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1.1.3集合之间的关系


集合之间的关系: 例一:实例① A={本班同学} B={本班女生} 例二:实例② A={本班同学} B={本班今天出勤同学} 例三:离散数集 A={1,2,3,4,5} B={1,2,3} 例四:连续数集 A={x|1<x<3} B={x|x<5} 例五:几何图形 A={x|x 是两组对边平行的四边形} B={平行四边形} 例六:几何图形 A={等腰三角形} B={等边三角形} 第一种观点:抽取集合中的一些元素构成一个新集合 第二种观点:一个集合“包含于”另一个集合 由于“包含”这一说法已经在元素和几何的关系中用过了,而且两个集合理应是平等的,我们用“子集”这一说法 来描述两个集合之间的这种关系,例如,本班所有同学构成集合 A,本班所有女生构成集合 B,则 B 是 A 的子集。在旧 说法中,有“超集”的概念,A 是 B 的超集。 基于以上描述,我们给出子集的形式定义, 集合 A 的任意元素都属于集合 B,则集合 A 是集合 B 的子集,记做 A ? B 或 B ? A (称为自反性) 或任意不属于集合 B 的元素都不属于集合 A,则 A 是 B 的子集 对于离散和有限集合来说,子集关系是非常直观的 对于连续或无限集合来说,子集关系可以从性质的从属关系来体现 特别的在例二和五中,按照定义,A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,可以看出两个集合的元素完全一样,既 A=B。 也就是说 A ? B且B ? A ? A ? B 。 这非常类似于实数的性质 a ? b, b ? a ? a ? b , 这是代数结构中的一种性质, 称作反对称性 另外,考虑如下两组集合 组一:A={1,2,3,4,5} B={1,2,3,4} 组二:A={四边形} B={平行四边形} 可以看到在两个实例中

C={1,2,3} C={菱形}

C? B , B ?

A ,既 C 中所有元素来自于 B,B 中所有元素来自于 A,显然 C 中所有元素都来自

于 A,既 C ? A ,类似于 实数中, a ? b, b ? c ? a ? c ,称为传递性

和实数关系进行类比,在讨论实数关系时,<或>相较于≤或≥更加严格,在集合关系中也存在这样的“严格” ,在 A 的所有子集 A 1 , A2 ,?, An ,? 中,总有一个和 A 是一样的,我们称其余的集合为 A 的真子集, 其定义是:若 A ? B, 但存在元素x ? B, 且x ? A, 则A是B的真子集,A ? B
?

例如在例二中,B 是 A 的真子集,在例五中,A 不是 B 的真子集,B 也不是 A 的真子集 那么集合中是否能一无所有呢?考虑方程 x ? 1 ? 0 的实数解组成的集合,显然这个方程没有实数解,但这个描述
2

又没有任何破绽,我们称不包含任何元素的集合为空集,记做 ? 参照在非负数域中,有任意数 x , 0 ? x 这一事实, ? 是任意集合的子集(当然也包括 ? 本身) 用适当的符号进行填空(某些问题答案不唯一) :

a ___{a, b, c} {0,1}____ N

2 ___ x{ x2| ? ? 4
{? } _ _Q _

0 }{ 2 } _ _ x _{ x2 ? | ? 4

2 0} 2 ___ x{ ?

4}

2 { 2 , 1} _ _ x _x { ?| x ? 3

2 } {2,3}___{ x | x2 ? 4}

? ___ ?

? ____{0}

? ____{?}

判断两个集合之间的关系:

{x | x ? 2k ? 1, k ? Z}___{x | x ? 4k ?1, k ? Z}

{x | 2 ? x ? 3}___{x |1 ? x ? 4}

A ? {1, 2, 4}, B ? {x | x是8的约数} A ? {x ? N ? | x是12和15的公倍数},B ? {x | x ? 30m, m ? N ?}
已知 M = {x |? x = m+

?

A. M = N

P

1 n 1 p 1 ? , n∈z}, P = {x | x= ? , p? , m∈z},? N = {x | x = ∈z}, 则 M、N、P 满足关系( 6 2 3 2 6 ? ? ? ? ?P B. M N = P C. M ? N D. N P M ? ?

)

另外:我们经常用封闭曲线,可能是圆圈,可能是土豆,来表示集合,在只有一个集合的时候,这没有多大意义, 在有两个集合的时候这种做法便非常的直观, 如果 A 是 B 的子集,我们就把 B 画作大圆,在大圆中做一个小圆表示 A,这样两个集合的关系就非常明朗了。在其他 场合中,文氏图的直观性将给我们带来很大的便利。 专题:有限集的子集个数,既集合幂集(power set)的元素个数 列举出集合 {1, 2,3} 的所有子集,你能在枚举的过程中找到规律么? 集合 S 有 n 个元素,则集合 S 有多少个子集,多少真子集,多少非空子集,多少非空真子集?

若a ? S ,则 a 在 S 的多少个子集中出现?
①:猜想归纳 ②:从分步计数的角度进行解释 ③:从哲学角度解释出现次数的结论 已知集合 A ? {1,2,3} ,且集合 A 的元素中至少含有一个奇数,则满足条件的集合 A 有 同时满足条件:① M ? {1,2,3,4,5}; ②若 a ? M , 则6-a ? M ,这样的集合 M 有 个

已知集合A ? {1, 2, 4,8,16,?, 2n?1} ,其中 n 为正整数,将 A 的所有非空子集列举如下: A1 , A2 , A3 ,?, Am ,记每个
集合中的最小元素为 a1 , a2 , a3 ,..., am ,(1).求 m和n的代数关系 ;(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? am 归纳猜想,分步计数 ※用适当的方式表示 R 的所有子集 一些基于子集个数的命题: 若集合 A ? x (k ? 2) x ? 2kx ? 1 ? 0 有且仅有 2 个子集,则满足条件的实数 k 的个数是
2

n ? 2n?1

?

?



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