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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--不等式选讲(选修4-5)


江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编

不等式选讲
1 、( 常 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 设 f ( x) ? x 2 ? x ? 14, 且 | x ? a |? 1 , 求 证 :

| f ( x ) ? f (a ) |? 2(| a | ? 1) .
证明:由 | f ( x) ? f (a ) |?| x ? a ? a ? x |?| ( x ? a )( x ? a ? 1) |
2 2

= | x ? a || x ? a ? 1|?| x ? a ? 1|?| ( x ? a ) ? 2a ? 1| ?| x ? a | ? | 2a | ?1 ?| 2a | ?2 = 2(| a | ?1) . 2、 (连云港市 2013 届高三期末)

x y z 解:∵(x+2y+2z)2?(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,当且仅当 = = 时取等号, ……………5 分 1 2 2 ?|a-1|?3,解得 a?4,或 a?-2. …………………10 分 3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)设 a1 , a2 , ???, an 都是正数, 且 a1 ? a2 ????? an =1, 求证:

(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ? 2n .
解:因为 a 1 是正数,所以 1 ? a 1≥ 2 a 1 ………………………………………5 分 同理 1 ? a j≥ 2 a j ( j ? 2,3,? n) ,将上述不等式两边相乘, 得 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? (1 ? an ) ≥ 2n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 因为 a1 ? a2 ? ??an ? 1 ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? (1 ? an ) ≥ 2n ……………………………10 分 4、 (南通市 2013 届高三期末)已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,求 S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的 最大值. 解:? a ? 0, b ? 0, 2a ? b ? 1, ∴ 4a 2 ? b 2 ? (2a ? b) 2 ? 4ab ? 1 ? 4ab , ……………………………………………2 分 ……………………………5 分

且 1 ? 2a ? b ? 2 2ab ,即 ab ? 2 , ab ? 1 , 4 8

∴ S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 ? 2 ab ? (1 ? 4ab) ? 2 ab ? 4ab ? 1 ? 2 ? 1 , 2 当且仅当 a ? 1 , b ? 1 时,等号成立. ………………………………………10 分 4 2
1

5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)D. [选修 4—5 :不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2, 求 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.

1 ? 1 ? 由柯西不等式, ( x ? y ? z )2 ≤ ?( 2 x) 2 ? ( 3 y) 2 ? z 2 ? ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? 12 ? ,……5 分 ? ? ? 2 3 ?
因为 x + y + z ? 2 ,所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥

24 , 11

当且仅当

2x 3y z 6 4 12 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 1 1 1 11 11 11 2 3

所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值为

6、 (苏州市 2013 届高三期末)已知 a , b , x , y 都是正数,且 a ? b ? 1 ,求证:

24 .…………………………………………………10 分 11

(ax ? by )(bx ? ay ) ? xy .
答案:

7、 (泰州市 2013 届高三期末)D.(本小题满分 10 分,不等式选讲)若 a, b, c ∈R+ ,

a ? 2 b ? 3 c =6. (1)求 abc 的最大值;
(2)求证

a?6 b?3 c?2 ≥12. ? ? a b c

解: (1)∵ a,b,c∈ +,a+2b+3c=6 R

1 1 a ? 2b ? 3c 3 4 a· 3c≤ 2b· ( )= 6 6 3 3 2 4 当 a=2,b=1,c= 时取等号,∴ 的最大值为 ……………………….…..5 分 abc 3 3 a?6 b?3 c?2 6 3 2 (2)∵ + + =3+ + + a b c a b c 6 3 2 6 3 2 而( + + ) (a+2b+3c) ≥( 6 + 6 + 6 )2=54∴ + + ≥9 a b c a b c
∴ abc=

2



a?6 b?3 c?2 + + ≥12…………………………………..…………………..…….10 分 a b c

8、无锡市 2013 届高三期末) ( 已知|x+1|+|x-l|<4 的解集为 M, a, M, 若 b∈ 证明: 2|a+b |<|4+ab|。

9、 (镇江市 2013 届高三期末)设函数 f ( x) ? (1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域;

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(2)若函数 f ( x) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围.
y y= x+1 + x-2

解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象(如图所示),
-3 -2 -1

5 y=5 4 3 2 1 O 1 2 3 x

知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .……5 分 (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a 由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ? a ? 3, ? a ? ?3 .……10 分

3



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