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广东省梅州市2015届高三3月总复习质检(一模)数学理试题


梅州市2015届高三3月总复习质检(一模) 数学理试题
本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1、设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={3,4,5},则下图中的阴影部分表示的 集合为

A、{4}

B、{5}


C、{1,2}

D、{3,5}

2、 i 是虚数单位,若 z (1 ? i) ? i ,则 | z | 等于

A、1

B、

3 2

C、

2 2

D、

1 2

3、下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A、 y ? x ? 1 C、 y ? log 2 x B、 y ? tan x D、 y ? x
3

?x ? 1 ? 4、已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ,则 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 0 ?
A、2 B、3 C、4 D、5 的值等于

5、对任意非零实数a,b,若

的运算法则如右图的框图所示,则

A、

1 4

B、

5 2

C、

1 2

D、

9 4

1

6、若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于

A、30

B、12
2

C、24

D、4

y2 ? 1学科网 的左焦点且与直线x=2相切,则圆心M的轨迹方程是 7、动圆M经过双曲线 x ? 3
A、 y 2 =8 x B、 y 2 =-8 x C、 y 2 =4 x D、 y 2 =-4 x

8、在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序” , 类似的,我们在平面向量 集 两个向量 定义的关系“>>” ,给出如下四个命题: ①若 ②若 ③若 ,则对于任意 ; ; . ; 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“>>”.定义如下:对于任意 当且仅当“ ”或“ ”.按上述

④对于任意向量 其中正确命题的个数为 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题) 9、已知等比数列{ an }的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 , a2 ? 1 ,则 a1 =___
2

10、已知 a, b, c 分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若 a ? 1, b ? 3 ,A+C=2B,则sinA=___ _ 11、以F1(-1,0) 、F2(1,0)为焦点,且经过点M(1,-
5 2 3

3 )的椭圆的标准方程为___ 2

12、二项式 ( x ? y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是____(用数字作答)
2 2 13、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ?1 ,若关于x的不等式 f ( f ( x)) <0的解集为空集,则实数a的取值

2

范围是____ (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,点 A(2, 为 .

3? )到直线 l: 3? cos ? ? 4? sin ? ? 3 的距离 2

15. (几何证明选讲选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线一点,且 DF= CF= 2学科网 ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为___

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 ( x ? R, A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 最低点为 M(

?
2

)的周期开为 ? ,且图象上的一个

2? ,-1) 。 3

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 f ( ) ?

?

2

1 , ? ? [0, ? ] ,求 cos? 的值。 3

3

17. (本小题满分 12 分) 东海学校从参加 2015 年迎新百科知识竞赛的同学中,选取 40 名同学,将 他 们 的 成 绩( 百 分 制 ) (均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答 下列问题. ( Ⅰ ) 求 分 数 在 [70 , 80 ) 内 的 频 率 , 并 补 全 这 个 频 率 分 布 直 方 图 ; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分; ( Ⅲ )若 从 60 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 人 ,抽 到 的 学 生 成 绩 在 [40 ,70 )记 0 分 ,在 [70 ,100] 记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D,E 分别为 AC,AB 的中点,沿 DE 将△ ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A '? BCDE ,F 是 A ' B 的中点。 (1)求证:EF∥平面 A ' CD ; (2)当四棱锥 A '? BCDE 的体积取最大值时,求平面 A ' CD 与平面 A ' BE 夹角的余弦值。

19. (本小题满分 14 分) 数列{ an }满足 a1 ?

1 1 , an?1 ? 。 2 2 ? an

(1)求数列{ an }的通项公式;
4

(2)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,证明 Sb ? n ? ln(

n?2 ) 2

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另 一点 B,交 x 轴于点 D,且有丨 FA|=|FD|,当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形。 (1) 求 C 的方程, (2) 若直线 l1//l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标 ; ②△ABE 的面积是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 2

(1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1 , x2 。 ①求 b 的取值范围;②求证: x1 x2 ? e2

5

梅州市高三总复习质检试卷(2015.03)

数学(理科)参考答案与评分意见
本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 二、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. DCDAB CBC 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)

x2 y2 1 2 ? ? 1 . 12.10. 13. (??,2] . 9. . 10. . 11. 4 3 2 2
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.1. 15.

