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北师大版高一数学必修1教案-函数的应用


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第四章

函数的应用

§4.1.1 方程的根与函数的零点 一、教学目标 1. 知识与技能 ①理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌 握零点存在的判定条件. ②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2. 过程与方法 ①通过观察二次函数图象, 并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点, 找到连 续函数在某个区间上存在零点的判断方法. ②让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、教学重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 三、学法与教学用具 1. 学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括, 从而完成本节课的教学目标。 2. 教学用具:投影仪。 四、教学设想 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? 2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象: (用投影仪给出) ①方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2

2

2

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②方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2

2

③方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
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1.师:引导学生解方程,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系, 引出零点的概念.
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生:独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 师:上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? (二) 互动交流 研讨新知 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x )( x ? D ) , 把使 f ( x ) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x )( x ? D ) 的 零点. 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴交点 的横坐标. 即: 方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x ) 有零 点. 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x ) 的零点: ①(代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x ) 的图象联系 起来,并利用函数的性质找出零点. 1.师:引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法. 生:认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法: ①代数法; ②几何法. 2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况,并进行交流,总结概括形成结 论. 二次函数的零点: 二次函数
y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) .
2

(1)△>0,方程 ax 点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax

? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交

2

? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴

有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax 数无零点.
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2

? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函

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3.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

① 在区间 [ ? 2 ,1] 上有零点______;
f ( ? 2 ) ? _______, f (1) ? _______,
f ( ? 2 ) · f (1 ) _____0(<或>=) .

② 在区间 [ 2 , 4 ] 上有零点______;
f ( 2 ) · f ( 4 ) ____0(<或>=) .

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x ) 的图象

① 在区间 [ a , b ] 上______(有/无)零点;
f ( a ) · f (b ) _____0(<或>=) .

② 在区间 [ b , c ] 上______(有/无)零点;
f (b ) · f (c ) _____0(<或>=) .

③ 在区间 [ c , d ] 上______(有/无)零点;
f (c ) · f ( d ) _____0(<或>=) .

由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生:分析函数,按提示探索,完成解答,并认真思考. 师:引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点 是否存在之间的关系. 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评 析. 师:引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用. (三) 、巩固深化,发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题 例1. 求函数 f(x)=㏑ x+2x -6 的零点个数。
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问题: (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 例 2.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 ,并画出它的大致图象.
3 2

师: 引导学生探索判断函数零点的方法, 指出可以借助计算机或计算器来画函数 的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后 利用函数单调性判断零点的个数. 2.P97 页练习第二题的(1)(2)小题 、 (四) 、归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 2. 在本节课的学习过程中,还有哪些不太明白的地方,请向老师提出。 (五) 、布置作业 P102 页练习第二题的(3)(4)小题。 、

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