴f( )=6. 5
则 f(x)= 11.【解析】y=-(x-3)|x| =?

? ? x 2+3x,x ? 0, ? 2 ? ? x ? 3x,x ? 0.
3 ]. 2

作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0, 答案:[0,

3 ] 2

12.【解析】依题意,h(x)= ? 函数,

0<x ? 2, ?log 2 x, 当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数;当 x>2 时,h(x)=3-x 是减 ? ? x+3,x>2.

∴h(x)=min{f(x),g(x)}在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 答案:1 13.【解析】当 x≥1 时,f(x)≥2,当 x<1 时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2,∴a≥3. 答案:[3,+∞) 14.【解析】f(x)=|x-2|-|x-5|

? ?3,x<2, ? 2 ? x ? 5, = ? 2x ? 7, ?3,x>5. ?
当 2≤x≤5 时,-3≤f(x)≤3. 综上知-3≤f(x)≤3. 答案:[-3,3] 15.【解析】(1)任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=

x1 x ? 2 x1+2 x 2+2

=

2(x1 ? x 2) . (x1+2)(x 2+2)

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2),
-5-

∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

x1 x - 2 x1 ? a x 2-a

=

a(x 2-x1) . (x1-a)(x 2 ? a)

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 【变式备选】已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=(1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 【解析】(1)方法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 方法二:设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
-6-

2 . 3

∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.

-7-


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