7 . 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? , 则有 T ?

2?

?

? ? , 得? ? 2 .

???1 分

所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1 ,因为函数图像有一个最低点 M ( 所以 A ? 2 , 且 sin(2 ? 则有 2 ?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

2? ? ? ) ? ?1 , 3
(k ? Z )
,

2? , ?1) , A ? 0 , 3

????????3 分 ??????????? 4 分

解得 ? ?

?

6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

???5 分

所 以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1 ,

x?R .

???????????6 分 ???7 分

? 1 ? 1 ? 1 (2)由f ( ) ? , 得2 sin(? ? ) ? 1 ? , 得 sin(? ? ) ? ? . 2 3 6 3 6 3
0 ?? ?? , ?

?
6

?? ?

?

7 ? ? ? 又 sin(? ? ) ? 0 6 6 , 6 ,
???9 分

? ? 2 2 ? cos(? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? ? . 6 6 3
? cos ? ? [cos(? ?
=

) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin ???11 分 6 6 6 6 6 6 2 2 3 1 1 1? 2 6 ? ? ? ? ?? . ???12 分 3 2 3 2 6

?

?

?

?

?

?

17. (本小题满分 12 分)
6

解: (1)设分数在 ?70,80? 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 , 可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图如图所示. ????2 分

…………3 分 (2)平均分:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71? 5 分
(3)学生成绩在 ?40,70? 的有 0.4 ? 60 ? 24 人, 在 ?70,100? 的有 0.6 ? 60 ? 36 人,并且 X 的可能取值是 0,1,2.
1 1 2 C24 C36 C24 46 144 , P( X ? 1) ? ; P( X ? 0) ? 2 ? ? 2 C60 295 C60 295 2 C36 105 ? 2 C60 295 .

??6 分

P( X ? 2) ?

????9 分

所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

46 295

144 295

105 295
…………10 分

所以 EX ? 0 ?

46 144 105 354 ? 1? ? 2? ? . 295 295 295 295

???12 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 A C 中点 G ,连接 DG, GF . 则由中位线定理可得, DE ∥ BC , DE ?
'

1 BC ,?1 分 2

7

1 BC . 2 所以 DE ∥ GF , DE ? GF , 从而四边形 DEFG 是平行四边形,
同理 GF ∥ BC , GF ? 所以 EF ∥ DG . 又 EF ? 面 A' CD , DG
' 所以 EF ∥平面 A CD .

????3 分

? 平面 A'CD ,
????5 分

(2)在平面 A' CD 内作 A' H ? CD 于点 H .
? ? DE ? CD ? A ' D ? CD ? D ? ? DE ? A ' D

? DE ? 平面 A' CD ? DE ? A' H .

' 又 DE ? CD ? D ,故 A H ? 底面 BCDE ,

' 即 A H 就是四棱锥 A ? BCDE 的高.
'
' 由 A H ? AD 知,点 H 和 D 重合时,

????7 分

四棱锥 A' ? BCDE 的体积取最大值. 分别以 DC, DE, DA 所在直线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A (0,0, a), B(a,2a,0), E(0, a,0) ,
' '

????8 分

A?B ? (a,2a,?a), A' E ? (0, a,?a) .
设平面 A BE 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
'

?

???9 分

?

?? ? ' ?x ? 2 y ? z ? 0 ?m? A B ? ax ? 2ay ? ax ? 0 由? 得? , ? ? ?y ? z ?m? A' E ? ay ? az ? 0 ? ,
可取 m ? (?1,1,1) .
' 平面 A CD 的一个法向量 n ? (0,1,0) .
? ?

?

????11 分
?

????12 分 ????13 分

? ? 故 cos ? m, n ?? m? n ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 3 , ? ? 3 3 ?1 mn

所以平面 A CD 与平面 A BE 夹角的余弦值为

'

'

3 . 3

????14 分

8

' (连 A A ,可以证明 ?A ' CB 即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)

19.(本小题满分 14 分) a ?1 1 ?1? n 解: (1) an?1 ? 1 ? , 2 ? an 2 ? an 所以
1 an?1 ? 1 ? 2 ? an 1 . ? ?1 ? an ? 1 an ? 1

………… 2 分 ………… 3 分

所以 {

1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 ? 1 的等差数列. an ? 1

………… 4 分

所以

n 1 ? ?n ? 1, 所以 a n ? . n ?1 an ? 1

………… 6 分

(可用观察归纳法求,参照法一给分) (2) 设 F ( x) ? ln( x ? 1) ? x( x ? 0) , 则 F ?( x) ? ………… 7 分 . ………… 8 分 ………… 9 分 ………… 10 分 ………… 11 分

1 ?x ?1 ? ? 0( x ? 0) x ?1 x ?1

函数 F ( x ) 为 (0, ??) 上的减函数, 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x( x ? 0) , 从而 ln(1 ?

1 1 1 1 )? ,1 ? ? 1 ? ln(1 ? ), n ?1 n ?1 n ?1 n ?1

所以

an ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1), n ?1

………… 12 分

所以 Sn ? (1 ? ln 3 ? ln 2) ? (1 ? ln 4 ? ln 3) ?

? [1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1)] … 13 分
………… 14 分



S n ? n ? ln(

n?2 ) 2 .

(可用数学归纳法证明,参照法一给分) 20. (本小题满分 14 分)

P p ? 2t , 0) ,设 D(t ,0)(t ? 0) ,则 FD 的中点为 ( , 0) , 2 4 p p 因为 | FA |?| FD | ,由抛物线的定义得: 3 ? ?| t ? | , 2 2
解: (1)由题意知 F ( 解得 t ? 3 ? p 或 t ? ?3 (舍去). 由 ?ADF是正三角形,可得
2

????2 分

p ? 2t ? 3 ,解得 p ? 2 . 4
????4 分
9

所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x .

(2)①由(1)知 F (1,0) . 设 A( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0), D( xD ,0)( xD ? 0) ,因为 | FA |?| FD | , 则 | xD ?1|? x0 ? 1 ,由 xD ? 0 得 xD ? x0 ? 2 ,故 D( x0 ? 2,0) , , 故直线 AB 的斜率为 k AB ? ?

y0 , 2 y0 x?b, 2

????5 分

因为直线 l1 和直线 AB 平行,设直线 l1 的方程为 y ? ? 代入抛物线方程得 y 2 ?

8 8b y ? ? 0 ??① y0 y0 64 32b 2 ? ? 0 ,得 b ? ? . 2 y0 y0 y0

由题意方程①的判别式 ? ?

代入①解得 y ? ?

4 4 ,x ? 2 . y0 y0
4 4 , xE ? 2 . y0 y0
????6 分

设 E( xE , yE ) ,则 yE ? ?

2 当 y0 ? 4 时, k AB

4 ? y0 yE ? y0 y0 4y ? ?? ? 2 0 , 2 4 y0 xE ? x0 y0 ? 4 ? 2 y0 4
4 y0 ( x ? x0 ) , 2 y0 ?4
????7 分

可得直线 AE 的方程为 y ? y0 ?

2 由 y0 ? 4 x0 ,整理可得 y ?

4 y0 ( x ? 1) , 2 y0 ?4
????8 分

直线 AE 恒过点 F (1, 0) .
2 当 y0 ? 4 时,直线 AE 的方程为 x ? 1 ,过点 F (1, 0) ,

所以直线 AE 过定点 F (1, 0) . ②由①知,直线 AE 过焦点 F (1, 0) , A( x0 , y0 ), E (

????9 分

4 y0
2

,?

4 2 ), y0 ? 4 x0 . y0

由抛物线的定义得 | AE |?| AF | ? | FE |? ( x0 ? 1) ? (

1 1 ? 1) ? x0 ? ? 2 10 分 x0 x0 ?

10

设直线 AE 的方程为 x ? my +1 .因为点 A( x0 , y0 ) 在直线 AE 上,故 m ? 设 B( x1 , y1 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? ? 由于 y0 ? 0 ,可得 x ? ?

x0 ? 1 , y0

y0 ( x ? x0 ) , 2
???11 分

2 y ? 2 ? x0 y0 .

代入抛物线方程得 y 2 ?

8 y ? 8 ? 4 x0 ? 0 , y0
???12 分

所以 y0 ? y1 ? ?

8 8 4 ,可求得 y1 ? ? y0 ? , x1 ? ? x0 ? 4 , y0 y0 x0

所以点 B 到直线 AE 的距离为

| d?

4 8 ? x0 ? 4 ? m( y0 ? ) ? 1| x0 y0 1 ? m2

?

4( x0 ? 1) x0

? 4( x0 ?

1 ). x0
???13 分

则 ?ABE 的面积 S ?

1 1 1 ? 4( x0 ? )( x0 ? ? 2) ? 16 , 2 x0 x0

当且仅当 x0 ?

1 即 x0 ? 1时等号成立. x0 ,
???14 分

所以 ?ABE 的面积的最小值为 16.

21. 解: (1)? g (2) ? 2,? a ? b ? 1.
1 ∴ h( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 1) x ,其定义域为(0,+ ? ). 2

h?(x) ?

1 ?ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ?(ax ? 1)( x ? 1) ? ax ? (a ? 1)= ? , x x x

………… 1 分

若 a ? 0 ,则函数 h( x) 在区间(0,1)上单调递增; 在区间(1,+ ? )上单调递减. 若 a ? 0 ,令 h?(x) ? 0 ,得 x1 ? ? ??2 分

1 , x2 ? 1 . a

1?. 当 a ? ?1 时,则 0 ? ?
. 在区间( ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间( 0, ? )和(1,+ ? )上单调递增; a a
??3 分

1 ,1)上单调递减. a

11

2 ?. 当 a ? ?1 时, h / ( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在区间(0,+ ? )单调递增. ??4 分 3?. 当 ? 1 ? a ? 0 时,则 ?
在区间(1, ?

1 1 ? 1 ,所以函数 h( x) 在区间(0,1)和( ? ,+ ? )上单调递增; a a

1 )上单调递减. a
??5 分

(综上所述略) (2)∵函数 g ( x) 是关于 x 的一次函数 , ∴ h( x) ? ln x ? bx ,其定义域为(0,+ ? ). ① 由 h(x) ? 0 ,得 b ? ∴ ? (x ) ? ?

ln x ln x ln x ? 1 ,记 ? (x ) ? ? ,则 ? ?(x ) ? x x x2 .

??6 分

ln x 在 (0, e) 单调减,在 (e, ??) 单调增, x ln x 1 ∴当 x ? e 时, ? (x ) ? ? 取得最小值 ? . e x
又 ? (1) ? 0 ,所以 x ? (0,1) 时, ? (x) ? 0 ,而 x ? (1, ??) 时, ? (x) ? 0 .
1 ∴ b 的取值范围是( ? ,0). e

??7 分 ??8 分 ??9 分

② 由题意得 lnx1 ? bx1 ? 0,lnx2 ? bx2 ? 0 , ∴ lnx1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 0,lnx2 ? lnx1 ? b( x2 ? x1 ) ? 0 . ∴

ln x1 x2 x ?x ? 1 2. ln x2 ? ln x1 x2 ? x1
只需要证 ln x1 x2 ?

不妨设 x1 ? x 2 .要证 x1 x2 ? e 2 ,

x1 ? x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 , x2 ? x1
??10 分

即证 ln x2 ? ln x1 ?

2( x2 ? x1 ) , x2 ? x1

即 ln

x2 2( x2 ? x1 ) ? . x1 x2 ? x1

设t ?

2(t ? 1) 4 x2 ? ln t ? ?2, (t ? 1) , F (t ) ? ln t ? x1 t ?1 t ?1

????11 分

1 4 (t ? 1)2 F ?(t ) ? ? ? ?0 , t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
∴函数 F (t ) 在(1,+ ? )上单调递增,而 F (1) ? 0 , 所以 F (t ) ? 0 ,即 ln t ?

??12 分

2(t ? 1) 2 ,∴ x1 x2 ? e . t ?1

??14 分

12


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